22数字信号处理

1、第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第1页页x2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的定义 正变换正变换ftft成立的充分必要条件是序列成立的充分必要条件是序列 x(n) 满足绝满足绝对可和的条件，对可和的条件， 即满足下式：即满足下式：( )nx nf )n(xe )n(x)e(xnnjj 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2页页x逆变换逆变换 deenxdeexmjnjnmjj)()( denxnmjn )()(）（式式中中mndenmj 2 )

2、( de )e(x)n(xnjj 21 因此n和和m均为整数均为整数第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第3页页x2.2.2 序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质ft的周期性的周期性线性线性时移和频移时移和频移ft的对称性的对称性时域卷积定理时域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理帕斯维尔（帕斯维尔（parseval)定理定理第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第4页页x1. ft的周期性的周期性(2)()( ),jjm nnx ex n em为整数为整数因此序列的傅里叶变换是频率因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数，的周期函

3、数， 周周期是期是2。 这样这样x(ej)可以展成傅里叶级数，其系可以展成傅里叶级数，其系数是数是x(n) ，其实定义式已经是傅里叶级数的形，其实定义式已经是傅里叶级数的形式式 。 n)( jnjee 2 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第5页页x 1 012341 10123456nn( a )( b )12) 12(mcosmncosn 4 ,2 , 0 直流频率直流频率：最高频率：最高频率： 例如例如一般只分析一般只分析之间或之间或0 2之间的之间的ft。结论：结论：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第6页页x2.

4、 线性线性11221212() ( ),() ( ),( )( )()()jjjjx eft x nx eft x nft ax nbx nax ebx e那么那么 设设 式中式中a, b为常数为常数第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第7页页x3. 时移与频移时移与频移设设x(e j)=ftx(n)， 那么那么时移性质时移性质频移性质频移性质 jnjexennx00ft 00ft jnjexnxe第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第8页页x4. ft的对称性的对称性（1）共轭对称与共轭反对称以及它们的性质共轭对称与共轭反对

5、称以及它们的性质设序列设序列xe(n)满足下式：满足下式： xe(n)=x*e(-n) 则称则称xe(n)为共轭对称序列为共轭对称序列。类似地，定义共轭反对称序列类似地，定义共轭反对称序列 xo(n)= - x*o(-n) 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第9页页x结论结论3.3.任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，示， 即即 x(n)=xe(n)+xo(n)共轭对称序列共轭对称序列1.共轭对称序列其实部是偶函数，共轭对称序列其实部是偶函数， 而虚部是奇函数。而虚部是奇函数。2.共轭反对称序列的实部是奇函

6、数，共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数。而虚部是偶函数。 nxnxnxe 21 nxnxnxo 21共轭反对称序列共轭反对称序列第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第10页页x频域函数频域函数x(ej)也有和时域类似的概念和结论也有和时域类似的概念和结论x(ej)=xe(ej)+xo(ej)一般函数一般函数共轭对称部分共轭对称部分共轭共轭反反对称部分对称部分xe(ej) =x*e(e - j)1()()()21()()()2jjjejjjoxex exexex exexo(ej) = - x*o(e - j )第第2章章 时域离散信号和系统的频域分

7、析时域离散信号和系统的频域分析第第11页页x（2） 对称性对称性 对称性质（对称性质（1）：序列）：序列x(n)分成实部分成实部xr(n)与虚部与虚部xi(n) 两部分，两部分， 实部对应的实部对应的ft具有共轭对称性，具有共轭对称性， 虚部和虚部和j一起对应的一起对应的ft具有共轭反对称性。具有共轭反对称性。 nnjiijonnjrrjeenxnxexenxnxex )(j)(ftj)()()(ft)(第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第12页页xx(n)=xe(n)+xo(n)(imj)()( jjrjexexex 对称性质（对称性质（2）：）：将序列分

8、成共轭对称部分将序列分成共轭对称部分xe(n)和和共轭反对称部分共轭反对称部分xo(n)，序列的共轭对称部分序列的共轭对称部分xe(n)对应着对应着ftft的实部的实部xr(ej)， 而序列的共轭反对称部而序列的共轭反对称部分分xo(n)对应着对应着ftft的虚部的虚部jxi(ej)。 即即第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第13页页x(3) 实因果序列实因果序列h(n)的对称性的对称性因为因为h(n)是实序列，是实序列， 其其ft只有共轭对称部分只有共轭对称部分he(ej)， 共轭反对称部分为零。共轭反对称部分为零。 h(ej)=he(ej)共轭对称性其实

9、部是偶函数，其实部是偶函数， 虚部是奇函数虚部是奇函数hr(ej)=hr(e -j)hi(ej)= - hi(e -j)h(ej)=h*(e-j)实序列的实序列的ft具有共轭对称性具有共轭对称性第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第14页页xh(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n) 根据共轭对称和共轭反对称的定义可得根据共轭对称和共轭反对称的定义可得因为因为h(n)是实因果序列，是实因果序列， 可以表示：可以表示： 0 , )(210 ),(210 ),0()(nnhnnhnhnhe 0 ,

10、)(210 ),(210 , 0)(nnhnnhnnho第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第15页页x实因果序列实因果序列h(n)分别用分别用he(n)和和ho(n)表示为表示为)()0()()()()()()(nhnunhnhnunhnhoe 0 , 00 , 10 , 2)(nnnnuhe(n)是偶函数，是偶函数，ho(n)是奇函数是奇函数第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第16页页x设设 y(n)=x(n)*h(n), 则则 y(e j)=x(e j)h(e j)证明证明 mmnhmxny)()()(njmnjemn

11、hmxnyey )()()(ft)(令令k= n- m ，则则)()( )()( )()()( jjmjmkjkmjkjmkjexehemxekheemxkhey 该定理表明：时该定理表明：时域两序列卷积，域两序列卷积，频域服从相乘关频域服从相乘关系。系。5. 时域卷积定理时域卷积定理第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第17页页x6. 频域卷积定理频域卷积定理设设 y(n)=x(n)h(n) dhxhxy )(e)(e21)(e)(e21)(e )j(jjjj则则证明证明njnjenhnxey )()()(njnjnjedeehnx )(21)(交换积分与求

12、和的次序交换积分与求和的次序 denxeheynjnjj)( )(21)()( 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第18页页x)()(21 )()(21)()( jjjjjehexdexehey 该定理表明：时域两序列相乘，频域服从卷积关系。该定理表明：时域两序列相乘，频域服从卷积关系。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第19页页x 7. 帕斯维尔帕斯维尔(parseval)定理定理 dexnxjn2)(21)(2证明证明)(21 )()()()(2 deexnxnxnxnxnjjnnn2*1()( )211()()()22jj nnjjjx ex n edx exedx ed第第2章章