高中数学人教A版浙江专版必修2讲学案：第四章 4．3　空间直角坐标系含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料空间直角坐标系43.1&4.3.2空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式1在空间直角坐标系中怎样确定空间中任一点的坐标？在空间直角坐标系中怎样确定空间中任一点的坐标？2空间中线段的中点坐标公式是什么？空间中线段的中点坐标公式是什么？3空间中两点间的距离公式是什么？空间中两点间的距离公式是什么？新知初探新知初探1空间直角坐标系空间直角坐标系(1)空间直角坐标系空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直从空间某一定点引三条两两垂直,且有相同单位长度的数轴且有相同单位长度的数轴：x 轴轴、y轴、轴、z 轴轴,这样就建立了这样就建立

2、了空间直角坐标系空间直角坐标系 oxyz.(2)相关概念相关概念：点点 o 叫做坐标原点叫做坐标原点,x 轴轴、y 轴轴、z 轴轴叫做坐标轴叫做坐标轴通过通过每两个坐标轴每两个坐标轴的平面的平面叫做坐标平面叫做坐标平面,分别称为分别称为 xoy 平面、平面、yoz 平面、平面、zox 平面平面2右手直角坐标系右手直角坐标系在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,让右手拇指指让右手拇指指向向x轴轴的正方向的正方向,食指指食指指向向y轴轴的正方向的正方向,如果中指指如果中指指向向z 轴轴的正方向的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系则称这个坐标系为右手直角坐标系3空间一点的坐标空间一点的坐标空间一

3、点空间一点 m 的坐标可以用的坐标可以用有序实数组有序实数组(x,y,z)来表示来表示,有序实数组有序实数组(x,y,z)叫做点叫做点 m 在此空间在此空间直角坐标系中的坐标直角坐标系中的坐标,记作记作 m(x,y,z)其中其中 x 叫点叫点 m 的横坐标的横坐标,y 叫点叫点 m 的纵坐标的纵坐标,z 叫点叫点 m 的的竖坐标竖坐标点睛点睛空间直角坐标系的画法空间直角坐标系的画法(1)x 轴与轴与 y 轴成轴成 135(或或 45),x 轴与轴与 z 轴成轴成 135(或或 45)预习课本预习课本 p134137,思考并完成以下问题思考并完成以下问题(2)y 轴垂直于轴垂直于 z 轴轴,y

4、轴和轴和 z 轴的单位长相等轴的单位长相等,x 轴上的单位长则等于轴上的单位长则等于 y 轴单位长的轴单位长的12.4空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式(1)点点 p(x,y,z)到坐标原点到坐标原点 o(0,0,0)的距离的距离|op|x2y2z2.(2)任意两点任意两点 p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2)间的距离间的距离|p1p2| x1x2 2 y1y2 2 z1z2 2.点睛点睛(1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式,只是增加了对应的只是增加了对应的竖坐标的运算竖坐标的运算(2)空间中点坐标公式：

5、设空间中点坐标公式：设 a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则则 ab 中点中点 px1x22，y1y22，z1z22.小试身手小试身手1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”“”)(1)空间直角坐标系中空间直角坐标系中,在在 x轴上的点的坐标一定是轴上的点的坐标一定是(0,b,c)的形式的形式()(2)空间直角坐标系中空间直角坐标系中,在在 xoz 平面内的点的坐标一定是平面内的点的坐标一定是(a,0,c)的形式的形式()(3)空间直角坐标系中空间直角坐标系中,点点(1, 3,2)关于关于 yoz 平面的对称点为平面的对称点为(1

6、, 3,2)()答案：答案：(1)(2)(3)2在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点 p(3,4,5)与与 q(3,4,5)两点的位置关系是两点的位置关系是()a关于关于 x 轴对称轴对称b关于关于 xoy 平面对称平面对称c关于坐标原点对称关于坐标原点对称d以上都不对以上都不对解析解析：选选 a点点 p(3,4,5)与与 q(3,4,5)两点的横坐标相同两点的横坐标相同,而纵而纵、竖坐标互为相反数竖坐标互为相反数,所以所以两点关于两点关于 x 轴对称轴对称3空间两点空间两点 p1(1,2,3),p2(3,2,1)之间的距离为之间的距离为_解析：解析：|p1p2| 2 202222 2.

