高三数学理一轮复习夯基提能作业本：第三章 导数及其应用 第四节　导数的综合应用 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5第四节导数的综合应用a组基础题组1.(20xx山东枣庄一模,10)设函数f(x)在r上存在导数f'(x),xr,有f(-x)+f(x)=x2,在(0,+)上,f'(x)<x,若f(4-m)-f(m)8-4m,则实数m的取值范围为()a.-2,2b.2,+)c.0,+)d.(-,-22,+)2.(20xx安徽a10联盟3月模拟,12)已知函数f(x)=exx2-k2x+lnx,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为()a.(-,eb.0,ec.(-,e)d.0,e)3.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=13x3

2、-392x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为. 4.(20xx北京,19,13分)设函数f(x)=x22-klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点.5.(20xx天津,20,14分)已知函数f(x)=nx-xn,xr,其中nn*,且n2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为p,曲线在点p处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)g(x);(3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x

3、2-x1|<a1-n+2.b组提升题组6.设函数f(x)=aex(x+1)(其中e=2.71828),g(x)=x2+bx+2,已知它们的图象在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在t,t+1(t>-3)上的最小值;(3)判断函数f(x)=2f(x)-g(x)+2的零点个数.7.设f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3.(1)如果存在x1,x20,2使得g(x1)-g(x2)m成立,求满足上述条件的最大整数m;(2)如果对任意的s,t12,2都有f(s)g(t)成立,求实数a的取值范围.答案全解全析a组基础题组1.b令g(x

4、)=f(x)-12x2(xr),g(-x)+g(x)=f(-x)-12x2+f(x)-12x2=0,函数g(x)为奇函数.x(0,+)时,g'(x)=f'(x)-x<0,故函数g(x)在(0,+)上是减函数,可知g(x)在r上是减函数,f(4-m)-f(m)=g(4-m)+12(4-m)2-g(m)-12m2=g(4-m)-g(m)+8-4m8-4m,g(4-m)g(m),4-mm,解得m2,故选b.2.af'(x)=x2ex-2xexx4-k-2x2+1x=(x-2)exx-kx2(x>0).设g(x)=exx,则g'(x)=(x-1)exx2,则

5、g(x)在(0,1)内单调减,在(1,+)内单调增.g(x)在(0,+)上有最小值,为g(1)=e,结合g(x)=exx与y=k的图象可知,要满足题意,只需ke,选a.3.答案40解析易知y'=x2-39x-40.令y'=x2-39x-40=0,得x=-1(舍去)或x=40,当0<x<40时,y'<0;当x>40时,y'>0,所以当x=40时,y有最小值.4.解析(1)由f(x)=x22-klnx(k>0)得f'(x)=x-kx=x2-kx.由f'(x)=0解得x=k.f(x)与f'(x)在区间(0,+

6、)上的情况如下表:x(0,k)k(k,+)f'(x)-0+f(x)k(1-lnk)2所以,f(x)的单调递减区间是(0,k),单调递增区间是(k,+);f(x)在x=k处取得极小值f(k)=k(1-lnk)2.(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+)上的最小值为f(k)=k(1-lnk)2.因为f(x)存在零点,所以k(1-lnk)20,从而ke.当k=e时,f(x)在区间(1,e)上单调递减,且f(e)=0,所以x=e是f(x)在区间(1,e上的唯一零点.当k>e时,f(x)在区间(0,e)上单调递减,且f(1)=12>0,f(e)=e-k2<0,所以f(x

7、)在区间(1,e上仅有一个零点.综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点.5.解析(1)由f(x)=nx-xn,可得f'(x)=n-nxn-1=n(1-xn-1),其中nn*,且n2.下面分两种情况讨论:当n为奇数时.令f'(x)=0,解得x=1,或x=-1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)(-1,1)(1,+)f'(x)-+-f(x)所以,f(x)在(-,-1),(1,+)上单调递减,在(-1,1)内单调递增.当n为偶数时.当f'(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增;当f&

8、#39;(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减.所以,f(x)在(-,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.(2)证明:设点p的坐标为(x0,0),则x0=n1n-1,f'(x0)=n-n2.曲线y=f(x)在点p处的切线方程为y=f'(x0)(x-x0),即g(x)=f'(x0)(x-x0).令f(x)=f(x)-g(x),即f(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0),则f'(x)=f'(x)-f'(x0).由于f'(x)=-nxn-1+n在(0,+)上单调递减,故f'(x)在(0,+)上单调递减.

