单自由系统的振动

1、第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动返回总目录振动理论与应用振动理论与应用theory of vibration with applications 返回首页目录theory of vibration with applications 返回首页theory of vibration with applications单自由度系统单自由度系统的的典型的单自由度系统典型的单自由度系统: :弹簧弹簧- -质量系统质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，

2、计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧系统简化成弹簧- -质量系统质量系统 返回首页theory of vibration with applications2.1.1 自由振动方程自由振动方程 2.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率 2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 2.1.4 扭转振动扭转振动 返回首页theory of vibration with applications2.1.1 自由振动方程自由振动方程)(stxkmgxm 当物块偏离平衡位置为当物块偏离平衡位置为x x距离时，物块的距离时，物块的运动微分方程为运动微分方程为 kxxm 02 xpxn 其中m

3、kpn 取物块的静平衡位置为坐标原点取物块的静平衡位置为坐标原点o，x轴轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到在静平衡位置时，由平衡条件，得到stkmg 无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形弹簧的静变形固有圆频率固有圆频率 返回首页theory of vibration with applications其通解其通解为：为：tpctpcxnnsincos2101xc txtxx00000sincos002xc其中其中c1和和c2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t

4、=0时，时， 可解可解00 xxxx ， 返回首页2.1.1 自由振动方程自由振动方程theory of vibration with applications)sin( tpaxn )(arctg)(002020 xxppxxann两种形式描述的物两种形式描述的物块振动，称为无阻块振动，称为无阻尼自由振动，简称尼自由振动，简称自由振动。自由振动。 无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动简谐振动 初相位角 振 幅 返回首页2.1.1 自由振动方程自由振动方程theory of vibration with applications2.1

5、.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率系统振动的周期kmptn22 系统振动的频率mkptfn221 系统振动的圆频率为fpn2 圆频率 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。f、 只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为固有频率，圆频率 称为固有圆频率。 npnpnp 返回首页theory of vibration with applications用弹簧静变形量用弹簧静变形量 st表示固有圆频率的计算公式表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时物块静平衡位置时stkmg mkpn 固有圆频率固有圆频率stgpn stmgk 返

6、回首页2.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率theory of vibration with applications2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数0eqeqqkqm 0kxxm 加加的的力力或或力力矩矩。需需要要在在这这一一坐坐标标方方向向施施位位移移，广广义义坐坐标标方方向向产产生生单单位位等等效效刚刚度度：使使系系统统在在eqk向向施施加加的的力力或或力力矩矩。度度，需需要要在在这这一一坐坐标标方方加加速速广广义义坐坐标标方方向向产产生生单单位位等等效效质质量量：使使系系统统在在eqm 返回首页theory of vibration with applications0e

7、qeqqkqm 0qpqn tpctpcqnncoscos21 tpaqnsin初始速度。初始广义坐标；振动的位相；振动的振幅；系统的固有频率；0000n2020eqeqarctanqqqqppqqamkpnn 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数theory of vibration with applications例例 在图中，已知物块的质量为在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解解：（：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：）并联

8、情况。弹簧并联的特征是：二二弹簧变形相等弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是，而弹性力分别是 st11kf st22kf 系统平衡方程是系统平衡方程是0 xfst2121)(kkffmg 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数theory of vibration with applications如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，

9、则使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 stkmg 21kkkst2121)(kkffmgk称为称为并联弹簧的等效并联弹簧的等效刚度系数。刚度系数。并联后的等效弹簧刚并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。刚度系数的算术和。系统的固有频率系统的固有频率mkkmkf212121 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数theory of vibration with applications（2）串联情况。串联弹簧的特征是：）串联情况。串联弹簧的特征是：二二弹簧受力相等弹簧受力相等。 当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧的静变形之和

10、，即 st = 1st + 2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于由于每根弹簧所受的拉力都等于重力重力mg，故它们的静变形分别为，故它们的静变形分别为1st1kmg2st2kmg如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于的静变形等于kmgst 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数theory of vibration with applications如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于两根弹簧，此弹簧的静变形等于km

