福建省宁德市部分达标中学2011-2012学年高二数学下学期期末联合考试理试题新人教A版

1、宁德市部分达标中学2011-2012 学年第二学期期末联考高二数学试卷（理科）命题、审核人：陈尔明叶惠金曾亦雄郭强杨恩彬本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟第 I 卷（选择题共 50分）一、选择题：本小题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 zi（ i 是虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为1iA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2在对我市高中学生某项身体素质的测试中，测试结果服从正态分布 N (1,2)(0) ，若在(0,2) 内取值的概率为0.8，则在 (0,1)内取值的概率为A 0.

2、2B 0.3C 0.4D 0.63 4 张相同卡片上分别写上1， 2， 3，4，从中随机抽出2 张，则卡片上数字和为奇数的概率为A 1B 1C 2D 332344通过随机询问110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好不爱好总计由 2(a附表：4020602030506050110n(ad bc)22 110(40 30 20 20)2b)( c d)( a算得7.8c)( b d )60 50 60 5020.0500.0100.001P(k )k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是A有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有

3、 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”5从 5 位男教师和4 位女教师中选出3 位教师，派到 3 个班担任班主任 （每班 1 位班主任），要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有A210 种B420 种C630 种D840 种用心爱心专心16若椭圆 x2y21(a b 0) 的面积为 ab，则a2b2A B2C22442212x2 dx0D 287数学归纳法证明 ( n1) ( n2)(nn) 2n 13(2n1) （ n

4、N* ）成立时，从 nk到 nk 1左边需增加的乘积因式是A 2(2k1)B 2k1C 2k1D 2k36k1k12, 28设 f (x) 是 x21展开式的中间项， 若 f (x)mx 在区间 上恒成立， 则实数 m 的2 x2取值范围是A,5B,5C 5,D 5,)9已知定义在 (,) 上的偶函数 yf ( x) ，当 x0,) 时不等式 f (x)xf ( x)0 成立，若 a30.3f (3 0.3 ) ， b 0.33f (0.3 3 ) ， c (log 0.3 3) f (log 0.33) ，则 a ， b ， c 的大小关系是A a b cB c b aC a c bD c

5、a b10在面积为 S 的正三角形 ABC 中， E 是边 AB 上的动点， 过点 E 作 EF / / BC ，交 AC 于点 F ，当点 E 运动到离边 BC 的距离为ABC 高的 1 时， EFB 的面积取得最大值为 1 S 类比上24面的方法 ，可得 , 在各棱长相等体积为 V 的四面体 ABCD 中， E 是棱 AB 上的动点，过点 E作面 EFG / 面 BCD ，分别交 AC、 AD 于点 F、G ，则四面体 EFGB 的体积的最大值等于A 1VB 1 VC 4 VD2V83273第II 卷（非选择题共100 分）二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分把答案填在答

6、题卡相应位置11某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记x34567录了产量 x （吨）与相应的生产能耗y （吨）y23.544.56的几组对应数据如右表所示，根据右表提供的数据，求出y 关于 x 的线性回归方程为 y? 0.7xa ，那么预计产量 8 （吨）时，相应的生产能耗的吨数为12（本题设有 （ 1）（ 2）二个选考题， 请任选 1 题做答 如果多做， 则按所做的前一题计分）（ 1）（选修4-2：矩阵与变换）矩阵16的所有特征值的和为A62（ 2）（选修4-5：不等式选讲）不等式| x 2 | x 1| 4 的解集为13将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4 次，记正面向上的次数为X ，则方差

7、D(X)14若二项式 (xa )9 (a R) 展开式的常数项为84，则二项式 (xa )9 展开式中所有项的xx系数和为15数学与文学之间存在着许多奇妙的联系诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如： 88， 454， 7337， 43534 等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读， 都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来用心爱心专心2还真有趣！二位的回文数有11， 22，33， 44，55， 66，77， 88，99，共 9 个；三位的回文数有101， 111，12

