第01节不定积分的概念与性质

1、第五章第五章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质第二节第二节 换元积分法换元积分法第三节第三节 分部积分法分部积分法第四节第四节 若干初等可积函数类若干初等可积函数类学习指导学习指导第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分三、基本积分公式三、基本积分公式二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义四、不定积分的性质四、不定积分的性质一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分( )( )f xf x( )( )()df xf x dxxi或或导函数为导函数为 ，即，即( )f x定义定义1 1 如果区间如果区

2、间 上，可导函数上，可导函数 的的( )f xi个原函数个原函数则称函数则称函数 为函数为函数 在区间在区间 上的一上的一( )f x( )f xi(sin )cos(,)xx 例如例如(sin1)cos(,),xx (sin2)cos(,).xx 所以所以 是是 在在 内的一个内的一个sincosxx(,) 原函数原函数则则 也是也是 在在sin1,sin2cosxxx(,) 1(ln )(0)xxx则则 是是 在在 上的一个原函数上的一个原函数1ln(0,)xx内的原函数内的原函数1(ln2)(0)xxx则则 是是 在在 上的一个原函数上的一个原函数1ln2(0,)xx原函数存在性定理原函

3、数存在性定理：若函数：若函数 在区间在区间( )f xi( ),f x上连续，那么在区间上连续，那么在区间 上存在可导函数上存在可导函数i简单地说就是：连续函数一定有原函数简单地说就是：连续函数一定有原函数使对任一使对任一 ，都有，都有xi( )( ).f xf x初等函数在其定义区间内一定存在原函数初等函数在其定义区间内一定存在原函数因为初等函数在其定义区间内连续，所以因为初等函数在其定义区间内连续，所以下面需要说明两点：下面需要说明两点：第一、如果第一、如果 在在 上有原函数，即上有原函数，即( )f xi有一个函数有一个函数 ，使当，使当 时时( )f xxi( )( ),f xf x那

4、么，对任何常数那么，对任何常数 ，有，有c( )( )f xcf x即对任意常数即对任意常数 ，函数，函数 也是也是( )f xcc那么那么 就有无限多个原函数就有无限多个原函数( )f x有什么关系？有什么关系？的原函数这说明如果的原函数这说明如果 有原函数，有原函数，( )f x( )f x第二、在区间第二、在区间 上，如果上，如果 是是 的的( )f xi( )f x一个原函数，那么，一个原函数，那么， 的其他原函数和的其他原函数和( )f x( )f x设设 是是 的另一个原函数，即的另一个原函数，即( ) x( )f x于是于是( )( ),xf xc因此因此当当 时，时，xi( )

5、( )( ) ,xf xf x( )( )( )( )0,xf xxf x即即( )( ).xf xc当当 为任意常数时，为任意常数时，c( ),f xc就可以表示就可以表示 的任意一个原函数的任意一个原函数( )f x（全体原函数）（全体原函数）这表明这表明 与与 只相差一个常数，因此，只相差一个常数，因此，( ) x( )f x( )f x dxi若若 是是 在区间在区间 上的一个原函数，则上的一个原函数，则( )f x( )f x( )( )f x dxf xc“ ”“ ”称为积分记号，称为积分记号，定义定义2 2 在区间在区间 上，函数上，函数 的所有原函数，的所有原函数，( )f x

6、i称为称为 的在区间上的不定积分记作的在区间上的不定积分记作( )f x( )f x称为被积函数，称为被积函数，称为被积表达式，称为被积表达式，( )f x dx称为积分变量，称为积分变量，xc称为积分常数称为积分常数因此，求己知函数的不定积分，就归因此，求己知函数的不定积分，就归为求出它的一个原函数，再加上积分常数为求出它的一个原函数，再加上积分常数 c c 从不定积分的定义，即可知下述关系：从不定积分的定义，即可知下述关系：由于由于 是是 的原函数，所以的原函数，所以( )f x dx( )f x( )( ),df x dxf xdx或或( )( ).df x dxf x dx又由于又由于

7、 是是 的原函数，所以的原函数，所以( )f x( )f x( )( ).f x dxf xc或或由此可见，微分运算（以记号由此可见，微分运算（以记号 表示）与表示）与d( )( ).df xf xc求不定积分的运算（简称积分运算，以记号求不定积分的运算（简称积分运算，以记号时，或者抵消，或者抵消后差一个常数时，或者抵消，或者抵消后差一个常数表示）是互逆的表示）是互逆的. . 当记号当记号 与与 连在一起连在一起d例例1 1 求函数求函数 的不定积分的不定积分2( )3f xx32()3xx 解解 因为因为，所以，所以233.x dxxc例例2 2 求函数求函数 的不定积分的不定积分( )co

8、sf xx(sin )cosxx 解解 因为因为，所以，所以cossin.xdxxc例例3 3 求函数求函数 的不定积分的不定积分1( )f xx1(ln )xx ，所以，所以解解 因为当因为当 时，时，0 x 1ln(0),dxxcxx11ln()( 1)xxx ，所以，所以当当 时，时，0,x 0 x 1ln()(0).dxxcxx1ln |(0).dxxcxx综合上面两式，得到综合上面两式，得到21arctan.1dxxcx解解 因为因为例例4 4 求求21.1dxx21arctan,1xx所以所以二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义由于函数由于函数 的不定积分中含有任意的不定积

