排列组合和排列组合计算公式.

1、排列组合公式 / 排列组合计算公式排列 P 和顺序有关组合 C 不牵涉到顺序的问题排列分顺序 ,组合不分例如 把 5 本不同的书分给 3 个人,有几种分法 . " 排列" 把 5 本书分给 3个人, 有几种分法"组合"1排列及计算公式从 n 个不同元素中， 任取 m(mn) 个元素按照一定的顺序排成一 列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列；从 n 个 不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有排列的个数， 叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 p(n,m) 表示 .p(n,m)=n(n-1)(n- 2) (n-m+1

2、)= n!/(n-m)!( 规定 0!=1).2组合及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(mn) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取 出 m(m n) 个元素的所有组合的个数， 叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数 .用符号c(n,m) 表示 .c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)； c(n,m)=c(n,n-m);3其他排列与组合公式 从n 个元素中取出 r个元素的循环排列数 p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成 k 类，每类的个数分别是 n1,n2,.nk 这 n 个元

3、素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*.*nk!).k 类元素 , 每类的个数无限 , 从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m).排列( Pnm(n 为下标， m 为上标 )Pnm=n× (n-1 )( n-m+1 )； Pnm=n ！/(n-m )！(注：！是阶乘符号)； Pnn (两个 n 分别为上标和下标) =n！； 0！ =1 ； Pn1 (n 为下标 1 为上标) =n组合（ Cnm（n 为下标， m 为上标 ）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n ！/m！（ n-m ）！； Cnn （两个 n 分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n 为下标 1 为上标） =

4、n； Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式 P 是指排列，从 N个元素取 R个进行排列。 公式 C 是指组合，从 N 个元素取 R 个，不进行排列。 N-元素的总个数R参与选择的元素个数！- 阶乘 ，如9！ 9*8*7*6*5*4*3*2*1从 N倒数 r 个，表达式应该为 n* （ n-1）*（n-2）.（n-r+1）;因为从 n 到（n-r+1） 个数为n（ n-r+1） r 举例：Q1:有从 1 到 9共计 9个号码球， 请问，可以组成多少个三位数？A1: 123 和 213 是两个不同的排列数。 即对排列顺序有 要求的，既属于“排列 P”计算范畴。上问题中，任何一个号

5、码只能用一次，显然不会 出现 988,997 之类的组合， 我们可以这么看， 百位数有 9 种可 能，十位数则应该有 9-1 种可能，个位数则应该只有 9-1-1 种 可能，最终共有 9*8*7 个三位数。计算公式 P（3，9） 9*8*7,（ 从 9 倒数 3 个的乘积）Q2:有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213 组合和 312 组合，代表同一个组合， 只要有三 个号码球在一起即可。 即不要求顺序的， 属于“组合 C”计算范 畴。上问题中， 将所有的包括排列数的个数去除掉 属于重复的个数即为最终组合数 C（3

6、,9）=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例 1 设有 3 名学生和 4 个课外小组 （ 1）每名学生都只 参加一个课外小组；（ 2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？解（ 1）由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的 任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方 法（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且 每个小组至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法点评 由于要让 3 名学生逐个选择课外小组， 故两问都 用乘法原理进行计算例 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第 三， 不排第四的不同排法共

7、有多少种？解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中 的某一个，共 3 类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方 式逐一排出： 符合题意的不同排法共有 9 种点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理为 把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做 法，也是解决计数问题的一种数学模型例 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出（1）高三年级学生会有 11 人：每两人互通一封信，共 通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？（ 2）高二年级数学课外小组共 10 人：从中选一名正组 长和一名副组长，共有多少种不同的选法？从中选 2 名参加 省数学竞赛，有多少种不同

8、的选法？（3）有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：从中 任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（ 4）有 8 盆花：从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆， 有多少种不同的选法？从中选出 2 盆放在教室有多少种不同 的选法？分析 （ 1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲 的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；由于每两人 互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序 无关，所以是组合问题其他类似分析（1）是排列问题，共用了 封信；是组合问题，共需握 手 （次）（2）是排列问题，共有 （种）不同的选法；是组合问

9、 题，共有 种不同的选法（3）是排列问题，共有 种不同的商；是组合问题，共 有 种不同的积（ 4）是排列问题，共有 种不同的选法；是组合问题， 共有 种不同的选法例 证明 证明 左式右式 等式成立点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的 形式，并利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化例 5 化简 解法一 原式解法二 原式点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式， 并利用阶 乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得 以简化例 6 解方程：（ 1） ；（ 2） 解 （ 1）原方程解得 （ 2）原方程可变为 原方程可化为 即 ，解得第六章 排列组合、二项式定理一、考纲要求1.

10、掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些 简单的问题 .2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和 组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题 .3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论 证一些简单问题 .、知识结构三、知识点、能力点提示（一） 加法原理乘法原理3 所高等院校，每人报且只说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此 两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据 .例 1 5 位高中毕业生，准备报考 报一所，不同的报名方法共有多少种解：5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有 3 种不同的

11、报名方法，根据乘法原理， 得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=3 5（ 种）（二） 排列、排列数公式 说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中 较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握 的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考 查排列的应用题，都是选择题或填空题考查 .例 2 由数字 1、2、 3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其 中小于 50 000 的 偶数共有 （ ）A.60 个 个B.48 个D.24 个C.36解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 P12；小 于 50 000

12、的五位数，万位只能是 1、3或 2、4中剩下的一个的 排法有 P13; 在首末两位数排定后，中间 3 个位数的排法有 P33， 得 P13P33P1236（ 个） 由此可知此题应选 C.例 3将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格 里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同 的填法有多少种 ?解：将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 3 种，即 214 3，3142，4123；同样将数 字 1 填入第 3 方格，也对应着 3 种填法；将数字 1 填入第 4 方 格，也对应 3 种填法，因此共有填法为3P13=9（ 种）.