7、答案：答案：2 2空间中点的坐标的求法空间中点的坐标的求法典例典例在棱长为在棱长为 1 的正方体的正方体 abcda1b1c1d1中中,e,f 分别是分别是 d1d,bd 的中点的中点,g 在棱在棱 cd上上,且且 cg14cd,h 为为 c1g 的中点的中点,试建立适当的坐标系试建立适当的坐标系,写出写出 e,f,g,h 的坐标的坐标解解建立如图所示的空间直角坐标系点建立如图所示的空间直角坐标系点 e 在在 z 轴上轴上,它的它的 x 坐标、坐标、y 坐标均为坐标均为 0,而而 e为为 dd1的中点的中点,故其坐标为故其坐标为0，0，12 .由由 f 作作 fmad,fndc,垂足分别为垂足

8、分别为 m,n,由平面几何知识知由平面几何知识知 fm12,fn12,故故 f 点坐标为点坐标为12，12，0.点点 g 在在 y 轴上轴上,其其 x,z 坐标均为坐标均为 0,又又 gd34,故故 g 点坐标为点坐标为0，34，0.由由 h 作作 hkcg 于于 k,由于由于 h 为为 c1g 的中点的中点故故 hk12,ck18,dk78,故故 h 点坐标为点坐标为0，78，12 .(1)建立空间直角坐标系时建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单要考虑如何建系才能使点的坐标简单、 便于计算便于计算,一般是要使尽一般是要使尽量多的点落在坐标轴上量多的点落在坐标轴上(2)对于长

9、方体或正方体对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱所在直线为一般取相邻的三条棱所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系； 确确定点的坐标时定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的即将坐标转化为与轴平行的线段长度线段长度,同时要注意坐标的符号同时要注意坐标的符号,这也是求空间点坐标的关键这也是求空间点坐标的关键活学活用活学活用如图如图,在长方体在长方体 abcdabcd中中,|ab|12,|ad|8,|aa|5.以这个长方体的顶以这个长方体的顶点点a为坐标原点为坐标原点,射射线线ab,ad

10、,aa分分别为别为 x 轴、轴、y 轴和轴和 z 轴的正半轴轴的正半轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,求长方体各求长方体各个个顶点的坐标顶点的坐标解解：因为因为|ab|12,|ad|8,|aa|5,点点 a 为坐标原点为坐标原点,且点且点 b,d,a分别在分别在 x 轴轴、y 轴和轴和 z轴上轴上,所以它们的坐标分别为所以它们的坐标分别为 a(0,0,0),b(12,0,0),d(0,8,0),a(0,0,5)点点 c,b,d分别在分别在 xoy平面平面、xoz 平面平面、yoz 平面内平面内,坐标分别为坐标分别为 c(12,8,0),b(12,0,5),d(0,8,5)点点 c在三条

11、坐标在三条坐标轴上的射影分别是轴上的射影分别是 b,d,a,故点故点 c的坐标为的坐标为(12,8,5)空间两点间距离公式及应用空间两点间距离公式及应用典例典例已知点已知点 m(3,2,1),n(1,0,5),求：求：(1)线段线段 mn 的长度；的长度；(2)到到 m,n 两点的距离相等的点两点的距离相等的点 p(x,y,z)的坐标满足的条件的坐标满足的条件 解解 (1) 根 据 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式 得 线 段根 据 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式 得 线 段 mn 的 长 度的 长 度 |mn| 31 2 20 2 15 22 6,所以线段所以线段 mn 的长度

12、为的长度为 2 6.(2)因为点因为点 p(x,y,z)到到 m,n 两点的距离相等两点的距离相等,所以有下面等式成立：所以有下面等式成立： x3 2 y2 2 z1 2 x1 2 y0 2 z5 2,化简得化简得 xy2z30,因此因此,到到 m,n 两点的距离相等的点两点的距离相等的点 p(x,y,z)的坐标满足的条件是的坐标满足的条件是 xy2z30.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：活学活用活学活用已知直三棱已知直三棱柱柱abca1b1c1中中,bac90,abacaa14,m为为bc1的中点的中点,n为为a1b1的

13、中点的中点,求求|mn|.解：解：如图如图,以以 a 为原点为原点,ab,ac,aa1分别为分别为 x 轴轴,y 轴轴,z 轴的正半轴建轴的正半轴建立空间直角坐标系立空间直角坐标系,则则 b(4,0,0),c1(0,4,4),a1(0,0,4),b1(4,0,4)因为因为 m 为为 bc1的中点的中点,所以由中点公式得所以由中点公式得 m402，042，042,即即 m(2,2,2),又又 n 为为 a1b1的中点的中点,所以所以 n(2,0,4)所以由两点间的距离公式得所以由两点间的距离公式得|mn| 22 2 20 2 24 22 2.空间中点的对称空间中点的对称典例典例(1)点点 a(1