11、gst21111kkkkk kkk1212k称为串联弹簧的等效刚度系数1st1kmg2st2kmg串联后的弹簧刚度系数的倒数等于串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和各串联弹簧刚度系数倒数的算术和)(21212121kkmkkmkf 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数theory of vibration with applications例例 质量为质量为m的物块悬挂如图所示。设杆的物块悬挂如图所示。设杆ab的质量不计，两弹的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为簧的弹簧刚度系数分别为k1和和k2,又又ac=a，ab=b，求物块的自，求物块的自由振动频率。由振动

12、频率。 解解：将各弹簧的刚度系数按：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质静力等效的原则，折算到质量所在处。量所在处。 先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质换算至质量量m所在处所在处c的等效刚度系的等效刚度系数数k 。 返回首页theory of vibration with applicationsc2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质量换算至质量m所在处所在处c的等效刚度系数的等效刚度系数k 。 返回首页theory of vibration with applicationsc设在设在c处作用一力处作用一力f，按静力平衡的，按静力平衡的关系，作用

13、在关系，作用在b处的力为处的力为bfa此力使此力使b b 弹簧弹簧 k2 产生产生 变形，变形，222bkfabac而此变形使而此变形使c点发生的变形为点发生的变形为 得到作用在得到作用在c处而与处而与k2弹簧等效的刚度系数弹簧等效的刚度系数 222abkfkc2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数c222abkfkc物块的自由振动频率为物块的自由振动频率为)(221221kbkamkkbmkpn 与弹簧k1串联221222122212221kbkabkkabkkabkkk 返回首页theory of vibration with applications得系统的等效刚度系数得系统的等效刚度系数

14、2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数例例 一个质量为一个质量为m的物块从的物块从 h 的高的高处自由落下，与一根抗弯刚度为处自由落下，与一根抗弯刚度为ei、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。振幅和最大挠度。 st21gf 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数theory of vibration with applications解解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质

15、量系统。如果质量系统。如果知道系统的静变形知道系统的静变形 则求出系统的固有频率则求出系统的固有频率 st由材料力学可知，简支梁受集由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为中载荷作用，其中点静挠度为eimgl483st求出系统的固有频率为求出系统的固有频率为34821mleif 中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为348leik 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数theory of vibration with applications以梁承受重物时的静平衡位置为坐标以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点原点o，建立坐标系，并

16、以撞击时刻，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则为零瞬时，则t=0时，有时，有st0 xghx20自由振动的振幅为自由振动的振幅为st2st20202)(hpxxan )9611 (48233stst2ststmaxmgleiheimglha梁的最大挠度梁的最大挠度 返回首页2.1.3 等效刚度系数等效刚度系数theory of vibration with applications2.1.4 扭转振动扭转振动内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。转中常常产生扭转振动，简称扭振。 扭振系统称为扭振系统称为扭摆扭摆。oa 为一铅直圆轴

17、，圆盘对其转动惯量为为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为io。在研究扭摆的运动规律时，假定在研究扭摆的运动规律时，假定oa的质量略的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，来决定，称称扭角扭角。圆轴的抗扭刚度系数为圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。圆盘产生单位扭角所需的力矩。 返回首页theory of vibration with applications根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程noki 扭振

18、的运动规律扭振的运动规律tpptpnnnsincos00 对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。动规律、特征是完全相同的。 02 np onnikp 固有圆频率固有圆频率 返回首页2.1.4 扭转振动扭转振动theory of vibration with applications图图 (a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两为两轴串联的情况；图轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系

19、统。则为进一步简化的等效系统。2121nnnnnkkkkk并联轴系的等效刚度系数并联轴系的等效刚度系数21nnnkkk串联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数 返回首页2.1.4 扭转振动扭转振动theory of vibration with applications 返回首页theory of vibration with applications计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。 无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。vt常量式中式中t是动能，是动能，v是势能。如果

20、取平衡是势能。如果取平衡位置位置o为势能的零点，系统在任一位置为势能的零点，系统在任一位置222121kxvxmt 返回首页theory of vibration with applications当系统在平衡位置时，当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，速度为最大，势能为零，动能具有最大值动能具有最大值tmax；当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值势能具有最大值vmax。由于系统的机械能守恒由于系统的机械能守恒 maxmaxvt用能量法计算固有频率的公式用能量法计算固有频率的公式 返回首页theory of v

