2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试

卷

一.选择题（本大题共30分，每小题3分）

1.（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日〜2022年02月20日在中

华人民共和国北京市和张家口市联合举行.在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称

性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是

()

C.

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.a+2a1=3aiB.ai,a2=a6

3262

C.（6?）—aD.(-2a)2=-4a

3.（3分）如图，在△ABC中，AB^AC,NC=70°,BO平分NABC交AC于点。，则/

CDB等于()

D.85°

4.（3分）已知7+2mr+9是完全平方式，则机的值为（)

A.6B.±6C.3D.±3

5.（3分）一个等腰三角形的两边长分别为3c7〃和7cvm则此三角形的周长为（）

A.13cmB.17cm

C.7cm或13D.不确定

6.（3分）设d"=16,a"=8,则，"一”的值是（）

A.2B.8C.24D.128

7.（3分）如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，/APC=50°,则N8=（）

8.（3分）在下列各式中，能运用平方差公式计算的是（）

A.（a-b~）（.h-a）B.（a-l）（-“+l）

C.（2a-b）（a+2b）D.C-a-b'）（-b+a）

9.（3分）如图1,在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部

分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的

关系，可验证的等式为（）

图1图2

A.（。-3）2=/-6。+9B.（。+3）2=。2+6。+9

C.a（a+3）=a2+3tzD.（。+3）（。-3）=。2-9

10.（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.己知A,8是两个格点，如

果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点。有（）

।1।1।1।

x1

A.3个B.4个C.5个D.6个

二.填空题(本大题共16分，每小题2分)

11.(2分)若(a-2)°=1,则“需要满足的条件是.

12.(2分)一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角的4倍，它的底角是度.

13.(2分)已知/=7,一=3,则/+"=.

14.(2分)如图，在△ABC中，8。和CZ)分别平分/ABC和/ACB,过点。作EF〃BC,

分别交A8,AC于点E,F,若BE=3,CF=4,则线段EF的长为.

2022

16.(2分)点M(a,5)与点N(-3,b)关于y轴对称，则2a-6=.

17.(2分)如图，在RtZsABC中，ZACB=90°,CD_LA8于。，ZBCD=5O°,B关于

CQ对称点是E,则NACE=°.

18.(2分)若关于x的多项式2x+m与x+3相乘所得的多项式中不含x的一次项，则m

三.解答题(本大题共54分，第19题16分，第20-21题每题4分，第22-23题每题5分,

第24、25题每题6分，第26题8分)

19.(16分)计算.

(1)2?(7-3x-2)；

(2)(%-2)(%-5)；

(3)(12/n3-6m~+3m)+3机；

(4)(3a+b-2)(3a-ZH-2).

20.(4分)如图，在△ABC与△QCB中，AC与8。交于点E,且NA=N。，ZACB=Z

DBC,

求证：AB=CD.

21.(4分)先化简，再求值：(x-2)2-(2x+3)(2x-3)+3x(x+2),其中x=5.

22.(5分)如图，在平面直角坐标系中，△A8C的顶点A(-1,4),B(-2,1),C(-4,

3).

(1)/XABC的面积是；

(2)已知△ABC与△AIBICI关于y轴对称，△4B1C1与△AzB2c2关于x轴对称，请在

坐标系中画出△A1B1C1和△A282c2；

(3)在y轴有一点P,使得△抬出2周长最短，请画出点P的位置(保留画图的痕迹).

—O

D-

r_

II

L

_J

—

—

r_「

II

L

_」

—

—

__一

23.(5分)已知尸+.丫~=34,x+y—2,求孙和x-y的值.

24.(6分)在等边aABC中，。为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作等边

连CE.

(1)如图1,若点力在线段8c上，求证：BD=CE；

(2)若4c=7,CE=3,直接写出CD的长度.

?E

AA

图1备用图

25.(6分)先阅读下面材料，再解决问题：

已知x1+hx+c=O.在求关于x的代数式的值时，可将/+fcr+c=O变形为，=-bx-c.就

可以将/表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为

“降次代换法”.

