高考数学浙江专用总复习教师用书：第5章 第4讲　数系的扩充与复数的引入 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料2019.5第第 4 讲讲数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入最新考纲1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知 识 梳 理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如 abi(ar， br)的数叫复数，其中实部为 a，虚部为 b若 b0，则 abi 为实数；若 a0 且 b0，则 abi 为纯虚数复数相等abicdiac 且 bd(a， b，c，dr)共轭复数abi 与 cdi 共轭ac 且 bd(a，b，c，dr)复平面建立平面直角坐标

2、系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设oz对应的复数为 zabi，则向量oz的长度叫做复数 zabi的模|z|abi| a2b22.复数的几何意义复数集 c 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 c 与复平面内所有以原点 o 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数 zabi复平面内的点 z(a，b)(a，br).(2)复数 zabi(a，br)平面向量oz.3.复数的运算设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(

3、bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：z1z2abicdi（abi） （cdi）（cdi） （cdi）acbd（bcad）ic2d2(cdi0).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)复数 zabi(a，br)中，虚部为 bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()解析(1)虚部为 b；(2)虚数不可以比较大小答案(1)(2)(3)(4)2.

4、(20 xx全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等， 其中 a 为实数， 则 a()a.3b.2c.2d.3解析因为(12i)(ai)a2(2a1)i，所以 a22a1，解得 a3，故选 a.答案a3.(选修 22p112a2 改编)在复平面内，复数 65i，23i 对应的点分别为 a，b.若 c 为线段 ab 的中点，则点 c 对应的复数是()a.48ib.82ic.24id.4i解析a(6，5)，b(2，3)，线段 ab 的中点 c(2，4)，则点 c 对应的复数为z24i.答案c4.(20 xx全国卷)若 a 为实数，且2ai1i3i，则 a 等于()a.4b.3c.3d.4解析由

5、2ai1i3i，得 2ai(3i)(1i)24i，即 ai4i，因为 a 为实数，所以 a4.故选 d.答案d5.已知(12i)z43i，则 z_.解析z43i12i（43i） （12i）（12i） （12i）105i52i，z2i.答案2i6.(20 xx温州调研)设 ar，若复数ai1i(i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则 a_，|z|_.解析复数ai1i（ai） （1i）（1i） （1i）a1（1a）i2，由于复数ai1i(i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则 a11a，解得 a0，则 z1212i，则|z|12212222.答案022考点一复数的有关概念【例 1】 (1)i 为虚数单

6、位，i607的共轭复数为()a.ib.ic.1d.1(2)(20 xx东阳中学期末)设 i 是虚数单位，复数ai2i是纯虚数，则实数 a()a.2b.12c.12d.2解析(1)因为 i607(i2)303ii，i 的共轭复数为 i.所以应选 a.(2)ai2i（ai） （2i）5（2a1）（a2）i5是纯虚数，2a10 且 a20，a12，故选 b.答案(1)a(2)b规律方法(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为 abi(a，br)的形式，以确定实部和虚

7、部.【训练 1】 (1)(20 xx河南六市联考)如果复数2bi12i(其中 i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么 b 等于()a.6b.23c.23d.2(2)设复数 abi(a，br)的模为 3，则(abi)(abi)_.解析(1)由2bi12i（2bi） （12i）522b（b4）i5，由 22bb4，得b23.(2)因为复数 abi(a，br)的模为 3，即 a2b2 3，所以(abi)(abi)a2b2i2a2b23.答案(1)c(2)3考点二复数的几何意义【例 2】 (1)(20 xx全国卷)设复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则 z1z

8、2()a.5b.5c.4id.4i(2)(20 xx全国卷)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限， 则实数 m 的取值范围是()a.(3，1)b.(1，3)c.(1，)d.(，3)解析(1)由题意得 z22i，z1z2(2i)(2i)5，故选 a.(2)由复数z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限得m30，m10，解得3m1，故选 a.答案(1)a(2)a规律方法因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.【训练 2】 (1)(20 xx邯郸一中月考)复数 zi(1i)

9、在复平面内所对应点的坐标为()a.(1，1)b.(1，1)c.(1，1)d.(1，1)(2)(20 xx北京卷)设 ar，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则 a_.解析(1)因为 zi(1i)1i，故复数 zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为(1，1)，故选 d.(2)(1i)(ai)(a1)(a1)i，由已知得 a10，解得 a1.答案(1)d(2)1考点三复数的运算【例 3】 (1)(20 xx全国卷)若 z12i，则4izz1()a.1b.1c.id.i(2)(20 xx全国卷)若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a()a.1b.0c.1d.2解析(1)

10、4izz14i（12i） （12i）1i.(2)因为 a 为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，得 4a0 且 a244，解得 a0，故选 b.答案(1)c(2)b规律方法(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)22i；1i1ii；1i1ii；abiibai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nn).【训练 3】 (1)(20 xx北京卷)复数12i2i()a.ib.1ic.id.1i(2)1i1i62 3i3 2i_.解析(1)12i2i（

11、12i） （2i）（2i） （2i）2i4i2i24i25i5i，故选 a.(2)原式（1i）226（ 2 3i） （ 3 2i）（ 3）2（ 2）2i662i3i 651i.答案(1)a(2)1i思想方法1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数 zabi(a， br)是由它的实部和虚部唯一确定的， 两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数 zabi(a， br)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.易错防范1.判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的