21、ibration with applications例例 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物p连同杆连同杆bd对于对于支点支点b的转动惯量为的转动惯量为ie ,求重物求重物p在铅直方向的振动频率。已知在铅直方向的振动频率。已知弹簧弹簧ac的弹簧刚度系数是的弹簧刚度系数是k。 解解： 这是单自由度的振动系统。这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆系统的位置可由杆bd自水平的自水平的平衡位置量起的平衡位置量起的 角来决定。角来决定。221bi系统的动能系统的动能设系统作简谐振动，则其运动方程设系统作简谐振动，则其运动方程)sin( tpn角速度为角速度为)c

22、os(dd tpptnn22maxmax2121nbbpiit 返回首页theory of vibration with applications系统的最大动能为系统的最大动能为如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为长量为 。此时，弹性力。此时，弹性力fst=k ,方向向上。方向向上。 0)(fbm0s plbft0s plbkt该系统的势能该系统的势能)(21)(21st222st2stplkbkbplbkv2221kbv 222max2max2121kbkbv22222121kbpinb bikbp2n 返回首页t

23、heory of vibration with applicationst st s 返回首页theory of vibration with applications 返回首页theory of vibration with applications利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法瑞利法。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。2eqs21xmt等效质量等效质量 l对于图示系统，假设弹簧上各点在振

24、动过程中任一瞬时的位对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截面的静变形一样。面的静变形一样。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为 返回首页theory of vibration with applications例例 在图示系统中，弹簧长在图示系统中，弹簧长l，其质量，其质量ms。求弹簧的等效质量。求弹簧的等效质量

25、及系统的固有频率。及系统的固有频率。左端距离为左端距离为 的截面的位移为的截面的位移为 ，则则d 弹簧的动能为弹簧的动能为xl2sd21dxllmtsl d 假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，解解：令：令x表示弹簧右端的位移，也是质表示弹簧右端的位移，也是质量量m的位移。的位移。 返回首页theory of vibration with applications弹簧的总动能弹簧的总动能xmttl321dss0s2s2s232132121x

26、mmxmxmt系统的总动能为系统的总动能为seq31mm系统的势能为系统的势能为221kxv 固有频率为固有频率为3snmmkp)cos(ntpax设设maxmaxvtl d 返回首页theory of vibration with applicationsxcfc它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(ns/m)。 返回首页theory of vibration with applications运动微分方程运动微分方程 图示为一有阻尼的弹簧图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模质量系统的简化模型。以静平衡位置型。以静平衡位置o为坐标原点，选为坐标原点，选x轴铅直轴铅直向下为

27、正，有阻尼的自由振动微分方程向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 kxxcxm 022 xpxnxn 0222 npnrr 222221nnpnnrpnnr 返回首页theory of vibration with applicationsmkpn 22ncmn衰减系数，单位1/秒(1/s) solution of the form rtex 2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 22npnnr )ee(e222221tpntpnntnnccx nrr21)(e21tccxnt022 xpxnxn 运动微分方程运动微分方程 222221nnpnnrpnnr 返回首页theory

28、of vibration with applications2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。发生变化的重要临界值。设设cc为为临界阻尼系数临界阻尼系数，由于，由于z z =n/pn =1，即，即kmmpnmcnc222 z z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z z 称为阻尼比的原因。称为阻尼比的原因。 z nncpnmpnmcc22cc只取决于

29、系统本身的质量与弹性常量。由只取决于系统本身的质量与弹性常量。由 返回首页theory of vibration with applications2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 返回首页theory of vibration with applications具有具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质量统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹

30、，应要求发射后以最短的时间回到原射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。要求。2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 tntnccx21-2-1ee1zznnppr npn zz1z1otxnrr21)(e21tccxnt 返回首页theory of vibration with applications2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 dnppr

31、j z（npn） dndnpnnpnrpnnpnrjjjj222221。，221jnppnd )sincos(e21tpctpcxddnt 其中c1和c2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t = 0时， 可解00 xxxx ，dpxnxc002 c1=x0 返回首页theory of vibration with applications2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 000220020tan)(nxxpxpnxxxadd )sin(e tpaxdnt初相位角 振 幅阻尼振动振幅；ntae 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的这种情形下，自由振动不