例如：己知-4=0,求代数式f(x+4)的值.

解：：/+2x-4=0,

-2x+4.

.,.原式=(-2x+4)(x+4)=-2?-8x+4x+16=-2x2-4x+16=-2(-2x+4)-4x+16

—4x-8-4x+16=8.

(x+4)=8.

请用“降次代换法”，完成下列各小题：

(1)若%2+》-15=0,则代数式(x+4)(x-3)的值为.

(2)若7+5x+l=0,则代数式x(/+5x)+(x+7)(x-1)的值为.

(3)已知/+2x-l=0,求代数式的值.

26.(8分)在△ABC中，NACB=90°,延长BC至。，使£>C=BC,在AB的右侧作线段

AE,使AE=AB,连接。E交AC于点P.

(1)如图1,在线段PE上取点°,使。E=PD,连接A。，求证：AP=AQ；

(2)若/BAE=60°,依题意补全图2,用等式表示线段%,PD,PE之间的数量关系，

并证明.

■E

AA

图1图2

四、附加题（本题共20分，第27、28题每题3分，第29、30题每题4分，第31题6分）

27.（3分）20222-2023X2021=.

28.（3分）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,A。平分NBAC交BC于点。，

点E是AO上的一动点，以CE为边向上作等边△CEF,连接BF.则/CBF=

29.（4分）定义一种新运算（。，b）,若则（a,b）—c,例（2,8）=3,（3,81）

=4.已知（3,5）+（3,7）=（3,x）,则x的值为.

30.（4分）如图，Rtz^ABC中，NACB=90°,ZB=30°,AC=2,。为BC上一动点，

EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F,则BF的最大值为.

31.（6分）对于AABC及其内部任意一点尸，给出如下定义：若点尸满足B4VP8且雨＜

PC,则称点P为点A关于△ABC的“邻近点”，在平面直角坐标系xOy中，点M坐标为

（4,0）.

（1）如图1,点N在x轴上方，若△OMN为等边三角形.

①在点。1（-2,0）,Q2（l,1）,Q（2,2）中，点。关于△0MN的“邻近点”是；

②已知点。是点。关于△OMN的“邻近点”，若点。的横坐标为1,则线段OQ长度的

取值范围是;

（2）已知点N的坐标为（小4）,

①若〃=4,在图2中画出所有点M关于△OMN的“邻近点”组成的图形；

②规定：横、纵坐标均为整数的点称为整点，当时，点M关于△OMN的“邻

近点”中有，/个整点，请直接写出〃?所有可能取值的和为.

x

O备用图

2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试

卷

参考答案与试题解析

一.选择题（本大题共30分，每小题3分）

1.（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日〜2022年02月20日在中

华人民共和国北京市和张家口市联合举行.在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称

性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是

（）

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：4是轴对称图形，故此选项错误；

8、是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项错误；

。、不是轴对称图形，故此选项正确；

故选：D.

【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念.

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.a+2a2=3（?B.ai*a2=a（＞

C.（a3）2=a6D.（-2a）2=-4a2

【分析】利用合并同类项的法则，同底数塞的乘法的法则，塞的乘方与积的乘方的法则

对各项进行运算即可.

【解答】解：A、。与2a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意;

8、“3.q2=a5,故8不符合题意；

C、(a3)2=a6,故C符合题意；

D、(-2t/)2=4“2,故。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查合并同类项，幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法，解答的关

键是对相应的运算法则的掌握.

3.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC,NC=70°,8。平分/ABC交4c于点。，则/

CDB等于()

A.65°B.70°C.75°D.85°

【分析】利用等腰三角形的性质求出NABC,再利用角平分线的定义求出NC2O,可得

结论.

【解答】M：'：AC=AB,

：.ZC=ZABC=10°,

NCBD=」乙4BC=35°,

2

.".ZCDB=1800-ZC-ZCBD=180°-70°-35°=75°,

故选：C.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解

题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

4.(3分)己知/+2,nx+9是完全平方式，则，〃的值为()

A.6B.±6C.3D.±3

【分析】根据完全平方公式的形式，可得答案.

