第8有字长效应

1、问题的提出截尾和舍入效应滤波器输入信号量化效应滤波器系数量化效应数字滤波器的定点运算误差问题的提出数字系统，存储单元的容量有限。有限字长的影响，主要表现在以下三方面截尾和舍入效应定点二进制数的表示量化及量化误差一、定点二进制数x有原码、反码和补码有原码、反码和补码三种表示形式01. 1110. 02121xxxxxxxxxxxbb原01. 1110. 02121xxxxxxxxxxxbb反01210 xxxxx补若x=0.x1 x2 xb，则其原码、反码和补码分别定义为理论上十进制数可用无穷多为二进制数表示102nnnx符号位有效数字位 实际中，只能用有限位近似表示(b+1)位)，这种过程称为

2、量化。截尾量化截尾量化舍入量化舍入量化bnnnxq102截掉b位后数据视b+1位后数据的大小决定b位数据的值截尾误差截尾误差xxqet舍入误差范围舍入误差范围22qeqr正数和补码负数截尾误差范围为0teq原码负数和反码负数截尾误差范围为qet0区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。bq 2问题的提出量化误差统计假设信噪比和字长的关系模拟信号经过a/d转换为b位数字信号，即 kekxkx精确抽样值量化误差 分析a/d转换器的量化效应目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。二、二、ek统计假设统计假设1) ek是平稳随机序列是平稳随机序列 2)

3、 ek 是白噪声，且是白噪声，且ek1和和ek2不相关不相关 3) ek和和xk不相关不相关4) ek等概率分布等概率分布舍入量化误差的概率密度函数曲线三、信噪比和字长的关系三、信噪比和字长的关系信号xk的平均功率为 2x输入信号的信噪比输入信号的信噪比snr为为db)(10log1079.1002. 610log10222xexbsnr字长增加一位，字长增加一位，snr增加增加6db12222qkeee量化误差方差滤波器系数量化效应问题的提出iir系数量化效应fir系数量化效应nrrmkkknkkkmkkkzpzbzazbzazbzh11010)1 (1)()()(因字长有限，滤波器系数ak

4、、bk量化后将产生误差1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。严重时，使系统失去稳定。设系统只有单极点，理想df的系统函数可表示为ak量化后的值nkaaakkk, 1,011kknkkkzazankkkaa11) 1(22maxbkkqaa保持稳定性的iir df系数的最小字长量化后极点位置为了保持稳定，设极点在单位圆内接近z=1nrppprrr, 1,kkrnkraapp1系统对系数量化的灵敏度系统对系数量化的灵敏度量化后极点第r个极点

5、对第k个系数变化的敏感度位置误差pr /ak越大，ak对pr的影响越大，反之亦然。 将系数量化误差所造成的零、极点位置误差作为对系数量化灵敏度的度量。nrlllrknrnrllrlrkrpzrkkrppppppppzdazdapr1111)()1 ()()( 对级联或并联型，每个子系统最多只有两个共轭极对级联或并联型，每个子系统最多只有两个共轭极点，故对系数量化影响较小。点，故对系数量化影响较小。极点彼此之间距离越远，极点位置灵敏度就越低极点彼此之间距离越远，极点位置灵敏度就越低极点彼此越密集，极点位置灵敏度就越高极点彼此越密集，极点位置灵敏度就越高三、三、 fir系数量化效应系数量化效应 系

6、数量化只影响零点，不涉及稳定性问题，系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题，但会影响频率特性。但会影响频率特性。若要求频响误差为e(ej)，则所需字长为) 1(2) 1(2) 1()(bjnqnee实际中，需要在估计字长的基础上加上34位数字滤波器的定点运算误差iir df的极限环振荡iir df乘积量化误差的统计分析fir df中乘积量化的影响溢出问题一、一、iir df 的极限环振荡的极限环振荡 1kxkyky设： y1=0 b=3, =1/2=0.100, x k=(7/8)d k = 0.111d k 1kyqkxky 由于字长有限，由于字长有限，iir df零输入下也有固定不变零输入下

7、也有固定不变的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为分析：111. 087100yqxy100. 00111. 00 1 qyqy010. 0010. 01 2qyqy001. 0001. 02 3qyqy81001. 00001. 034qyqy,81,81,81,82,84,87 ky)21(87kukyk极限环震荡极限环震荡无限精度输出无限精度输出量化使下式成立 11kykyq)0,0(取取即系统的差分方程变为 1kykxky 极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上，从而产生等幅序列形式的极限环震荡。1. 适当

8、地增加字长12 1) 1(bky死区死区2. 在滤波器的输入端加入高频脉冲，使输出跳出死区，回到零。在一定时，增加字长b，死区也减小。乘积的舍入用噪声源ek表示，对其做如下假设：1) 各噪声源均为白噪声序列；2) 各噪声源统计独立，互不相关；3) 在量化噪声范围内，各噪声源都视为等概率密度分布。直接i型结构乘积量化误差单个噪声源模型122220qkeei单个噪声源方差直接i型结构乘积量化误差联合噪声源模型12) 1(222qnmkeee联合噪声方差ek通过系统的平均噪声功率dzzzhzhjqnmeecv1122)()(2112) 1(ek所通过系统的系统函数he(z)=1/a(z)直接ii型结构乘积量化误差单个噪声源模型直接ii型结构乘积量化误差联合噪声源模型122) 1(12222022bkbvmkhneak和ebk通过系统的输出噪声方差dzzzazazhzhjiilllilciliv1111212)()()()(212212khielivi乘积量化噪声的输出平均功率12) 1(12