32、是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为衰减运动。衰减运动的频率为 p d，衰减速度取决于衰减速度取决于 zp n，二者分二者分别为本征值的虚部和实部。别为本征值的虚部和实部。 返回首页theory of vibration with applications2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。有阻尼的自由振动视为准周期振动。 )sin(e tpaxdnt 返回首页theory of vibration with applications2.4 单自由度系统的衰减振

33、动单自由度系统的衰减振动 221)(1122z tpnpptndddt=2p/pn为无阻尼自由振动的周期。阻尼对周期的影响欠阻尼自由振动的周期欠阻尼自由振动的周期td ：物体由最大偏离位置起经过物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z 很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当z=0.05时，td=1.00125t，周期 td 仅增加了 0.125%。当材料的阻尼比 z1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。 返回首页theory of vibratio

34、n with applications设衰减振动经过一周期td，在同方向的相邻两个振幅分别为ai和ai+1，即)(sine)sin(e)(1 didttniidntittpaatpaadii两振幅之比为dntiiaae1称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z =0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。 37. 1ednt 返回首页2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 阻尼对周期的影响theory of vibration with applications振幅减缩率的自然

35、对数称为对数减缩率对数减缩率或对数减幅系数，以 表示lnz2例例 在欠阻尼（在欠阻尼（z z 1）的系统中，）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔得相隔n个周期的两点个周期的两点p、r的幅值的幅值之比之比xp/xr=r r，如图所示，试确定此，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比振动系统的阻尼比z z。 返回首页theory of vibration with applicationsdnttdndnneeezzzzlnln)(11212zzdnt212znd2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的

36、衰减振动 解：振动衰减曲线的包络线方程为ntaxe设p、r两点在包络线上的幅值为xp、xr ，则有rdnntrpxxe当z 21时 此式对估算小阻尼系统的z值是很方便的。例如，经过10个周期测得p、r两点的幅值比r=2，将n=10、r=2代入上式，得到该系统的阻尼比011. 0202lnznn2lnln2rzrzrzzln122n 返回首页theory of vibration with applications2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 返回首页theory of vibration with applications2.4.2 库伦阻尼系统的自由振动库伦阻尼系统的

37、自由振动物体在干燥表面上相对滑动时所受到的摩擦阻力称为库伦阻库伦阻尼或干摩擦阻尼尼或干摩擦阻尼。它与正压力成比例，而与相对运动速度的方向相反。即库伦阻尼力的大小为fd = ffn。式中f为摩擦系数，fn为法向约束力的大小。由于这种阻尼力的大小不依赖于质点的位移和速度，所以库伦阻尼是一种常数阻尼。 2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 返回首页theory of vibration with applications2.4.2 库伦阻尼系统的自由振动库伦阻尼系统的自由振动根据牛顿第二定律得质量m的运动微分方程为dfkxxm 0dxfkxxm 0dxfkxxm )cos()(1n1

38、dtpakftx0 x 0)cos()(2n2dxtpakftx2.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 返回首页theory of vibration with applications2.4.2 库伦阻尼系统的自由振动库伦阻尼系统的自由振动根据牛顿第二定律得质量m的运动微分方程为dfkxxm 0dxfkxxm 0dxfkxxm )cos()(1n1dtpakftx0 x 0)cos()(2n2dxtpakftx 返回首页theory of vibration with applications 返回首页theory of vibration with applications2

39、.5.1 振动微分方程振动微分方程2.5.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅b、相位差的讨论、相位差的讨论2.5.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 2.5.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 2.5.5等效粘性阻尼等效粘性阻尼 2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 返回首页theory of vibration with applications2.5.1 振动微分方程振动微分方程 简谐激振力简谐激振力tffsin0sf0为激振力的幅值，为激振力的幅值， 为激振力的圆频为激振力的圆频率。以平衡位置率。以平衡位置o为坐标原点，为坐

40、标原点，x轴铅轴铅直向下为正，物块运动微分方程为直向下为正，物块运动微分方程为 tfkxxcxmsin0 tfxkxcxmsin0eqeqeq thxpxnxnsin22 ，mhhmcnmkpn 22具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。 返回首页theory of vibration with applications简谐激励的响应全解简谐激励的响应全解tfxkxcxmsin0eqeqeq 00(0)(0)xxxx和和0eqeqeqxkxcxm 00(0)(0)xxxx和和tfxkxcxmsin0eqeqeq 00(0)(0)xxxx和和)()(21txt