【解答】解：已知7+2,如+9是完全平方式，

fn=3或m=-3,

故选：D.

【点评】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉.

5.（3分）一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7c/n,则此三角形的周长为（）

A.13cmB.\~lcm

C.7c?”或13cmD.不确定

【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边

关系进行验证能否组成三角形.

【解答】解：当3c/n是腰时，3+3<7,不符合三角形三边关系，故舍去；

当1cm是腰时，周长=7+7+3=17cro.

故它的周长为17cm.

故选：B.

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；己知没有明确腰和

底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形

进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

6.（3分）设""=16,4=8,则的值是（）

A.2B.8C.24D.128

【分析】根据同底数基的除法法则计算即可.

【解答】解：a"l'n=am^an

=16+8

=2,

故选A.

【点评】本题考查同底数幕的除法，掌握同底数基的除法法则是求解本题的关键.

7.（3分）如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，ZAPC=50°,则NB=（）

A.40°B.50°C.55°D.60°

【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB,根据等腰三角形的性质求出NA=N

B,再根据直角三角形的两锐角互余求出即可.

【解答】解：；直线PC是线段A8的垂直平分线，

J.PCLAB,PA=PB,

：.ZB=ZA,NPC4=90°,

VZAPC=50°,

.•./B=/A=90°-NAPC=40°,

故选：A.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，直角三角形的性质等

知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键.

8.(3分)在下列各式中，能运用平方差公式计算的是()

A.Ca-b)(b-a)B.(a-1)(-a+1)

C.(2a-h)(a+2h)D.C-a-h)(-b+a)

【分析】运用平方差公式(a+6)(a-b)=.2-廿时，关键要找相同项和相反项，其结

果是相同项的平方减去相反项的平方.

【解答】解：人(a-b)(b-a)中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算；

B.(a-1)(-a+1)中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算；

C.(2a-b)(a+2b)中不存在相同和相反的项，故不能用平方差公式计算;

D.(-«-/?)(-b+a)符合平方差公式.

故选：D.

【点评】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键.

9.(3分)如图1,在边长为。的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部

分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的

关系，可验证的等式为()

厂

图1图2

A.(a-3)2—a2-6a+9B.(a+3)2—a2+6a+9

C.a(a+3)=a2+3aD.(a+3)(«-3)=J-9

【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可.

【解答】解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即“2-32=/

-9,

图2是长为a+3,宽为a-3的长方形，因此面积为(a+3)(a-3),

所以有Q+3)(a-3)=j-9,

故选：D.

【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前

提.

10.(3分)如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A,3是两个格点，如

果点C也是图形中的格点，且AABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有()

।<।'।>।

'-----+----广---+-----'-----+-----'

11dli11t

.....................................................................................................

'I•।iI'

i____।____x__________x__________J

A.3个B.4个C.5个D.6个

【分析】先利用勾股定理求出线段的长，再结合等腰三角形的定义，在网格中画出图形

即可.

【解答】解：如图，点Cl,C2,C3,C4,C5即为所求.

故选：C.

【点评】本题主要考查等腰三角形的定义及网格中利用勾股定理求线段的长，解题的关

键是利用勾股定理求出线段长，要求学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考

题型.

二.填空题（本大题共16分，每小题2分）

11.（2分）若（〃-2）°=1,则〃需要满足的条件是a#2.

【分析】直接利用零指数幕的性质得出答案.

【解答】解：若（〃-2）°=1,则a需要满足的条件是：aA2.

故答案为：aW2.

【点评】此题主要考查了零指数累的定义，正确把握定义是解题关键.

12.（2分）一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角的4倍，它的底角是30度.

【分析】根据等腰三角形的性质可得，等腰三角形的两个底角相等，所以设底角为x,则

顶角就是4x,再根据三角形内角和是180度，即可列出方程求出x的值，即可得出这个

等腰三角形的底角的度数.

【解答】解：设等腰三角形的底角为x°，则顶角就是4x°,则：

x+x+4x=180,

***x—30,

故答案为：30.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质,解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°,

求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型.

