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文档简介
1、 点这里,看更多数学资料 一份好的考研复习资料,会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-二重积分知识点讲解和习题】,同时中公考研网首发2017考研信息,2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验,为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。模块九 二重积分 教学规划【教学目标】1、回顾二重积分的基本考点2、全面掌握各类二重积分的计算方法,形成系统的计算思路【主要内容】1、二重积分的概念和性质2、利用直角坐标计算二重积分3、利用极坐标计算二重积分4、二重积分的对称性【重难点】1、直角坐标下积分次序的选取2、极坐标的使用3、利用对称性简化计算 知识点回顾一基本概念1.二重积
2、分设是有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成个小闭区域,其中表示第个小闭区域,也表示它的面积。在每个闭区域上任取一点,并计算和式。如果各小闭区域的最大直径趋于零时,的极限存在,则称该极限值为在区域上的二重积分,记作。2.几何意义二元函数的图像是三维空间中的一个曲面,当时,表示以为底,以该曲面为曲顶的曲顶柱体的体积。二基本性质1.线性性设为任意实数,则有2.关于区域的可加性设可分为与,其中与不相交且,则有3常数的积分,其中为区域的面积。4.比较定理如果在上恒有成立,则有推论1:设分别是函数在区域上的最大值与最小值,是区域的面积,则有。推论2(二重积分中值定理):设函数在闭区域上连续,是区域的面
3、积,则在区域上至少存在一点使得。三二重积分的计算方法1.直角坐标系1)步骤:画出积分区域草图;选择积分次序;确定积分上下限,做定积分计算。2)确定积分次序时遵循两原则:尽可能地避免分类讨论;尽可能地使第一步的积分简单。3)定限方法(以先对积分的情况为例):)画一条与轴平行的直线,观察这条直线与积分区域边界的两交点(如图),下交点为下限,上交点为上限,即。)使得直线与积分区域有交点的的范围便是积分变量的上下限,即2.极坐标1)转换公式2)适用情形:积分区域为圆或与圆相关(扇形,环形等);被积函数可写成或被积函数中多次出现。3)定限方法)从原点出发画一条射线,观察这条射线与积分区域相交的部分,其中
4、与原点距离最近的点与原点的距离即为的下限,与原点距离最远的点与原点的距离即为的上限。)使得射线与积分区域相交点的角度范围便是积分变量的上下限,即3.利用对称性1)如果积分区域关于轴对称,且被积函数是关于变量的奇函数,则积分值为零;如果积分区域关于轴对称,且被积函数是关于变量的偶函数,则积分值等于第一二象限积分的两倍。2)如果积分区域关于轴对称,且被积函数是关于变量的奇函数,则积分值为零;如果积分区域关于轴对称,且被积函数是关于变量的偶函数,则积分值等于第一四象限积分的两倍。3)特别地,如果积分区域关于两个坐标轴都对称,被积函数关于两个变量都是偶函数,则积分值等于第一象限内的积分的四倍。4)轮换
5、对称性:如果设将积分区域的变量交换之后的区域为,则有。特别地,当关于直线对称时,此时则有 考点精讲一选择合适的积分次序【例1】:求,其中由围成。答案:【例2】:计算二重积分,其中是由直线以及曲线所围成的平面区域。答案:【例 3】:计算二重积分,其中D为曲线、和轴所围区域。答案:【例4】:计算二重积分,其中积分区域答案:【例5】:计算二重积分,其中是由直线,所围成的平面区域.答案:小结:确定积分次序的两个基本的原则:一是便于定限(避免分类讨论);二是尽可能地让第一步的积分简单。【例6】:计算二重积分,其中积分区域是以点为顶点的三角形。答案:【例7】:计算二重积分,其中积分区域是由直线以及抛物线所
6、围成的区域。答案:小结:如果被积函数为等无法积分的函数,则直接对另一个变量积分。二极坐标【例8】:计算二重积分,其中积分区域。答案:【例9】:计算二重积分,其中积分区域。答案:【例10】:计算重积分,其中。答案:【例11】:计算重积分,其中由围成。答案:【例12】:计算重积分,其中。答案:三交换积分次序【例13】:交换下列积分次序(1)(2)答案:(1)(2)小结:交换积分次序的一般步骤:先通过积分上下限还原出积分区域,再按照要求的积分次序定限即可。【例14】:计算下列积分(1)(2)答案:(1) (2)【例15】:答案:【例16】:将下列积分化为直角坐标下的累次积分(1)(2)答案:(1)(2)【例17】计算二重积分,其中.答案:四对称性1.奇偶性【例18】:计算二重积分,其中.答案:【例19】:设二元函数。二重积分,其中。答案:【例20】:计算二重积分,其中由围成。答案:2.轮换对称性【例21】:设且连续,试计算.答案:【例22】:设,试计算. 答案:【例23】:设,
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