8、1，131， 969， 979，989，999，共 90 个；四位的回文数有1001， 1111， 1221， 9669， 9779，9889 ，9999，共 90 个；由此推测： 10 位的回文数总共有个三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分13 分）若函数 f (x)ax 3bx(a,bR ) 在点 (1, f (1)处的切线方程为 y 20 （）求函数f (x) 的解析式；（）若 x 3,2，求函数 f ( x) 的最大值和最小值17（本小题满分13 分）本题设有（ 1）（ 2）二个选考题，请任选 1 题做答如果多做，则按所做的前一

9、题计分（ 1）选修 4-2 ：矩阵与变换设矩阵 M1ab1（）若 a2,b3，求矩阵 M 的逆矩阵 M1 ；（）若曲线 C ： x24xy2 y21在矩阵 M 的作用下变换成曲线C ： x22 y21，求 a b 的值（ 2）选修 4-5 ：不等式选讲（）若 xR ，求 f ( x)x 1x的最小值 S ；（）在（）的条件下，若a, bR ， a2b2S ，试求 2ab 的最大值18（本小题满分13 分）已知在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，平面PAD 平面 ABCD ，且 PD AD ， PDAD2 E、F分别是 PB、PD 的中点（）求证：（）求平面（）在线段CDPD ；AE

10、F 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值； PC 上是否存在一点 M ，使 BM 平面 AEF ？若存在，求PM 的值；若不存在，说明理由PC19 （本小题满分13 分）某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6 个篮球，其中 3 个是新球（即没有用过的球） ，3 个是旧球 （即至少用过一次的球）每次训练， 都从中任意取出2 个球，用完后放回用心爱心专心3（）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率20（本小题满分14 分）222 ，点 P 为椭圆 C 上任意一点， F1 、 F2 分已知椭圆 C : x2y2 1(a b 0) 的离心率 e

11、ab3别为左、右焦点，且PF1F2 的周长为 10（ I ）求椭圆 C 的方程；（）作直线PF1交椭圆 C 于另一点 Q ，若 PF2FQ ，求直线 PQ 的方程1121（本小题满分14 分）已知函数 f ( x) ln(x1)mx （）若 x0 时，函数 f (x) 取得极大值，求实数m 的值；（）求函数f (x) 的单调区间；（）已知结论：若函数f ( x) ln(x1)mx 在区间 (a,b) 内导数都存在，且a1，则存在 x0(a, b)， 使 得 f( x0 )f (b )f(a)试用这个结论证明：若 1x1x2 ， 函 数bag(x)f ( x1 )f (x2 ) (xx1)f (

12、 x1 ) ，则对任意 x(x1 , x2 ) ，都有 f ( x) g( x) x1x22012 年宁德市普通高中五校期末统考试卷高二数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力， 并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则二、对计算题， 当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择

13、题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5 分，满分50 分1A2C3C4A5B6D7A8D9B10C二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4 分，满分20 分11 6.112（1）5（ 2） ( 2.5,1.5)13114 0 15 90000三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤用心爱心专心416解：（） f( x)3ax2b ，根据题意得，f (1)2,·············&#

14、183;········3 分f (1)0,故 ab2, 解得 a1,b33ab0.故f ( x)x33x ； ·························6 分（）由（）f ( x)3x23，令 f ( x)0 ，解得 x1 ，···

15、;····7 分 f (3)18 ， f ( 1)2 ， f (1)2 ， f (2)2 ，········11 分在区间3,2上 f max ( x)2 ， fmin ( x)18 ···········13 分17 (1) 解法一：（ I ） M12，且M5 ，3分3 11 2故 M 111255 6 分3153155（ II ）设曲线 C上任意一点P( x, y

16、) ，它在矩阵 M所对应的线性变换作用下得到点P '(x ', y') ，则1axx '，即xayx ', ， 8 分b1yy 'bxyy ',又点 P '(x ', y ') 在曲线 C ' 上，所以 x 22 y 21 ，则 (xay)22( bxy) 21 ，22(2 a4b)xy221为曲线 C的方程，10 分即 (1 2b )x(a2) y又已知曲线 C的方程为 x24 xy2 y21，12b21比较系数可得2a4b4 ，解得 b 0 , a2， ab2 13 分a222解法二：（）设矩阵1x1y

