第一章函数、极限、连续

1、第二节 极限与连续一、数列极限的定义与性质一、数列极限的定义与性质二、函数的极限二、函数的极限三、函数的连续性三、函数的连续性一、数列极限的定义与性质 如果按照某一法则，对每一个正整数，对应着一个确定的实数xn，xn按下标由小到大排列得一序列 就叫做无穷数列，简称数列，记做xn.数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一般项（通项）. ，nxxxx321数列极限的概念数列极限的概念 如果数列xn，当n无限增大时，数列xn的取值无限接近常数a，就称a 是xn当n 时的极限，记作 如果数列没有极限，称数列是发散的 1. 收敛数列xn的极限是唯一的 2.收敛的数列一定有界，但有界的数列不一

2、定收敛。 3.无界数列必定发散 4.收敛数列的极限有的可以达到，有的不能达到。例如，常数列可以达到它的极限。收敛数列的性质收敛数列的性质二、函数的极限1）自变量趋于无穷大时函数的极限2）自变量趋于有限值时函数的极限3）左、右极限函数极限的性质函数极限的性质函数极限的运算函数极限的运算1）无穷小、无穷大无穷小的定义无穷小与函数极限的关系无穷小的运算性质性质性质1 有限个无穷小的和也是无穷小性质性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小无穷大无穷小的比较2）极限的四则运算法则3）两个准则4）两个重要极限连续函数的概念连续函数

3、的概念1）增量的概念三、函数的连续性2）连续的定义3）左连续、右连续的定义;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf函数的间断点函数的间断点1.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在

4、在点在点如果如果xfxxxfxfaxfxxfxx 例例.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 2.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy解解, 1)1( f, 2)01( f,

5、2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义处函数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 x3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例.0, 0, 0,1)(

6、处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例例.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.连续函数的运算连续函数的运算初等函数的连续性初等函数的连续性定义:.)()()(

7、)()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间ixfxfxfxfxfxfixixxfi 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y闭区间连续函数性质闭区间连续函数性质 ( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得最大值和最小值的函数在该区间上一定能取得最大值和最

8、小值. .ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy ( (有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(mxfm 有有,maxmmk 取取.)(kxf 则有则有.,)(上有界上有界在在函数函数baxf.),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 几何解释几何解释:mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax cafa )()( 且且,ca cbfb )()( ,cb , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( cf 即即.)(cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧cyxfy 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1111.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间