14、,2,1)关于坐标平面关于坐标平面 xoy 及及 x 轴的对称点的坐标分别是轴的对称点的坐标分别是_(2)已知已知点点 p(2,3,1)关于坐标平关于坐标平面面 xoy 的对称点的对称点为为 p1,点点 p1关于坐标平关于坐标平面面 yoz 的对称点的对称点为为p2,点点 p2关于关于 z 轴的对称点为轴的对称点为 p3,则点则点 p3的坐标为的坐标为_解析解析(1)如图所示如图所示,过过 a 作作 amxoy 交平面于交平面于 m,并延长到并延长到 c,使使amcm,则则 a 与与 c 关于坐标平面关于坐标平面 xoy 对称且对称且 c 的坐标为的坐标为(1,2,1)过过 a作作 anx 轴

15、轴于于 n 并延长到并延长到点点 b,使使 annb,则则 a 与与 b 关关于于 x 轴对称轴对称且且 b的坐标为的坐标为(1,2,1)a(1,2,1)关于坐标平面关于坐标平面 xoy 对称的点对称的点 c 的坐标为的坐标为(1,2,1)； a(1,2,1)关于关于 x 轴的对称轴的对称点点b 的坐标为的坐标为(1,2,1)(2)点点 p(2,3,1)关于坐标平关于坐标平面面 xoy 的对称的对称点点 p1的坐标为的坐标为(2,3,1),点点 p1关于坐标平关于坐标平面面 yoz 的的对称点对称点 p2的坐标为的坐标为(2,3,1),点点 p2关于关于 z 轴的对称点轴的对称点 p3的坐标是

16、的坐标是(2,3,1)答案答案(1)(1,2,1),(1,2,1)(2)(2,3,1)在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点 p(x,y,z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：(1)关于坐标原点的对称点为关于坐标原点的对称点为 p1(x,y,z)；(2)关于横轴关于横轴(x 轴轴)的对称点为的对称点为 p2(x,y,z)；(3)关于纵轴关于纵轴(y 轴轴)的对称点为的对称点为 p3(x,y,z)；(4)关于竖轴关于竖轴(z 轴轴)的对称点为的对称点为 p4(x,y,z)；(5)关于关于 xoy 坐标平面的对称点为坐标平面的对称点为 p5

17、(x,y,z)；(6)关于关于 yoz 坐标平面的对称点为坐标平面的对称点为 p6(x,y,z)；(7)关于关于 zox 坐标平面的对称点为坐标平面的对称点为 p7(x,y,z)其中的记忆方法为其中的记忆方法为“关于谁谁不变关于谁谁不变,其余的相反其余的相反”如关于横轴如关于横轴(x 轴轴)的对称点的对称点,横坐标不变横坐标不变,纵坐标纵坐标、竖坐标变为原来的相反数竖坐标变为原来的相反数；关于关于 xoy 坐标平面的对称点坐标平面的对称点,横坐标横坐标、纵坐标不变纵坐标不变,竖坐标竖坐标变为原来的相反数变为原来的相反数活学活用活学活用在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点 m 的坐标是的坐

18、标是(4,7,6),则点则点 m 关于关于 y 轴对称的点在轴对称的点在 xoz 平面上的射平面上的射影的坐标为影的坐标为()a(4,0,6)b(4,7,6)c(4,0,6)d(4,7,0)解析解析： 选选 c点点 m 关于关于 y 轴对称的点是轴对称的点是 m(4,7,6),点点 m在在 xoz 平面上的射影的坐平面上的射影的坐标为标为(4,0,6)层级一层级一学业水平达标学业水平达标1点点 p(a,b,c)到坐标平面到坐标平面 xoy 的距离是的距离是()a. a2b2b|a|c|b|d|c|解析：解析：选选 d点点 p 在在 xoy 平面的射影的坐标是平面的射影的坐标是 p(a,b,0)