12、，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意复数的虚部是指在 abi(a，br)中的实数 b，即虚部是一个实数.基础巩固题组(建议用时：30 分钟)一、选择题1.(20 xx福建卷)若(1i)(23i)abi(a，br，i 是虚数单位)，则 a，b 的值分别等于()a.3，2b.3，2c.3，3d.1，4解析(1i)(23i)32iabi，a3，b2，故选 a.答案a2.(20 xx四川卷)设 i 为虚数单位，则复数(1i)2()a.0b.2c.2id.22i解析(1i)212ii22i，故选 c.答案c3.(20 xx山东卷)若复数 z21i，其中 i 为虚数单位，则 z

13、()a.1ib.1ic.1id.1i解析z21i2（1i）（1i） （1i）1i，z1i，故选 b.答案b4.(20 xx安徽卷)设 i 为虚数单位，则复数(1i)(12i)()a.33ib.13ic.3id.1i解析(1i)(12i)12ii2i23i.答案c5.复数1i2i对应的点位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限解析复数1i2i（1i） （2i）（2i） （2i）3515i，其对应的点为35，15 ，在第四象限，故选 d.答案d6.(20 xx北京东城综合测试)若复数(m2m)mi为纯虚数， 则实数m的值为()a.1b.0c.1d.2解析因为复数(m2m)mi 为纯

14、虚数，所以m2m0，m0，解得 m1，故选 c.答案c7.已知复数 z12i2i(i 为虚数单位)，则 z 的虚部为()a.1b.0c.1d.i解析z12i2i（12i） （2i）（2i） （2i）5i5i，故虚部为 1.答案c8.设 z 是复数，则下列命题中的假命题是()a.若 z20，则 z 是实数b.若 z20，则 z 是虚数c.若 z 是虚数，则 z20d.若 z 是纯虚数，则 z20解析举反例说明，若 zi，则 z210，故选 c.答案c9.(20 xx全国卷)已知复数 z 满足(z1)i1i，则 z 等于()a.2ib.2ic.2id.2i解析由(z1)i1i，两边同乘以i，则有

15、z11i，所以 z2i.答案c10.设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()a.若|z1z2|0，则z1z2b.若 z1z2，则z1z2c.若|z1|z2|，则 z1z1z2z2d.若|z1|z2|，则 z21z22解析a 中，|z1z2|0，则 z1z2，故z1z2，成立.b 中，z1z2，则z1z2成立.c 中，|z1|z2|，则|z1|2|z2|2，即 z1z1z2z2，c 正确.d 不一定成立，如 z11 3i，z22，则|z1|2|z2|，但 z2122 3i，z224，z21z22.答案d11.(20 xx浙江省三市联考)若复数 za3iia 在复平面上对应的点在第二象限，

16、则实数 a 可以是()a.4b.3c.1d.2解析因为 za3iia(3a)ai 在复平面上对应的点在第二象限，所以 a3，选 a.答案a12.(20 xx全国卷)设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi|()a.1b. 2c. 3d.2解析由(1i)x1yi， 得 xxi1yix1，xyx1，y1.所以|xyi| x2y2 2，故选 b.答案b二、填空题13.(20 xx江苏卷改编)复数 z(12i)(3i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_；z 的虚部是_.解析(12i)(3i)35i2i255i，所以 z 的实部为 5，虚部为 5.答案5514.(20 xx四川卷)设

17、 i 是虚数单位，则复数 i1i_.解析i1iiii22i.答案2i15.(20 xx江苏卷)设复数 z 满足 z234i(i 是虚数单位)，则 z 的模为_.解析设复数 zabi，a，br，则 z2a2b22abi34i，a，br，则a2b23，2ab4(a，br)，解得a2，b1或a2，b1，则 z(2i)，故|z| 5.答案516.(20 xx丽水质测)若3bi1iabi(a， b 为实数， i 为虚数单位)， 则 a_；b_.解 析3bi1i（3bi） （1i）212(3 b) (3 b)i 3b23b2i.a3b2，b3b2，解得a0，b3.ab3.答案03能力提升题组(建议用时：2

18、0 分钟)17.若 i 为虚数单位，图中复平面内点 z 表示复数 z，则表示复数z1i的点是()a.eb.fc.gd.h解析由题图知复数 z3i，z1i3i1i（3i） （1i）（1i） （1i）42i22i.表示复数z1i的点为 h.答案d18.z是 z 的共轭复数，若 zz2，(zz)i2(i 为虚数单位)，则 z 等于()a.1ib.1ic.1id.1i解析法一设 zabi，a，b 为实数，则 zabi.zz2a2，a1.又(zz)i2bi22b2，b1.故 z1i.法二(zz)i2，zz2i2i.又 zz2，(zz)(zz)2i2，2z2i2，z1i.答案d19.(20 xx全国卷)设

19、 z11ii，则|z|()a.12b.22c.32d.2解析z11ii1i（1i） （1i）i1i2i1212i，|z|12212222，故选 b.答案b20.(20 xx温州月考)已知复数 z(cos isin )(1i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是()a.4b.2c.34d.54解析因为 z(cos sin )(cos sin )i，所以当34时，z 2i 为纯虚数，当 z 为纯虚数时，k4.故选 c.答案c21.(20 xx哈尔滨六中期中)若复数 z 满足 iz12(1i)，则 z 的共轭复数的虚部是()a.12ib.12ic.12d.12解析iz12(1i)z12（1i）i12（1i）iii12(1i)，则 z 的共轭复数 z12(1i)，其虚部是12.答案c22.(20 xx绍兴月考)i 是虚数单位，若2i1iabi(a，br)，则 lg(ab)的值是()a.2b.1c.0d.12解析（2i） （1i）（1i） （1i）3i23212iabi，a32，b12，lg(ab)lg 10.答案c23.下面是关于复数 z21i的四个命题：p1：|z|2;p2：z22i；p3：z