13.（2分）已知/=7,）=3,则/+%=21.

【分析】根据逆用同底数累的乘法进行计算即可求解.

【解答】解：当/=7,»=3时，

=7X3

=21.

故答案为：21.

【点评】本题考查了同底数事的乘法，掌握同底数塞的乘法运算法则是解题的关键.

14.（2分）如图，在△ABC中，BO和CQ分别平分NA8C和NACB,过点。作EF〃BC,

分别交A3,AC于点E,F,若BE=3,CF=4,则线段EF的长为7.

【分析】根据8。平分NABC,可得NAB£)=NCOB,再利用E尸〃BC,可证BE=£»,

同理可证DF=CF,即可证明BE+CF=EF.

【解答】解：平分/A8C,

NABD=/CBD,

,JEF//BC,

:.NEDB=NDBC,

：.NABD=NEDB,

:.BE=ED,

同理。F=CF,

；.EF=BE+CF=3+4=1,

故答案为：7.

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质，解答此题的关

键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定.

15.(2分)求值：20222022X(二2021X(n-3.14)°=2022.

2022

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及零指数基的性质分别化简，进而得出答案.

【解答】解：原式=2022X[20222021x(—1_)2021]X1

2022

=2022X1X1

=2022.

故答案为：2022.

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及零指数基的性质，正确化简各数是解题关键.

16.(2分)点5)与点N(-3,b)关于y轴对称，则2a-。=一.

【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出m〃的值，再利用有理数的乘方运算法则

求出答案.

【解答】解：,••点M(小5),点N(-3,h)关于y轴对称，

♦・。=3,b=5,

：.2a-b=2X3-5=1.

故答案为：1.

【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出m匕的值是解题关键.

17.（2分）如图，在RtZsABC中，NAC8=90°,CO_LA8于。，ZBCD=50°,B关于

CD对称点是E,则NACE=是°.

【分析】根据轴对称的性质可知根据C£）_LAB于。，ZBCD=50°,得NB,

再求出NCCE的度数，再根据NACE=NQCE-/QCA,从而求得答案.

【解答】解：：在Rt/XABC中，ZACB=90a,CD_LAB于。，/BCD=50°,B关于

CD对称点是E,

:.NB=NE,NB=90°-ZBCD=90°-50°=40,ZB=ZE=40°,ZDCA=90°

-ZBCD=90°-50°=40°,

在△（?£>£：中，

；CZ）_LA8于£>,

/.ZCDE=90°,NE=40°,

ZDCE=90°-NE=90°-40°=50°,

AZACE=ZDCE-ZDCA=50°-40°=10°,

故答案为：10°.

【点评】本题考查轴对称的性质，直角三角形性质，关键是得到NACE=NOCE-ZDCA.

18.（2分）若关于x的多项式2x+m与x+3相乘所得的多项式中不含x的一次项，则,"=_二

6.

【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算，再根据相乘所得的多项式中不含x的一

次项，列出等式计算即可.

【解答】解：（2X+/M）（X+3）

=2^+（>x+mx+?>m

=才+（6+〃?）x+3m,

:相乘所得的多项式中不含x的一次项，

6+〃?=0,

•\rn=-6,

故答案为：-6.

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘的法则，要求多项

式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0是解题关键.

三.解答题(本大题共54分，第19题16分，第20-21题每题4分，第22-23题每题5分，

第24、25题每题6分，第26题8分)

19.(16分)计算.

(1)2?(?-3x-2)；

(2)(x-2)(x-5)；

(3)(12/n3-6m2+3m)4-3/n；

(4){3a+b-2)(3a-ZH-2).

【分析】(1)根据单项式乘多项式计算即可；

(2)根据多项式乘多项式计算即可；

(3)根据多项式除以单项式计算即可；

(4)根据完全平方公式和平方差公式计算即可.