19、,所以所以|pp|c|.2已知已知 a(1,1,1),b(3,3,3),则线段则线段 ab 的长为的长为()a4 3b2 3c4 2d3 2解析：解析：选选 a|ab| 13 2 13 2 13 24 3.3在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点 p(3,1,5)关于平面关于平面 xoz 对称的点的坐标为对称的点的坐标为()a(3,1,5)b(3,1,5)c(3,1,5)d(3,1,5)解析解析： 选选 a由于点关于平面由于点关于平面 xoz 对称对称,故其横坐标故其横坐标、 竖坐标不变竖坐标不变,纵坐标变为相反数纵坐标变为相反数,即对即对称点坐标是称点坐标是(3,1,5)4若点若点 p(

20、4,2,3)关于关于 xoy 平面及平面及 y 轴对称的点的坐标分别是轴对称的点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则则 c 与与 e 的的和为和为()a7b7c1d1解析解析：选选 d由题意由题意,知点知点 p 关于关于 xoy 平面对称的点的坐标为平面对称的点的坐标为(4,2,3),点点 p 关于关于 y 轴轴对称的点的坐标为对称的点的坐标为(4,2,3),故故 c3,e4,故故 ce341.5点点 p(1, 2, 3)为空间直角坐标系中的点为空间直角坐标系中的点,过点过点 p 作平面作平面 xoy 的垂线的垂线,垂足为垂足为 q,则点则点 q 的的坐标为坐标为()a(0,0, 3

21、)b(0, 2, 3)c(1,0, 3)d(1, 2,0)解析：解析：选选 d由空间点的坐标的定义由空间点的坐标的定义,知点知点 q 的坐标为的坐标为(1, 2,0)6空间点空间点 m(1,2,3)关于关于 x 轴的对称点的坐标是轴的对称点的坐标是_解析解析：点点 m(1,2,3)关于关于 x 轴对称轴对称,由空间中点由空间中点 p(x,y,z)关于关于 x 轴对称点的坐标为轴对称点的坐标为(x,y,z)知知,点点 m 关于关于 x 轴的对称点为轴的对称点为(1,2,3)答案：答案：(1,2,3)7在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点(1,b,2)关于关于 y 轴的对称点是轴的对称点是(

22、a,1,c2),则点则点 p(a,b,c)到坐标到坐标原点的距离原点的距离|po|_.解析解析： 由点由点(x,y,z)关于关于 y 轴的对称点是点轴的对称点是点(x,y,z)可得可得1a,b1,c22,所以所以 a1,c0,故所求距离故所求距离|po| 12 1 202 2.答案：答案： 28在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点 m(2,4,3)在在 xoz 平面上的射影为点平面上的射影为点 m1,则点则点 m1关于原点关于原点对称的点的坐标是对称的点的坐标是_解析：解析：由题意由题意,知点知点 m1的坐标为的坐标为(2,0,3),点点 m1关于原点对称的点的坐标是关于原点对称的点的坐

23、标是(2,0,3)答案：答案：(2,0,3)9.如图如图,已知长方体已知长方体 abcda1b1c1d1的对称中心在坐标原点的对称中心在坐标原点,交于同一顶点的三个面分别交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面平行于三个坐标平面,顶点顶点 a(2,3,1),求其他七个顶点的坐求其他七个顶点的坐标标解：解：由题意由题意,得点得点 b 与点与点 a 关于关于 xoz 平面对称平面对称,故点故点 b 的坐标为的坐标为(2,3,1)；点点d与与点点 a关关于于yoz平面对称平面对称,故故点点d的坐标为的坐标为(2,3,1)；点点 c 与点与点 a 关于关于 z 轴对称轴对称,故点故点 c 的坐标为的

24、坐标为(2,3,1)；由于点由于点 a1,b1,c1,d1分别与点分别与点 a,b,c,d 关于关于 xoy 平面对称平面对称,故点故点 a1,b1,c1,d1的坐标分别为的坐标分别为 a1(2,3,1),b1(2,3,1),c1(2,3,1),d1(2,3,1)10.如图如图,在长方体在长方体 abcda1b1c1d1中中,|ab|ad|2,|aa1|4,点点 m 在在a1c1上上,|mc1|2|a1m|,n在在d1c上且上且为为d1c的中点的中点,求求 m,n两点间的距离两点间的距离解析：解析：由已知条件由已知条件,得得|a1c1|2 2.由由|mc1|2|a1m|,得得|a1m|2 23