41、xx 返回首页theory of vibration with applications2.5.1 振动微分方程振动微分方程 )()(21txtxx微微分分方方程程的的解解：有有阻阻尼尼自自由由振振动动运运动动)(1tx z tpaxtpd1sinen)(2txtbsin 返回首页theory of vibration with applications2.5.1 振动微分方程振动微分方程 tbtxsin)(p滞滞后后相相位位差差稳稳态态受受迫迫振振动动的的振振幅幅2222012arctan211zz,eqkfb 返回首页theory of vibration with application

42、s2.5.1 振动微分方程振动微分方程 2.5.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅b、相位差、相位差 的讨论的讨论 2222)2()(nphbn 222tanpnn 振幅放大因子0bb222211z22220222224)1 ()()(4)(1 /z bppnpphbnnnneqnkfphb020 返回首页theory of vibration with applications222211z212arctanznnpmcpeqeq2, z曲曲线线族族相相频频特特性性曲曲线线曲曲线线族族幅幅频频特特性性曲曲线线 返回首页theory of vibration with applications2

43、.5.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅b、相位差、相位差 的讨论的讨论 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 z z 1的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)， ， ，响应与，响应与激励反相；阻尼影响也不大。激励反相；阻尼影响也不大。03、 1的附近区域的附近区域(共振区共振区)， 急剧增大并在急剧增大并在 1略为略为偏左偏左处有峰值。通常将处有峰值。通常将 1，即，即 pn 称为共振频率。称为共振频率。阻尼影响阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，无论阻尼大小， 1时，总有，时，

44、总有， /2 ,这也是共振的重要这也是共振的重要现象。现象。theory of vibration with applications2.5.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅b、相位差、相位差 的讨论的讨论 例例 题题 例例 质量为质量为m的电机安装在弹性基础上。的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质量为偏心质量为m。转子以匀角速。转子以匀角速 转动如图转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系

45、数为受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。 解：取电机的平衡位置为坐标原点o，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力mg、弹性力f、阻尼力fr、虚加的惯性力fie、fir，受力图如图所示。 返回首页theory of vibration with applications根据达朗贝尔原理，有0sin)(2sttmexmxkmgxc tmekxxcxmsin2 )sin(222 temmxpxnxn ,22mcnmkpn ，= h2emm 返回首页例例 题题 theory of vibration with applications电机作受迫振动的运动方程为)sin(tbx22222222224

46、)1 (4)1 (zzbmmeb212arctgzbb222224)1 (zmmeb 当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。 返回首页例例 题题 theory of vibration with applications阻尼比z 较小时，在=1附近，值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，b0；当1时，1，bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。 mme 返回首页例例 题题 theory of vibration with applications 返回首页t

47、heory of vibration with applications2.5.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 thfsinsxbtsin()cos()sin()xbtxbt 2已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为mxcxkxhtsin0现将各力分别用 b、 的旋转矢量表示。kbc bhmb、 、2应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力 返回首页theory of vibration with applications（a）力多边形 (b) z 1 (c) z = 1 (d) z 12.5.3受迫

48、振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 返回首页theory of vibration with applications2.5.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为受迫振动系统的稳态响应为xbtsin()周期 2t1. 激振力thfssinsindsin)2sin

49、(2d)cos(sind)(000bhtthbttbthttxfwtttsh在系统发生共振的情况下，相位差在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在，激振力在一周期内做功为一周期内做功为 ，做功最多。，做功最多。 2bhwh 返回首页theory of vibration with applications对于无阻尼系统对于无阻尼系统(除共振情况外除共振情况外)相位差相位差 。因此，。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。 0或2. 粘性阻尼力粘性阻尼力 做的功做的功 xcfrttrrttbcttxfw0220d)cos(d)(上式表明，

50、在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅而且做的负功和振幅b的平方成正比。由于受迫振动在共振的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。而实现的。2022d)(2cos1 21bcttbct2.5.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 返回首页theory of vibration with applica

51、tions3. 弹性力弹性力 做的功做的功fkxe 能量曲线表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。 teetxtfw0d)(wwhr在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量tttbtbk0d)cos()sin(0d)(2sin202tttkb2.5.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 返回首页theory of vibration with applications2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。在工程实际中，振动系统存在的阻