【解答】解：(1)2?(?-3x-2)=2x4-6?-4?；

(2)(x-2)(x-5)

-5x-2x+10

=7-7x+10；

(3)(12/M3-6m2+3m)4-3m

=12，/+3,*-6w2-r3m+3m-?3w

=4m-2/w4-1；

(4)(3a+b-2)(3a-b+2)

=[3a+Ch-2)][3a-(/?-2)]

=9/-(/?-2)2

=9a2-b2+4b-4.

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则和

运算顺序.

20.(4分)如图，在△ABC与△OC3中，4C与8。交于点£且NA=NO,ZACB=Z

DBC,

求证：AB—CD.

【分析】由"A4S"可证△ABC丝△OCB,可得AB=C£>.

【解答】证明：在△A8C和△OCB中，

<ZA=ZD

<ZACB=ZDBC>

BC=CB

.,.△ABC丝△QCB(A4S),

：.AB=^CD.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.

21.(4分)先化简，再求值：(X-2)2-(2x+3)(2r-3)+3x(x+2),其中x=5.

【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式，可以将题目中的式子展开,

然后合并同类项即可化简题目中的式子，最后将x的值代入化简后的式子计算即可.

【解答】解：(x-2)2-(2x+3)(2x-3)+3x(x+2)

=7-4x+4-4/+9+3/+6x

2x+13,

当x=15时，原式=2X15+13=43.

【点评】本题考查整式的混合运算一化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的

运算法则和运算顺序.

22.(5分)如图，在平面直角坐标系中，ZVIBC的顶点A(-1,4),B(-2,1),C(-4,

3).

(1)AABC的面积是4；

(2)己知△ABC与△A1BC1关于y轴对称，△481。与2c2关于x轴对称，请在

坐标系中画出△AiBiCi和△/hB2c2；

(3)在)，轴有一点P,使得△必92周长最短，请画出点P的位置(保留画图的痕迹).

【分析】(1)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；

(2)利用关于y轴对称的点的坐标特征得到4、Bi、。的坐标，再描点得到△4B1C1；

然后利用关于x轴对称的点的坐标特征得到42、&、C2的坐标，再描点得到282c2；

(3)由于A1B2为定值，则办1+PB2的值最小时，△出1比周长最短，利用点A与点4

关于y轴对称得到雨=附1,所以南I+P82=B4+P82=A&,根据两点之间线段最短得到

此时雨1+尸治的值最小.

【解答】解：(1)ZViBC的面积=3X3-』X2X2-工X1X3-工X3X1=4；

222

故答案为：4；

(2)如图，△4B1C1和282c2为所作；

(3)如图，点P为所作.

【点评】本题考查了作图-轴对称变换：掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解决问

题的关键.也考查了最短路径问题.

23.(5分)己知/+『=34,x+y=2,求肛和x-y的值.

【分析】先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出(x-y)2的值，

再求出答案即可.

【解答】解：•.'x2+)2=34,x+y=2,x2+y2=(x+y)2-2xy,

A34=22-2xy,

•\xy=-15,

二(x-y)2=7-R，+)，2=34-2X(-15)=64,

.".x-y=±8.

【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键,

注意：(r+2ah+b2=(。+6)a2-2ah+b1=(a-b)2.

24.(6分)在等边△ABC中，O为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE,

连CE.

(1)如图1,若点。在线段BC上，求证：BD=CE；

(2)若AC=7,CE=3,直接写出CQ的长度.

图1备用图

【分析】(I)证明△ABOZZXACE(SAS),可得结论；

(2)分两种情况画出图形，结合(1)的结论可得答案.

【解答】(1)证明：如图1中，VAABC,△AOE为等边三角形,

：.ZBAC^ZDAE,AB^AC,AD=AE,

：.ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,

即NBA。=NCAE,

A/\ABD^/\ACE(SAS),

：.BD=CE；

(2)解：①。在边BC上，如图：

A

B

:△ABC为等边三角形,

：.BC=AC=7,

由(1)知BD=CE=3,

：.CD=BC-BD=1-3=4,

②。在8左侧时，如图:

同理可证△ABOgAACE(SAS),

：.BD=CE=3,

：.CD=8C+8O=7+3=10,

综上所述，CQ的长为4或10.