25、,且且b1a1md1a1m4.如图如图,以以 a 为原点为原点,分别以分别以 ab,ad,aa1所在所在直 线 为直 线 为 x 轴 、轴 、 y 轴 、轴 、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则则m23，23，4,c(2,2,0),d1(0,2,4)由由 n 为为 cd1的中点的中点,可得可得 n(1,2,2)|mn|12322232 24 2533.层级二层级二应试能力达标应试能力达标1点点 a(0,2,3)在空间直角坐标系中的位置是在空间直角坐标系中的位置是()a在在 x 轴上轴上b在在 xoy 平面内平面内c在在 yoz 平面内平面

26、内d在在 xoz 平面内平面内解析：解析：选选 c点点 a 的横坐标为的横坐标为 0,点点 a(0,2,3)在在 yoz 平面内平面内2在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点 p(2,3,4)和点和点 q(2,3,4)的位置关系是的位置关系是()a关于关于 x 轴对称轴对称b关于关于 yoz 平面对称平面对称c关于坐标原点对称关于坐标原点对称d以上都不对以上都不对解析：解析：选选 c点点 p 和点和点 q 的横、纵、竖坐标均相反的横、纵、竖坐标均相反,故它们关于原点对称故它们关于原点对称3设设 a(1,1,2),b(3,2,8),c(0,1,0),则线段则线段 ab 的中点的中点 p 到点

27、到点 c 的距离为的距离为()a.132b.534c.532d.532解析：解析：选选 d利用中点坐标公式利用中点坐标公式,得点得点 p 的坐标为的坐标为2，32，3,由空间两点间的距离公式由空间两点间的距离公式,得得|pc| 20 23212 30 2532.4在长方体在长方体 abcda1b1c1d1中中,若若 d(0,0,0),a(4,0,0),b(4,2,0),a1(4,0,3),则对角线则对角线 ac1的长的长为为()a9b. 29c5d2 6解析：解析：选选 b由已知由已知,可得可得 c1(0,2,3),|ac1| 04 2 20 2 30 2 29.5已知已知 a(3,5,7),

28、b(2,4,3),则线段则线段 ab 在在 yoz 平面上的射影长为平面上的射影长为_解析解析： 点点 a(3,5,7),b(2,4,3)在在 yoz 平面上的射影分别为平面上的射影分别为 a(0,5,7),b(0,4,3),线线段段ab 在在 yoz 平面上的射影长平面上的射影长|ab| 00 2 45 2 37 2 101.答案：答案： 1016在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,已知点已知点 a(1,0,2),b(1,3,1),点点 m 在在 y 轴上轴上,且点且点 m 到点到点 a,b 的距的距离相等离相等,则点则点 m 的坐标是的坐标是_解析解析：因为点因为点 m 在在 y 轴上轴

29、上,所以可设点所以可设点 m 的坐标为的坐标为(0,y,0)由由|ma|mb|,得得(01)2(y0)2(02)2(01)2(y3)2(01)2,整理得整理得 6y60,解得解得 y1,即点即点 m 的坐标为的坐标为(0,1,0)答案：答案：(0,1,0)7在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,解答下列各题解答下列各题(1)在在 x 轴上求一点轴上求一点 p,使它与点使它与点 p0(4,1,2)的距离为的距离为 30；(2)在在 xoy 平面内的直线平面内的直线 xy1 上确定一点上确定一点 m,使它到点使它到点 n(6,5,1)的距离最短的距离最短解：解：(1)设设 p(x,0,0)由题意由

30、题意,得得|p0p| x4 214 30,解得解得 x9 或或 x1.所以点所以点 p 的坐标为的坐标为(9,0,0)或或(1,0,0)(2)由已知由已知,可设可设 m(x0,1x0,0)则则|mn| x06 2 1x05 2 01 2 2 x01 251.所以当所以当 x01 时时,|mn|min 51.此时点此时点 m 的坐标为的坐标为(1,0,0)8.如图如图,正方体正方体 abcda1b1c1d1的棱长为的棱长为 a,m 为为 bd1的中点的中点,n 在在a1c1上上,且且|a1n|3|nc1|,试求试求 mn 的长的长解解：以以 d 为原点为原点,以以 da,dc,dd1所在直线为所