9、分中含有任意( )f x常数常数c c，因此对于每一给定的，因此对于每一给定的c c，都有一个确定，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为曲线，称为 的积分曲线因为的积分曲线因为c c可以取任可以取任意值，因此不定积分表示意值，因此不定积分表示 的一簇积分曲的一簇积分曲线，而线，而 正是积分曲线的斜率由于积分正是积分曲线的斜率由于积分曲线簇中的每一条曲线，对应于同一横坐标曲线簇中的每一条曲线，对应于同一横坐标( )f x( )f x( )f x坐标坐标 的点处的点处有相同的斜率有相同的斜率 ，所以对应于这些点，所以对应于这些点，它

10、们的切线互相平行，它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数标之间相差一个常数所以，积分曲线簇所以，积分曲线簇 中一条中一条曲线都可以由曲线曲线都可以由曲线 沿沿 轴上、下轴上、下移动而得到如图移动而得到如图51510 xx( )yf x( )yf xc0()f xy0 xxoy图图5151例例5 5 求经过点求经过点 , ,且其切线的斜率且其切线的斜率(1,3)为为 的曲线方程的曲线方程2x22,xdxxc2,yxc22yx解解 由由得曲线簇得曲线簇1,3xy2,c 将将代入，得代入，得就是所求曲线就是所求曲线三、基本积分公式三、基本积分公式由于积分运算是微分

11、运算的逆运算，所以由于积分运算是微分运算的逆运算，所以从基本导数公式，可以直接得到基本积分从基本导数公式，可以直接得到基本积分公式公式例如，由导数公式例如，由导数公式得积分公式得积分公式1(1),1xx 1(1).1xx dxc 1(1)01(2)(1)11(3)ln1(4)(0,1)ln(5)(6)sincosxxxxdxcx dxxcdxxcxa dxacaaae dxecxdxxc 2222(7)cossin(8)sectan(9)csccot(10)sectansec(11)csccotcsc1(12)arcsin11(13)arctan1xdxxcxdxxcxdxxcxxdxxcxx

12、dxxcdxxcxdxxcx 四、不定积分的性质四、不定积分的性质1 1求不定积分与求导数或微分互为逆运算求不定积分与求导数或微分互为逆运算或或( )( )df xf xc(1)( )( )f x dxf x或或( )( )df x dxf x dx(2)( )( )f x dxf xc( )( )(0)kf x dxkf x dxk也就是：不定积分的导数（或微分）等于也就是：不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）；一个函数的被积函数（或被积表达式）；一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个任意常数相差一个任意常数2 2不为零的常数因

13、子，可以移到积分号前不为零的常数因子，可以移到积分号前这是因为上式右端的导数这是因为上式右端的导数( )( )( )kf x dxkf x dxk f x恰好是左端的被积函数从而可知恰好是左端的被积函数从而可知( )kf x dx是是 的不定积分的不定积分 ( )k f x3 3两个函数的代数和的积分，等于函数积分两个函数的代数和的积分，等于函数积分的代数和的代数和( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx1212( )( )( )( )( )( )nnf xfxfx dxf x dxfx dxfx dx上式可推广到有限个函数代数和的情况上式可推广到有限个函数代数和的情

14、况32(1)xdxx例例1 1 求求解解32322(1)133xxxxdxdxxx213(3)x dxxx2133dxdxdxxd xxx1x .c212x3x3ln |x22333().axdx例例2 2 求求解解223334224223333()(33)axdxaa xa xxdx422422333333a dxax dxax dxx dx2a x273397a x453395a x31.3xc221(1)xxdxxx例例3 3 求求解解222111()(1)1xxdxdxxxxx2111dxdxxxln |arctan.xxc421xdxx例例4 4 求求解解44221111xxdxdx

15、xx2211x dxdxdxx31arctan.3xxxc221(1)1xdxx2222(12)(1)xdxxx例例5 5 求求解解22242222(12)144(1)(1)xxxxxxx22222214(1)14(1)(1)xxxxxx22222211144.(1)1xxxxxx222222(12)11(4)(1)1xdxdxxxxx14arctan.xxcx2cos.2xdx例例6 6 求求解解21coscos22xxdxdx11cos22dxxdx11sin.22xxc2tanxdx例例7 7 求求解解22tan(sec1)xdxxdx2s ec xdxdxtan.xxcsec(tans

16、ec)xxx dx例例8 8 求求解解sec(tansec)xxx dx2(sectansec)xxx dxsectan.xxccos 2cossinxdxxx例例9 9 求求解解22cos 2cossincossincossinxxxdxdxxxxx(cossin)xx dxcoss inxdxxdxsincos.xxc221sincosdxxx例例10 10 求求解解2222221sincossincossincosxxdxdxxxxx2211()cossindxxx22secc scxdxxdxtancot.xxc1sin 2xdx例例11 11 求求解解221sin2sincossin2xdxxxxdx2(sincos)xxdx| sincos|xx dx(cossin)(sincos)xx dxxx dxsincos(sincos)xx