9、又因为f'(x0)=0,所以当x(0,x0)时,f'(x)>0,当x(x0,+)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,+)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有f(x)f(x0)=0,即对于任意的正实数x,都有f(x)g(x).(3)证明:不妨设x1x2.由(2)知g(x)=(n-n2)(x-x0).设方程g(x)=a的根为x'2,可得x'2=an-n2+x0.当n2时,g(x)在(-,+)上单调递减.又由(2)知g(x2)f(x2)=a=g(x'2),可得x2x'2.类似地,设曲线y=f(x)

10、在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=nx.当x(0,+)时,f(x)-h(x)=-xn<0,即对于任意的x(0,+),f(x)<h(x).设方程h(x)=a的根为x'1,可得x'1=an.因为h(x)=nx在(-,+)上单调递增,且h(x'1)=a=f(x1)<h(x1),因此x'1<x1.由此可得x2-x1<x'2-x'1=a1-n+x0.因为n2,所以2n-1=(1+1)n-11+cn-11=1+n-1=n,故2n1n-1=x0.所以,|x2-x1|<a1-n+2.b组提升题组6.解析(1)f&

11、#39;(x)=aex(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数图象在x=0处有相同的切线,f'(0)=2a,g'(0)=b.2a=b,f(0)=a=g(0)=2,a=2,b=4.f(x)=2ex(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)由(1)得f'(x)=2ex(x+2).由f'(x)>0得x>-2,由f'(x)<0得x<-2,f(x)在(-2,+)上单调递增,在(-,-2)上单调递减.t>-3,t+1>-2.当-3<t<-2时,f(x)在t,-2上单调递减,在-2,t+1上单调递增,f

12、(x)min=f(-2)=-2e-2.当t-2时,f(x)在t,t+1上单调递增,f(x)min=f(t)=2et(t+1).当-3<t<-2时,f(x)min=-2e-2;当t-2时,f(x)min=2et(t+1).(3)由(1)得f(x)=4ex(x+1)-x2-4x.求导得f'(x)=4ex(x+1)+4ex-2x-4=2(x+2)·(2ex-1),由f'(x)>0得x>-ln2或x<-2,由f'(x)<0得-2<x<-ln2,所以f(x)在(-,-2),(-ln2,+)上单调递增,在(-2,-ln2)上

13、单调递减,故f(x)极小值=f(-ln2)=2+2ln2-(ln2)2=2+ln2(2-ln2)>0,f(-4)=4e-4×(-4+1)-16+16=-12e-4<0,故函数f(x)=2f(x)-g(x)+2只有一个零点.7.解析(1)存在x1,x20,2使得g(x1)-g(x2)m成立,等价于g(x1)-g(x2)maxm,因为g(x)=x3-x2-3,所以g'(x)=3x2-2x=3xx-23,列表分析如下:x00,232323,22g'(x)-0+g(x)-3递减-8527递增1由上表可知在区间0,2上,g(x)min=g23=-8527,g(x)max=g(2)=1,所以g(x1)-g(x2)max=g(x)max-g(x)min=11227,所以满足条件的最大整数m=4.(2)对任意的s,t12,2都有f(s)g(t)成立等价于在区间12,2上,函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值.由(1)知,在区间12,2上,g(x)的最大值为g(2)=1.所以在区间12,2上,f(x)min1.又因为f(1)=a,所以a1.下面证当a1时,在区间12,2上,f(x)1恒成立.当a1且x12,2时,f(x)=ax+xlnx1x+xlnx,记h(x)=1x+