31、在直线为 x 轴轴、y 轴轴、z 轴轴,建立如图所示的空间直角坐建立如图所示的空间直角坐标系标系,则则 b(a,a,0),a1(a,0,a),c1(0,a,a),d1(0,0,a)由于由于 m 为为 bd1的中点的中点,所以所以 ma2，a2，a2 ,取取 a1c1中点中点 o1,则则 o1a2，a2，a,因为因为|a1n|3|nc1|,所以所以 n 为为 o1c1的中点的中点,故故 na4，34a，a.由两点间的距离公式可得：由两点间的距离公式可得：|mn|a2a42a234a2a2a264a.(时间时间 120 分钟分钟满分满分 150 分分)一一、选择题选择题(本大题共本大题共 8 小题

32、小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的)1直线直线 xy10 被圆被圆(x1)2y23 截得的弦长等于截得的弦长等于()a. 2b2c2 2d4解析解析：选选 b由题意由题意,得圆心为得圆心为(1,0),半径半径 r 3,弦心距弦心距 d|101|1212 2,所以所求的所以所求的弦长为弦长为 2 r2d22,选选 b.2若点若点 p(1,1)为圆为圆 x2y26x0 的弦的弦 mn 的中点的中点,则弦则弦 mn 所在直线的方程为所在直线的方程为()a2xy30bx2y10cx2y30d2

33、xy10解析：解析：选选 d由题意由题意,知圆的标准方程为知圆的标准方程为(x3)2y29,圆心为圆心为 a(3,0)因为点因为点 p(1,1)为为弦弦mn 的中点的中点,所以所以 apmn.又又 ap 的斜率的斜率 k101312,所以直线所以直线 mn 的斜率为的斜率为 2,所以弦所以弦 mn所在直线的方程为所在直线的方程为 y12(x1),即即 2xy10.3半径长为半径长为 6 的圆与的圆与 x 轴相切轴相切,且与圆且与圆 x2(y3)21 内切内切,则此圆的方程为则此圆的方程为()a(x4)2(y6)26b(x4)2(y6)26c(x4)2(y6)236d(x4)2(y6)236解析

34、：解析：选选 d半径长为半径长为 6 的圆与的圆与 x 轴相切轴相切,设圆心坐标为设圆心坐标为(a,b),则则 b6.再由再由 a2325,可以解得可以解得 a4,故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x4)2(y6)236.4经过点经过点 m(2,1)作圆作圆 x2y25 的切线的切线,则切线方程为则切线方程为()a. 2xy50b. 2xy50c2xy50d2xy50解析：解析：选选 cm(2,1)在圆上在圆上,切线与切线与 mo 垂直垂直kmo12,切线斜率为切线斜率为2.又过点又过点 m(2,1),y12(x2),即即 2xy50.5 把把圆圆 x2y22x4ya220 的半径减小一个单位

35、则正好与直的半径减小一个单位则正好与直线线 3x4y40 相切相切,则实数则实数 a 的值为的值为()a3b3c3 或或 3d以上都不对以上都不对解析：解析：选选 c圆的方程可变为圆的方程可变为(x1)2(y2)2a27,圆心为圆心为(1,2),半径为半径为 a27,由题由题意得意得|13424| 3 242 a271,解得解得 a3.6.如图如图,一座圆弧形拱桥一座圆弧形拱桥,当水面在如图所示的位置时当水面在如图所示的位置时,拱顶离水拱顶离水面面2米米,水面宽水面宽 12 米米,当水面下降当水面下降 1 米后米后,水面宽度为水面宽度为()a14 米米b15 米米c. 51米米d251米米解析

36、：解析：选选 d如图如图,以圆弧形拱桥的顶点为原点以圆弧形拱桥的顶点为原点,以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为 x 轴轴,以过圆弧形以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为拱桥的顶点的竖直直线为 y 轴轴,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系设圆心为设圆心为 c,水面所在弦的端点为水面所在弦的端点为 a,b,则由已知可得则由已知可得 a(6,2),设圆的半径长为设圆的半径长为 r,则则 c(0,r),即圆的方程为即圆的方程为 x2(yr)2r2.将点将点 a 的坐标代入上述方程可得的坐标代入上述方程可得 r10,所以圆的方程为所以圆的方程为 x2(y10)2100,当水面

37、下降当水面下降 1 米后米后,水面弦的端点为水面弦的端点为 a,b,可设可设 a(x0,3)(x00),代入代入 x2(y10)2100,解得解得 x0 51,水面宽度水面宽度|ab|251米米7过点过点(3,1)作圆作圆(x1)2y21 的两条切线的两条切线,切点分别为切点分别为 a,b,则直线则直线 ab 的方程为的方程为()a2xy30b2xy30c4xy30d4xy30解析解析：选选 a设点设点 p(3,1),圆心圆心 c(1,0)已知切点分别为已知切点分别为 a,b,则则 p,a,c,b 四点共圆四点共圆,且且 pc 为为圆的直径圆的直径 故四边形故四边形 pacb 的外接圆圆心坐标

