高中数学选修2-2推理与证明单元测试卷

1、章末检测一、选择题1 .由 i=i2,i+ 3 = 22,1 + 3+ 5= 32,1 + 3 + 5+ 7=42,，得到 1 + 3+ (2n1)= n2 用的是（）A.归纳推理B.演绎推理C.类比推理D.特殊推理答案 A2 .在4ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF/ BC,这个问题的大前提为（）A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线D.EF / BC答案 A解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为 ABC的中位线；结论： EF / BC.3 .用反证法证明命题“ <2 +也是无理数”时，假

2、设正确的是 （）A.假设也是有理数C.假设/或血是有理数答案 DB.假设43是有理数D.假设42+由是有理数解析应对结论进行否定，则V2+V3不是无理数，即 J2+6是有理数.6.一 14 .若A是 ABC的一个内角，cos A>2,则A的取值范围是（）兀A. 0, 6B. 0,兀 兀兀C. 6' 2D. 3,一1兀）又cos A>且y= cos A在（0, nt上是减函答案 B解析 A是4ABC的一个内角，A (0数，.0<a<3.5 .已知 f(x+1)= 2f j , f(1) = 1(xC N*),猜想 f(x)的表达式为()f x -r 24A.2x+

3、2C.1x+ 12 D- 2x+ 1答案 B解析当 x=1 时，f(2) =2f 1fl +2“22f 22当 x=2 时,f(3)=f7 =42f 32当 x=3 时，f(4)=居=1.2，故可猜想f(x) = ,故选B.x+ 16 .设有两个命题：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切xC R恒成立；函数f(x)= (5 2a)x是减函数.若命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是()A.(巴 2B.(巴 2)C.2 , +8)D.( 2,2)答案 A解析 若为真，则A= 4a216V0.即一2v a<2;若为真，则5- 2a > 1,即av 2.当真 假时，无

4、解；当假真时，aw2.7 .在R上定义运算。：xOy = :.若关于x的不等式(x-a)O(x+1-a)>0的解集是集合x|2 y-2<x< 2, xCR的子集，则实数a的取值范围是()A.2,2 B.1,2 C.1,2)D. 2,1答案 D x一ja >0, x7a"a" < 0 的解集为x|av xv a+1,也就是x|2w xw 2的子集,解析,、._x a由正乂知(x-a)G(x+ 1 a)= 2-x+1-ax a1 + a xx ax 1 + a，不等式为a > 2,解得2WaW1.1 + a<2,8.对“a, b, c是

5、不全相等的正数”，给出下列判断：(a b)2 + (b c)2+ (c a)2w 0；a = b与b=c及a= c中至少有一个成立；awc, bwc, aw b不能同日成立 .其中判断正确的个数为()A.0 B.1C.2 D.3答案 B一， 19.数列an满足a1 = 2,解析 若(ab)2+(bc)2+(ca)2 = 0,则a = b=c,与"a, b, c是不全相等的正数“矛盾， 故正确.a= b与b= c及a= c中最多只能有一个成立，故 不正确.由于“a, b, c是不全相 等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确.1 一an + 1=1 ,则 a

6、2 015 等于( an1A.2 B.T C.2 D.3答案 B解析 a1 = an+1= 1 , 2an a2= 1 = - 1 , a3= 1 = 2, a4 = 1 = «,a1a2a3 2a5= 1 =1, a6= 1 =2,a4a5 an+3k= an(n N*, kC N*)a2 015= a2 + 3x671 = 32= 1.10.定义在 R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+4),且f(x)在(2, +8)上为增函数.已知X1 + X2<4且(X12) x2 2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值()A.恒小于0B.恒大于0C.可能等于0D.可正也可负

