高三一轮数学复习学案《§83导数的应用之一》

1、一轮复习学案§8.3. 导数的应用 (1)姓名复习目标 ： 1 理解可导函数的单调性与其导数的关系；2了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)。? 基础热身 ：133x1 对于 x1,1总有 f ( x) 0成立，则 a=。.f ( x) ax2.设函数 f ( x )ax 33x 2( a1) x1 , 其中 a 为实数。32（）已知函数f (x) 在 x1处取得极值，求 a 的值；（）已知不等式f ' (x)x2xa 1对任意 a (0,) 都成立，求实数x 的取值范围。? 知识梳理 ：1 单调性与导数 若 f ( x)0在 a, b 上恒成

2、立，f ( x) 在若 f ( x)0 在 a, b 上恒成立，f ( x) 在 f (x) 在区间a, b 上是增函数f (x)0在 a,bf (x) 在区间a, b 上为减函数f (x)0在 a,b2 极值与导数函数函数上恒成立 ；上恒成立 .10. 设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义，如果左右，则 f ( x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值 ;如果左右，则 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极小值；如果左右不改变符号，那么f (x) 在这个根处注意 :极值是一个局部概念 , 不同与最值 ;函数的极值不是唯一的;极大值与极小值之间大小关系:；数的极值点一定出现

3、在区间的内部.20.求可导函数极值的步骤：；利用导数求函数的最值3设函数在a, b上连续， 在 (a,b) 内可导， 则求 f ( x) 在a,b上的最大值与最小值的步骤：f(x)； 案例分析 ：例 1.已知函数 f ( x)x3ax23bxc(b0) ，且 g (x)f (x)2 是奇函数（）求 a ， c 的值；（）求函数f (x) 的单调区间例 2.已知函数 f ( x)x3ax2x1， aR （）讨论函数f ( x) 的单调区间；（）设函数f ( x) 在区间2，1内是减函数，求a的取值范围33例 3.已知函数f ( x)ex(ax 22x2) ， a R且 a 0 .( ) 若曲线

4、yf ( x) 在点 P(1, f (1) 处的切线垂直于y 轴，求实数 a 的值；( ) 当 a0 时，求函数f ( cosx ) 的最大值和最小值 .例 4.已知函数f ( x )1 x 4x 39 x 2cx有三个极值点。42（ I）证明：27c5 ；（ II）若存在实数c，使函数 f ( x) 在区间 a,a2 上单调递减，求a 的取值范围。参考答案 :? 基础热身 ：1. 【答案】 4【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用, 体现了分类讨论的数学思想。要使 f (x)0恒成立，只要f ( x)min0 在 x1,1 上恒成立。f ( x)3ax233(ax21)10当 a

5、0 时， f ( x)3x 1，所以 f (x)min20 ，不符合题意，舍去。20 当 a0 时 f ( x)3ax233(ax21)0，即 f ( x) 单调递减，f ( x)minf (1)a20a2 ，舍去。30当 a0时 f(x)0x1a 若11a1时 f ( x) 在1,1和1,1上单调递增，在1,1 上aaaaa单调递减。1 )f (1)a40所以 f ( x) min minf (1), f (0f (1)121a4a0aa 当11a1 时 f ( x) 在 x1,1上单调递减，af (x)minf (1)a20a2 ，不符合题意，舍去。综上可知a=4.2. 【解析】（ I ）

6、 f (x)ax23x a1f ( x) 在 x1 取得极值f(1)0 即 a3a10a1（） ax 23x a1x2xa 1即 ( x22)ax22x0令 g (x)(x22)a x22 x即对任意a(0,)都成立则 g (0)0 即 ( x22) 0x22x 02x0例 1. 【解析】（）因为函数g( x)f ( x)2 为奇函数，所以，对任意的xR ， g(x)g( x) ，即 f (x)2f ( x)2 又 f ( x)x3ax23bxc 所以x3ax23bxc2x3ax23bxc 2 a，a解得 a0， c2 所以c2c2（）由（）得f ( x)x33bx 2 所以 f( x)3x2