【点评】本题考查等边三角形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与旋转，解题的关

键是证明△ABO会/XACE.

25.(6分)先阅读下面材料，再解决问题:

已知^+bx+c=0.在求关于x的代数式的值时，可将x2+bx+c—0变形为X2--bx-c.就

可以将/表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为

“降次代换法”.

例如：已知/+2x-4=0,求代数式f(x+4)的值.

解：V%2+2X-4=0,

.，./=-2x+4.

.,.原式=(-2x+4)(x+4)=-*-8x+4x+16=-2x2-4x+16=-2(-2x+4)-4x+16

=4x-8-4x+16=8.

.,.x2(x+4)=8.

请用“降次代换法”，完成下列各小题：

(1)若f+x-15=0,则代数式(x+4)(x-3)的值为3.

(2)若f+5x+l=0,则代数式x(/+5x)+(x+7)(x-1)的值为-8.

(3)已知?+2x-1=0,求代数式2/+8於+12?+8犬+3的值.

【分析】(1)对代数式展开计算，再用“降次代换法”求值即可；

(2)对代数式展开合并计算，再用“降次代换法”求值即可；

(3)用“降次代换法”对式子进行逐一降次，再进行运算求值即可.

【解答】解：(1)(x+4)(x-3)=?+x-12,

,.,f+x-15=0,

15-x,

.,.7+x-12=15-x+x-12=15-12=3,

二代数式(x+4)(x-3)的值为3.

故答案为：3；

(2)•.•/+5x+l=0,

.♦.7=-5%-1

x(/+5x)+(x+7)(x-1)

=x(-5x-l+5x)+/+6x-7

=-x+(-5x-1)+6x-7

=-6x+6x-7-1

=-8,

，代数式x(7+5x)+(x+7)(x-1)的值为-8.

故答案为：-8；

(3)V?+2x-1=0,

/.JC2=1-2x,

2X4+8?+I2?+8X+3

=2(1-2x)2+8XCl-2x)+12^+81+3

=2(1-4x+4?)+8x-16/+12?+8x+3

=2-8x+8?+8x-le?+lZ^+Sx+S

=5+4X2+8X

=5+4(1-2x)+8x

=5+4-8x+8x

=9,

A2X4+8X3+12X2+8X+3的值为9.

【点评】本题考查了因式分解的引用以及阅读材料的能力，能正确把握阅读材料信息并

应用是解本题的关键，综合性较强，难度较大.

26.(8分)在AABC中，NACB=90°,延长8c至。，使。C=BC,在A8的右侧作线段

AE,使AE=AB,连接。E交AC于点P.

(1)如图1,在线段PE上取点Q,使QE=P£),连接A。，求证：AP=AQ；

(2)若N8AE=60°,依题意补全图2,用等式表示线段以，PD,PE之间的数量关系，

并证明.

图I图2

【分析】(1)证出AD=AE,由等腰三角形的性质得出NAQP=NE,证明4人。尸之ZXAEQ

(SAS),由全等三角形的性质得出AP=AQ；

(2)在OE是截取QE=£)P,连接AQ,由(1)可知△AEQgZSAOP,得出4Q=AP,

ZEAQ=ZDAP,证明△APQ是等边三角形，由等边三角形的性质得出PA=PQ,则可

得出结论.

【解答】(1)证明：VZACB=90°,

：.ACLDB,

；DC=BC,

：.AD=AB,

\'AE=AB,

：.AD=AE,

：.4ADP=/E,

又；QE=PD,

：./\ADP^^AEQ(SAS),

：.AP=AQ；

(2)解：PE=PA+PD.

理由如下：

在QE是截取QE=£>P,连接AQ,

图2

由（1）可知△AE。丝△AOP,

：.AQ=AP,ZEAQ^ZDAP,

'：N£）AC=ABAC,

NBAC=ZEAQ,

'：NBAE=ZBAQ+ZEAQ=60°,

ZBAQ+ZBAC^ZPAQ=60°,

...△APQ是等边三角形，

：.PA=PQ,

：.PE=PQ+EQ=PA+PD.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的

判定与性质，等边三角形的判定与性质，证明△AOP四△AE。是解题的关键.