13、例四 例五可能有问题，等思考三 ） 组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现， 主要考查排列组合的 应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查 .例 4从 4台甲型和 5台乙型电视机中任意取出 3台，其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有 （ ）A. 140 种 B.84 种 C.70种 D.35 种解： 抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C14·C25 种；甲型 2 台乙型 1 台的取法有 C24·C15种根据加法原理可得总的取法有 C24·C25+C24·C15=40+30=70（ 种

14、） 可知此题应选 C.例 5 甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公司承包 1 项，丙、丁公司各承包 2 项，问共有多少种 承包方式 ?解： 甲公司从 8项工程中选出 3 项工程的方式 C38种； 乙公司从甲公司挑选后余下的 5项工程中选出 1 项工程的方式有 C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4项工程中选出 2 项工程的方 式有 C24 种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程的方式有 C22 种.根据乘法原理可得承包方式的种数有 C3 8×C15×C24×C22= ×1=1680(种

15、).(四) 二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则， 在 数学中它是常用的基础知识 ，从 1985年至 1998 年历届高考均 有这方面的题目出现， 主要考查二项展开式中通项公式等， 题型 主要为选择题或填空题 .例 6在(x- ) 10的展开式中， x6的系数是 ( )A. -27C 610B.27C410C.-9C6104D.9C410解 设(x- ) 10的展开式中第 +1 项含 x6，因 T+1=C10x10-(- )，10-=6, =4于是展开式中第 5项含 x 6，第 5项系数是 C410(- ) 4=9C410 故此题应选 D.2 3 例

16、7 (x-1)-(x-1) 2 (x-1) 3-(x-1)+(x-1) 的展开式中 的 x 的系数等于解：此题可视为首项为 x-1 ，公比为 -(x-1) 的等比数列的前 5 项 的和，则其和为在(x-1) 6中含 x3的项是 C36x3(-1) 3=-20x 3，因此展开式中 x2的系 数是-2 0.(五) 综合例题赏析例 8若(2x+ ) 4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4) 2-(a 1+a3)的值为 ()A.1C.0B. -1D.2解： A.例 9 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检，每 校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分

17、配方法共有 ( )A.6 种 B.12种 C.18种 D.24 种解 分医生的方法有 P222 种，分护士方法有 C24=6 种，所以 共有 6×2 12 种不同的分配方法。应选 B.例 10从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其 中至少要有甲型与乙型电视机各 1 台，则不同取法共有( ).A.140 种 B.84种 C.70 种 D.35 种解：取出的 3台电视机中， 甲型电视机分为恰有一台和恰有二台 两种情形 .C24·+C25·C14=5×6+10×4=70.应选 C.例 11 某小组共有 10 名学生，其中女生 3 名

18、，现选举 2 名代 表，至少有 1 名女生当选的不同选法有 ( )A.27 种 B.48 种 C.21种 D.24 种解：分恰有 1名女生和恰有 2 名女生代表两类：1 1 2C13·C1 7+C 23=3×7+3=24，应选 D.例 12 由数学 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的 六位 数，其中个位数字小于十位数字的共有().A.210 个B.300 个C. 464 个D.600 个解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有 P15·P55=600个.由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六 位数各占一半 .有 ×600

19、=300 个符合题设的六位数 .应选 B.例 13 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有( ).A.70 个B. 64 个C. 58 个 D.52 个 解：如图，正方体有 8 个顶点，任取 4个的组合数为 C48=70个.其中共面四点分 3 类：构成侧面的有 6 组；构成垂直底面的对角 面的有 2组；形如(ADB1C1 ) 的有 4组.能形成四面体的有 70-6-2-4=58( 组 ) 应选 C.例 14 如果把两条异面直线看成“一对”， 那么六棱 锥的棱 所在的 12 条直线中，异面直线共有 ( ).A.12 对B.24对C.36 对D.48对解：设正六棱锥为 O ABCDEF.任取一侧棱

20、 OA(C16)则OA与 BC、CD、DE、EF均形成异面直线对 . 共有 C16×4=24 对异面直线 .应选 B.例 15 正六边形的中心和顶点共 7 个点， 以其中三个点 为顶 点的三角形共个( 以数字作答 ).解：7 点中任取 3 个则有 C37=35 组. 其中三点共线的有 3 组 ( 正六边形有 3 条直径 ). 三角形个数为 35-3=32 个 .例 16 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S，其中由 3 个元素组成的子集数为 T，则 的值 为。解 10 个元素的集合的全部子集数有：SC10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C010=2 10=1024其中，含 3 个元素的子集数有 T=C310=120 故=例 17例 17在 50 件产品 n 中有 4件是次品，从中任意抽了 5 件 ，至少有 3件是次品的抽法共A.7 个 个B.8 个D.5 个C.6解 三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个， 由一