183几何应用08321

1、18.3 几何应用几何应用18.3.1. 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线 18.3.2. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 18.3.3. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 18.3.1. 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线 答案答案： 切线方程为切线方程为000000(,)()(,)()0 xyf xyxxf xyyy法线方程为法线方程为000000(,)()(,)()0yxf xyxxf xyyyc0pyxo解题思路:2. 隐函数(1)与方程(*)表示同一曲线.解:33( , )2()9,f x yxyxy记 xf269 ,xyyf269 ,yx,xyf f

2、 f皆在全平面连续:且(2,1)xf150,(2,1)yf12 0,:所求切线方程为15(2)12(1)0 xy:所求法线方程为12(2)15(1)0 xy:解0000(,), 0,0,xyxy在此曲线上任取一点且222333( , )f x yxya记,00 (,)0f xy则113322, ,33xyfxfy113300000022(,)0, (,)0,33xyf xyxf xyy00,(,),:xyf f fxy皆在某邻域内连续 且00(,)fxy在点满足隐函数定理存在条件;00(,)xy于是,此曲线在点切线方程为:1133000022()()033xxxyyy233300 xyaxy即

3、230,0 xx a此切线与 轴的交点为,2300,yy a与 轴的交点为;它们之间的距离平方为:22222330000dx ay a42233300axy23.a00(,)xy即此切线被坐标轴截取的线段长与的选取无关.18.3.2. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 设空间曲线设空间曲线c的参数方程为的参数方程为( ), ( ), ( ), (4) xx tyy tzz ttozyx1. 曲线由参数式给出曲线由参数式给出: 0( ), ( ), ( )x ty t z tt设在 上可导,222000 ( )( )( )0 xtytzt且000( ),( ), ( )x ty tz

4、 t(即不同时为零),0 ,t 取,c对应于 上一点0pp在 点邻近取一点0pp0tt00000000()()()(,)(,)tttp xy zp xyzozyx0p(,)p xx yy zz 000()()()(,)ttttttp xyz00()(),tttxxx 其中00()(),tttyyy 00()().tttzzz 0pp于是,割线方程为:000 xxyyzzxyz000 xxyyzzxtytzt即 0,t 令0 pp则,00;pppt割线切线0cp于是, 上 点切线方程为:000000 (5)( )( )( )xxyyzzx ty tz tp0tt0tt tozyx0p此切线的方向

5、向量为:000( ),( ), ( )tx ty tz t 0cp称为 在 的切向量.0000(,) cp xy z:通过曲线 上一点定义,00pcp且与点 的切线垂直的平面,称为 在 点的法平面.0cp则 在 点的法平面方程为000000( )()( )()( )()0 (6)x txxy tyyz tzzt 解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即空间曲线方程为空间曲线

6、方程为( ), (7)( )yxzx000(,),p xy z在处00000,1()()xxyyzzxx00000()()()()()0.xxxyyxzz法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地：特殊地：2.空间曲线方程为空间曲线方程为( , , )0, (8)( , , )0f x y zg x y z切线方程为切线方程为000000, (9)( ,)( ,)( ,)( , )( , )( , )pppxxyyzzf gf gf gy zz xx y法平面方程为法平面方程为000000( ,)( ,)( ,)()()()0. (10)( , )( , )( , )pppf gf g

7、f gxxyyzzy zz xx y000( ,)( ,)( ,), ,.( , )( , )( , )pppf gf gf gy zz xx y其中不全为零0(8)p是空间曲线在点 处的切线的方向数.222:( , , )6, ( , , )f x y zxyzg x y zxyz记,f g在点处的偏导数和雅可比行列式为:2 , 2 , 2 ; 1xyzxyzfxfyfz ggg(1, 2,1)(1, 2,1)2242( ,)6;1111( , )yzf gy z 和(1, 2,1)(1, 2,1)2222( ,)0;1111( , )zxf gz x(1, 2,1)(1, 2,1)2224

8、( ,)6;1111( , )xyf gx y121 ,606xyz所论曲线在点处的切线方程为: 6(1)0 (2)6(1)0,xyz法平面方程为: 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 t所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdzp161.例218.3.3. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 ( , , )0 (11)f x y z nt0p答案: 切平面方程为0000

9、00()()()()()()0 xyzf pxxf pyyf pzz法线方程为 000000()()()xyzxxyyzzf pf pf p000(),(),()0,.xyzf pf pf p其中不全为 为法线方向数:思路( , , )0f x y z ( , ),zf x y可解出000(,),zf xy且0000()(,),()xxzf pfxyf p 0000()(,).()yyzf pfxyf p :切平面方程为0000000(,)()(,)()xyzzfxyxxfxyyy:法线方程为0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy00 ()0zpf p在 点某邻域内满足隐函数

10、定理条件,其中p115.(13)(14),化简即得.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx解解, 32),( xyezzyxfz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yfx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xfy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzef令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因为因为 是曲面上的切点，是