38、为的外接圆圆心坐标为2，12 ,半径长为半径长为12 31 2 10 252.故此故此圆的方程为圆的方程为(x2)2y12254.圆圆 c 的方程为的方程为(x1)2y21.得得 2xy30,此即为直线此即为直线 ab 的方程的方程8已知在平面直角坐标系已知在平面直角坐标系 xoy 中中,圆圆 c 的方程为的方程为 x2y22y3,直线直线 l 经过点经过点(1,0)且与且与直线直线 xy10 垂直垂直,若直线若直线 l 与圆与圆 c 交于交于 a,b 两点两点,则则oab 的面积为的面积为()a1b. 2c2d2 2解析解析： 选选 a由题意由题意,得圆得圆 c 的标准方程为的标准方程为 x

39、2(y1)24,圆心为圆心为(0,1),半径半径 r2.因为直因为直线线 l 经过点经过点(1,0)且与直线且与直线 xy10 垂直垂直,所以直线所以直线 l 的斜率为的斜率为1,方程为方程为 y0(x1),即即为为 xy10.又圆心又圆心(0,1)到直线到直线 l 的距离的距离 d|011|2 2,所以弦长所以弦长|ab|2 r2d22422 2.又坐标原点又坐标原点 o 到弦到弦 ab 的距离为的距离为|001|212,所以所以oab 的面积为的面积为122 2121.故选故选 a.二二、填空题填空题(本大题共本大题共 7 小题小题,多空题每题多空题每题 6 分分,单空题每题单空题每题 4

40、 分分,共共 36 分分请把正确答案填请把正确答案填在题中的横线上在题中的横线上)9圆心在直线圆心在直线 x2 上的圆上的圆 c 与与 y 轴交于两点轴交于两点 a(0,4),b(0,2),则圆则圆 c 的方程为的方程为_解析：解析：由题意知圆心坐标为由题意知圆心坐标为(2,3),半径半径 r 20 2 32 2 5,圆圆 c 的方程为的方程为(x2)2(y3)25.答案：答案：(x2)2(y3)2510已知空间直角坐标系中三点已知空间直角坐标系中三点 a,b,m,点点 a 与点与点 b 关于点关于点 m 对称对称,且已知且已知 a 点的坐标为点的坐标为(3,2,1),m 点的坐标为点的坐标为

41、(4,3,1),则则 b 点的坐标为点的坐标为_解析解析：设：设 b 点的坐标为点的坐标为(x,y,z),则有则有x324,y223,z121,解得解得 x5,y4,z1,故故 b 点的坐标为点的坐标为(5,4,1)答案答案：(5,4,1)11圆圆 o：x2y22x2y10 上的动点上的动点 q 到直线到直线 l：3x4y80 的距离的最大值是的距离的最大值是_解 析：解 析： 圆圆 o 的 标准 方程 为的 标准 方程 为 (x 1)2 (y 1)2 1,圆 心圆 心(1,1)到 直线到 直线 l 的 距离 为的 距离 为|31418|324231,动点动点 q 到直线到直线 l 的距离的最

42、大值为的距离的最大值为 314.答案：答案：412已知过点已知过点(1,1)的直线的直线 l 与圆与圆 c：x2y24y20 相切相切,则圆则圆 c 的半径为的半径为_,直直线线 l 的方程为的方程为_解析：解析：圆圆 c 的标准方程为的标准方程为 x2(y2)22,则圆则圆 c 的半径为的半径为 2,圆心坐标为圆心坐标为(0,2)点点(1,1)在圆在圆 c 上上,则直线则直线 l 的斜率的斜率 k121011,则直线则直线 l 的方程为的方程为 yx,即即 xy0.答案：答案： 2xy013已知圆已知圆 c：(x1)2y225 与直线与直线 l：mxym20,若圆若圆 c 关于直线关于直线