7、答案 A解析不妨设x1-2<0, x2-2>0,贝U x1<2 , x2>2, 1- 2<x2<4 x1,1 - f(x2)<f(4 x1),即一f(x2)> f(4 x1),从而一f(x2)>-f(4-x1)= f(x1),f(x1)+ f(x2)<0.二、填空题11 .观察下列等式：(1 + 1)=2X 1(2+ 1)(2 + 2)=22X 1X3(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3)=23x 1X3X5按此规律，第n个等式可为 .答案 (n+ 1)(n+2)(n+3) n+n)=2n 1 - 3 “ 5(2 1)12 .f(

8、n)=1+1 + 1+ + 1(nCN*),经计算得 f(2)=3, f(4)>2, f(8)>5 f(16)>3, f(32)>7 推测 2 3 n222当n>2时，有.,2 + n答案f(2n)>-2-(n>2)解析 观测f(n)中n的规律为2k(k=1,2,),2+ k不等式右侧分别为 十，k= 1,2,2+ n.,f(2n)>(n>2).13.用数学归纳法证明:2n1+ 1 + 2+ 1 + 2+3+ + 1 + 2+3+ n- n+1时，由n= k至ij n= k+1左边需要添加的项是答案k+ 1 k+ 2解析由n= k到n= k

9、+ 1时，左边需要添加的项是1 21 + 2+3+ k+ 1 k+ 1 k+214 .设S, V分别表不表面积和体积，如 ABC的面积用S*bc表布，二棱锥 OABC的体积用Vo-abc表示，对于命题：如果 O是线段AB上一点，则|oB| OA+|OA| oB=0.将它类比到 平面的情形时， 应该有：若O是4ABC内一点，有Saobc (OA+Saoca OB + Saoba OC=0.将它 类比到空间的情形时，应该有：若 O是三棱锥A- BCD内一点，则有 .答案 Vo-bcd OA+ Vo acd OB+Vo-ABD OC + V。-ABC OD = 0三、解答题15 .设a, b, c三

10、数依次成等比数列，而 x, y分别为a, b和b, c的等差中项，试证：+；= 2.证明依题意,a' b c依次成等比数歹"，即a=b.由比例性质有aa+ b卷，又由题设a+ b b+ cx= 丁片亍,因而包+ c= t 72= r2b_+r2=2? c = 2.x y a+b b+c b+ c b+cb+ c1c16 .证明：对于任息头数 x, y,都有x4+y4 >2xy(x + y)2.一 一 ，1c证明 要证 x4+y4>2xy(x+y)2,只需证 2(x4 + y4) > xy(x+ y)2, 即证 2(x4+ y4) > x3y+ xy3+

11、 2x2y2.只需x4 + y4>x3y+xy3与x4+y4>2x2y2同时成立即可.又知 x4 + y4 2x2y2= (x2y2)2> 0 显然成立，即 x4+ y4> 2x2y2成立，只需再证x4+y4>x3y+xy3即可.而 x4+ y4- x3y- xy3 = (x- y)(x3- y3),. xy 与 x3y3 同号,(x- y)(x3-y3) >0,即 x4+y4>x3y+xy3成立，1c，对于任用、头数x, y,都有x4 + y4>xy(x+ y)2.17 .如图，在直三棱柱 ABCAiBiCi中，E,F分别为 AiB, AiC的

12、中点，点D在BiCi上，AiD，BiC.求证：(i)EF/平面ABC;(2)平面 AiFD,平面 BBiCiC.证明(i)因为E, F分别为AiB, AiC的中点，所以 EF / BC,又EF?平面ABC, BC?平面 ABC,所以EF /平面ABC.(2)因为三棱柱 ABC AiBiCi为直三棱柱，所以 BBi,平面 AiBiCi, BBi± AiD,又 AiD± BiC,所以AiD，平面BBiCiC,又AiD?平面AiFD ,所以平面AiFD，平面BBiCiC.18 .已知 ABC 中，A ： B ： C= i ： 2 ： 6.求证:a_ a+ b b a + b + c.只需证 a2+ab+ac= ab + b2,即证 a(a+ c) = b2由正弦定理，只需证 sin A(sin A+sin C) = si