7、3b(b0) 当 b 0时，由 f(x)0得 xb x 变化时， f ( x) 的变化情况如下表：x(， b )b(b， b)b（， ）bf(x)00所以，当 b0时，函数 f ( x) 在 (，b) 上单调递增，在 (b， b) 上单调递减，在 (b，) 上单调递增当 b0 时， f ( x)0 ，所以函数f (x) 在 (，) 上单调递增例 2. 【试题解析】解： f '(x)=3x 2 +2ax+1令 f '(x)=3x 2 +2ax+1>0，再令 4a212>0时， a2 >3,a< 3,或 a> 3当 a 3，, 3 时， f(x ） 0

8、恒成立，在 R上单调递增当 a ( , 3) ( 3,+ )时，x< 2a 4a212 = a a23 或x> a+ a236a3a3af(x) 单调递增区间为 2a+ a23 ， a a3，3a3a a a23 a+ a23单调增减区间为，3a3a只需 3x2 +2ax+10在区间 ( 2 , 1）恒成立即可。33令g(x)=3x 2 +2ax+1,只需：g( 2 ) 342a2+1 0a73934 a 2 11 1g(+1 0a23)=32a39 的取值范围为2,+)a例 3.解： f ' (x)(ex )'(ax22 x2)ex ( ax22 x 2) 

9、9;=ex(ax22x2)ex(2ax 2)=a ex (x2 )( x 2).a-3分( ) 曲线 yf ( x) 在点 P(1,f (1) 处的切线垂直于y 轴，由导数的几何意义得f '(1)0 ， a2.-6分( ) 设 | cos x | t(0t1) ，只需求函数 yf (t) (0t 1) 的最大值和最小值 .-7分令 f ' ( x)0，解得 x2或 x2 .0， 2a a2 .a当 x 变化时， f '( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,+ )aaaf ' ( x)00f ( x)极大值极小值函数 f (

10、x) 在 (, 2)和(2, +) 上单调递增；在( 2, 2) 上单调递减；aa-9分 当 21 ，即0a2 时，函数 f (t ) 在 0,1上为减函数 .ayminf (1)(a4)e,ymaxf (0)2 .22 时，函数 f (x) 的极小值为 0,1上的最小值， 当 01，即 aa22 yminf (2ea .)a函数 f (t) 在 0,1 上的最大值为f (0) 与 f (1) 中的较大者 . f (0)2， f (1)(a 4)e .当 a42时， f (1)f (0) ，此时 ymaxf (1)(a4)e ；e当 a42f (0) ，此时 ymaxf (0)f (1)2 ；

11、时， f (1)e当2a42时， f(1) f (0) ，此时 ymaxf (0)2 .-12分e综上，当 0a2 时， f (| cos x |) 的最小值为 (a4)e，最大值为2 ；22当 2a4时， f (| cos x |) 的最小值为2ea ，最大值为2；e2时， f (| cos x |) 的最小值为2当 a42ea ，最大值为 (a4) e .-13分e例 4. 【试题解析】（ I ）因为函数 f ( x)1 x4x39 x2cx 有三个极值点 ,42所以 f ( x)x33x29x c 0 有三个互异的实根 .设 g(x)x33x29xc, 则 g (x)3x26x 9 3(

12、x3)(x 1),当 x3 时， g ( x)0, g( x) 在 (, 3) 上为增函数 ;当 3x1时， g( x)0,g( x) 在 (3,1) 上为减函数 ;当 x 1时， g ( x)0,g (x) 在 (1,) 上为增函数 ;所以函数g( x) 在 x3 时取极大值 , 在 x1时取极小值 .当 g( 3)0 或 g(1)0 时 , g (x) 0 最多只有两个不同实根 .因为 g ( x)0有三个不同实根 ,所以 g(3)0 且 g(1) 0.即 27 27 27 c0 , 且 1 3 9 c 0 ,解得 c27, 且 c5, 故27c 5 .（II ）由（ I ）的证明可知，当27c5 时 ,f ( x) 有三个极值点 .不妨设为 x1，x2，x3 （ x1x2x3 ），则 f (x)(xx1 )( xx2 )( xx3 ).所以 f ( x) 的单调递减区间是(，x1 , x2 , x3 若 f ( x) 在区间a,a2 上单调递减，则 a, a2(， x1 ,或 a,a2 x2 , x3 ,若 a, a2(， x1 , 则 a2x1 . 由（ I ）知， x13 ,于是 a5.若 a, a2 x2 , x3 , 则 ax2且 a 2x3 . 由（ I ）知，3x21