43、l 对称对称,则则 m_；当；当 m_时时,圆圆 c 被直线被直线 l 截得的弦长最短截得的弦长最短解析：解析：当圆当圆 c 关于关于 l 对称时对称时,圆心圆心(1,0)在直线在直线 mxym20 上上,得得 m1.直线直线 l：m(x1)y20 恒过恒过圆圆 c 内的内的点点 m(1,2),当圆心到直当圆心到直线线 l 的距离最大的距离最大,即即 mcl 时时,圆圆 c 被直被直线线 l 截得的弦长最短截得的弦长最短,kmc20111,由由(m)11,得得 m1.答案：答案：1114已知点已知点 m(2,1)及圆及圆 x2y24,则过则过 m 点的圆的切线方程为点的圆的切线方程为_,若直线

44、若直线 axy40 与该圆相交于与该圆相交于 a,b 两点两点,且且|ab|2 3,则则 a_.解析：解析：若过若过 m 点的圆的切线斜率不存在点的圆的切线斜率不存在,则切线方程为则切线方程为 x2,经验证满足条件若切线斜经验证满足条件若切线斜率存在率存在,可设切线方程为可设切线方程为 yk(x2)1,由圆心到切线的距离等于半径得由圆心到切线的距离等于半径得|2k1|k212,解得解得 k34,故切线方程为故切线方程为 y34(x2)1,即即 3x4y100.综上综上,过过 m 点的圆的切线方程为点的圆的切线方程为 x2 或或 3x4y100.由由4a21 4 3 2得得 a 15.答案：答案

45、：x2 或或 3x4y100 1515已知两圆已知两圆 c1：x2y22ax4ya250 和和 c2：x2y22x2aya230,则两圆则两圆圆心的最短距离为圆心的最短距离为_,此时两圆的位置关系是此时两圆的位置关系是_(填填“外离外离、相交相交、外切外切、内切内切、内含内含”中的一个中的一个)解析：解析：将圆将圆 c1：x2y22ax4ya250 化为标准方程得化为标准方程得(xa)2(y2)29,圆心圆心为为c1(a,2),半径为半径为 r13,将圆将圆 c2：x2y22x2aya230 化为标准方程得化为标准方程得(x1)2(ya)24,圆心为圆心为 c2(1,a),半径为半径为 r22

46、.两圆的圆心距两圆的圆心距 d a1 2 2a 2 2a26a52a32212,所以当所以当 a32时时,dmin22,此时此时22|32|,所以两圆内含所以两圆内含答案：答案：22内含内含三三、解答题解答题(本大题共本大题共 5 小题小题,共共 74 分分,解答时写出必要的文字说明解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤)16(本小题满分本小题满分 14 分分)已知正四棱锥已知正四棱锥 pabcd 的底面边长为的底面边长为 4,侧棱长为侧棱长为 3,g 是是 pd 的中的中点点,求求|bg|.解：解：正四棱锥正四棱锥 pabcd 的底面边长为的底面边长为 4,侧棱长为侧

47、棱长为 3,正四棱锥的高为正四棱锥的高为 1.以正四棱锥的底面中心为原点以正四棱锥的底面中心为原点,平行于平行于 ab,bc 所在的直线分别为所在的直线分别为 y轴轴、 x轴轴,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系,则正四棱锥的顶则正四棱锥的顶点点b,d,p的坐标分别的坐标分别为为 b(2,2,0),d(2,2,0),p(0,0,1)g 点的坐标为点的坐标为 g1，1，12|bg|323214732.17(本小题满分本小题满分 15 分分)已知从圆外一点已知从圆外一点 p(4,6)作圆作圆 o：x2y21 的两条切线的两条切线,切点分别切点分别为为a,b.(1)求以求以 o

48、p 为直径的圆的方程；为直径的圆的方程；(2)求直线求直线 ab 的方程的方程解：解：(1)所求圆的圆心为线段所求圆的圆心为线段 op 的中点的中点(2,3),半径为半径为12|op|12 40 2 60 2 13,以以 op 为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为(x2)2(y3)213.(2)pa,pb 是圆是圆 o：x2y21 的两条切线的两条切线,oapa,obpb,a,b 两点都在以两点都在以 op 为直径的圆上为直径的圆上由由x2y21， x2 2 y3 213，得直线得直线 ab 的方程为的方程为 4x6y10.18(本小题满分本小题满分 15 分分)已知圆过点已知圆过点 a(1,2),b(1,4)(1)求周长最小的圆的方程；求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线求圆心在直线 2xy40 上的圆的方程上的圆的方程解：解：(1)当线段当线段 ab 为圆的直径时为圆的直径时,过点过点 a,b 的圆的半径最小的圆的半径最小,从而周长最小从而周长最小,即以线段即以