四、附加题（本题共20分，第27、28题每题3分，第29、30题每题4分，第31题6分）

27.（3分）20222-2023X2021=1.

【分析】根据平方差公式进行计算即可.

【解答】解：原式=2022?-（2022+1）（2022-1）

=20222-20222+1

故答案为：1.

【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式结构特征是正确应用的前提.

28.（3分）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90Q,平分NBAC交BC于点。，

点E是AO上的一动点，以CE为边向上作等边连接BF.则NCBF=30°.

【分析】根据等腰三角形的性质可得ADLBC且BO=CD,进一步可得BE=CE,所以

NEBC=NECB,根据等边三角形的性质可得BE=FE,所以NEBF=NEFB,再根据三

角形内角和定理，可得NCB尸的度数.

【解答】解：连接8E,如图所示：

'：AB=AC,A£>平分/8AC,

二4。_18。且8。=8,

二4。垂直平分BC,

•.•点£是A。上的一动点，

；.BE=CE,

:.NEBC=/ECB,

•.♦△CE尸是等边三角形，

：.EC=EF,ZEFC=ZECF=60Q,

：.BE=EF,

：.NEBF=/EFB,

：.NECB+NEFB=NCBF,

'：ZCBF+ZBCF+ZBFC=180°,

：.2NCBF+60°+60°=180°,

：.ZCBF=30°,

故答案为：30.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，

三角形内角和定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键.

29.(4分)定义一种新运算(mb),若/=匕，贝ij(a,b)=c,例(2,8)=3,(3,81)

=4.已知(3,5)+(3,7)=(3,x),则x的值为35.

【分析】设3"』5,3"=7,根据新运算定义用机、〃表示(3,5)+(3,7),得方程，

求出x的值.

【解答】解：设3，"=5,3"=7,

依题意(3,5)—m,(3,7)—n,

：.(3,5)+(3,7)=帆+”.

(3,x)—m+n,

：.x^y,,+n

=3'"X3"

=5X7

=35.

故答案为：35.

【点评】本题考查了累的乘方、积的乘方等知识点，理解并运用新运算的定义是解决本

题的关键.

30.(4分)如图，RtZ\ABC中，ZACB=90°,NB=30°,AC=2,。为8c上一动点，

E尸垂直平分分别交AC于E、交AB于F,则BF的最大值为旦.

一3一

【分析】要使8F最大，则AF需要最小，而AF="),从而通过圆与8c相切来解决问

题.

【解答】解：方法一、YRtZVlBC中，NACB=90°,ZB=30°,AC=2,

：.AB=2AC=4,

垂直平分AO,

J.AF^DF,

若要使8F最大，则AF需要最小，

以尸为圆心，A尸为半径的圆与BC相切即可,

J.FDLBD,

：.AB=AF+2AF=4,

.'.AF=—,

3

的最大值为4-9=包，

33

方法二：过点F作FHLBC于H,连接。F,

设AF—x,则BF—4-x,

；NB=30°,

:.FH=LBF=2-Xx,

22

--kr,

2

解得X》专，

3

."尸最小值为三，B尸的最大值为4-4=星,

333

故答案为:1.

3

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30。角所对直角边是斜边的一半以及

圆与直线的位置关系，将8F的最大值转化为A尸最小是解决本题的关键，属于压轴题.

31.(6分)对于AABC及其内部任意一点尸，给出如下定义：若点尸满足B4VP8且雨<

PC,则称点尸为点4关于△ABC的“邻近点”，在平面直角坐标系xO)，中，点M坐标为

(4,0).

(1)如图1,点N在x轴上方，若△OMN为等边三角形.

①在点。1(-2,0),22(1,1),0(2,2)中，点O关于△OMN的“邻近点”是02；

②已知点。是点。关于△OMN的“邻近点”，若点。的横坐标为1,则线段0。长度的

取值范围是々。。<2；