52、尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。性阻尼在一周期内消耗的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即然是简谐振动，即xbtsin()非粘性阻尼在一个周期内做的功非粘性阻尼在一个周期内做的功txtfwnnd)(粘性阻尼

53、在一周期内消耗的能量粘性阻尼在一周期内消耗的能量2bcwr相等相等2bcwen2 bwcne等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数 返回首页theory of vibration with applications2222n)()(mcphbe2ncme2222222n)()()()(eecmkhmcphb利用式得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 返回首页theory of vibration with applications库仑阻尼库仑阻尼阻尼力表示为阻尼力表示为nffc一周期内库仑阻尼消耗的能量为一周期内库仑阻尼消耗的能量为 w

54、f bcc 42bcwrbfcce4等效粘性等效粘性阻尼系数阻尼系数 得到稳态振动的振幅表达式得到稳态振动的振幅表达式2n221)4(1phfkhbcfbxq2求速度平方阻尼求速度平方阻尼等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数 相等相等2bcwec 2.5.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 返回首页theory of vibration with applications2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应先考

55、虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应, ,系统系统的运动微分方程和初始条件写在一起为的运动微分方程和初始条件写在一起为 000)0( 0sinxxxxtfkxxm 通解是相应的齐次方程的通解与特解的和通解是相应的齐次方程的通解与特解的和, ,即即tkftpctpctxsin11sincos)(20n2n1 返回首页theory of vibration with applications根据初始条件确定根据初始条件确定c1、c2 。于是得到全解为。于是得到全解为tkftpkftppxtpxtxtxtxsin11sin1 sincos)()()(20n20nn0n021其特点是振动频率为

56、系统的固有频率其特点是振动频率为系统的固有频率, ,但振幅与系统本身的但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。性质及激励因素都有关。无激励时的自由振动无激励时的自由振动系统对初始系统对初始条件的响应条件的响应对于存在阻尼的实际系统对于存在阻尼的实际系统, ,自由振动和自由伴随振动的振幅都自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减将随时间逐渐衰减, ,因此它们都是瞬态响应。因此它们都是瞬态响应。稳态强迫振动稳态强迫振动伴随激励伴随激励而产生自而产生自由振动由振动, , 称为称为自由自由伴随振动伴随振动2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 返回首页theo

57、ry of vibration with applications, 0)0(, 0)0(xx2nn01sinsin)(tptpkftx共振时的情况共振时的情况假设初始条件为假设初始条件为由共振的定义由共振的定义, , 时上式是时上式是 型型, ,利用洛必达法则算出共振时的利用洛必达法则算出共振时的响应为响应为 100tptpkftptptpkftptptpkftxn2n0nnn0nnn10cos1)(2 )cos(sin22cossinlim)(tpn1arctan2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 sinsincoscos)cos( 返回首页theo

58、ry of vibration with applications可见可见, ,当时当时 , ,无阻尼系统的振幅随时间无限增大无阻尼系统的振幅随时间无限增大. .经过短暂时间经过短暂时间后后, ,共振响应可以表示为共振响应可以表示为np)2sin(2cos2)(nn0nn0tptkpftptpkftx此即共振时的受迫振动此即共振时的受迫振动. .反映出共反映出共振时的位移在相位上比激振力滞振时的位移在相位上比激振力滞后后 , ,且振幅与时间成正比地增大且振幅与时间成正比地增大 22.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 图 共振时的受迫振动 返回首页theor

59、y of vibration with applications有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应. .在给定初始条件下在给定初始条件下的运动微分方程为的运动微分方程为000)0(,)0(sinxxxxtfkxxcxm )sin(sin)cossin(cossine )sincos(e)(n0n00zzzztbtppptpbtppxpxtpxtxdddtpdddtpnn全解为全解为mkp nmpcn2z2n1z ppdnp2220)2()1 (/zkfb212arctanz式中2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 返回

60、首页theory of vibration with applications如果初始位移与初始速度都为零，则成为如果初始位移与初始速度都为零，则成为)sin(sin)cossin(cossine )(nzztbtppptpbtxdddtpn可见过渡可见过渡阶段的响阶段的响应仍含有应仍含有自由伴随自由伴随振动。振动。 2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 过渡阶段的响应过渡阶段的响应 返回首页theory of vibration with applications2.5.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 返回首页theo