17、111012，M的逆矩阵 Mx2y2，则 MM0. 又 M311所以12x1y110，所以 x12x21,3x1x20 ，31x2y201y1 2 y20,3 y1y21 ，即 x11 , y12 , x23 , y21 ,555512故所求的逆矩阵M13554 分155（）同解法一用心爱心专心5(2) 解：（1） f ( x)x11 (x 1)(1 x) x 1） 4x（或 f ( x)2x1 (x 1)分可求得 f (x)min1 6 分（2）a2b21 ，(2 ab)2(2 212 )( a2b2 )5 10 分ab25 ,b5 时等号成立当且仅当21即 a12 分a2b2155故 (2

18、 ab)max5 13 分18（）证明：ABCD 是正方形， CDAD 1 分又平面PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCDAD ， 2 分 CD平面 PAD 3 分 CDPD 4 分（）由（）知DA、DC、DP 两两垂直如图以 D 为原点，以 DA、DC、DP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则 D (0,0,0) ， A(2,0,0) ， B(2,2,0) ， C(0,2,0) ， P(0,0,2) ， E(1,1,1) ， F (0,0,1) 5 分 AF(2,0,1)， EF( 1, 1,0)设平面 AEF 的法向量为 n1( x, y, z) ，

19、n1AF0,2xz0,令 x1 ,n1EF0.xy0.得平面 AEF 的一个法向量为n1(1,1,2) 7 分显然平面 ABCD 的一个法向量为n2(0,0,1) , cos| n1n2 |26 ,| n1 | n2 |63平面 AEF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为6 9 分3（）假设在线段PC 上存在一点 M ，使 BM 平面 AEF ，设 PMt PC PC(0, 2,2), PM(0,2 t,2t) ， M (0,2t,22t) ， BM( 2,2t2,2 2t ) ， BM n10 ， 2 2 2t 44t 0 ， t2 3在线段 PC 上存在一点 M ，使 BM 平面 A

20、EF ，且 PM2 ， 13 分PC319解：（）的所有可能取值为0， 1， 21 分设“第一次训练时取到i 个新球（即i ）”为事件 Ai （ i =0， 1，2）因为集训前共有6 个篮球，其中3 个是新球，3 个是旧球，所以用心爱心专心6P(A0)P(0)C321，2 分C625P(A1 )P (1)C31C313 ，3 分C625P( A2)P(2)C3214 分C625所以的分布列为012P131555的数学期望为 E013216 分511 55（）设“从6 个球中任意取出2 个球，恰好取到一个新球”为事件B 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0 BA1B A2B而事件 A0

21、B 、 A1B 、 A2B互斥，且 A0 ,B ， A1, B ， A2, B相互独立所以， P(A0 B A1 BA2 B)P(A0 B)P(A1B) P(A2 B) P( A0 B)1C31C313，8 分25C625P( A1 B)3 C21C418，10 分5C6225111P( A2 B)C512 分5C2156所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为P(A0BA1 BA2 B)38138 13 分25251575c2,20解：（ I ）依题意得a32 分2a2c10,解得a3,故 b2a 2c25 ， 5 分c2.从而椭圆 C 的方程为 x2y21 6 分95（）设直线 PQ ：

22、 xmy2 ，联立椭圆方程得(5m29) y220my250 ，显然0 8 分设 P( x1 , y1 ) ， Q(x2 , y2 ) ，则 y1y220m， y1 y225，（ * ）9 分5m295m29由 PF2FQx1 ,0 y1 ) 2( x2 2, y2 ) ，11， ( 2y12 y2 ， 10分代入（ * ）得用心爱心专心720m2400m2y25m29y2(5m29)2 ,2 y2225 .5m29800m225 12分(5m29) 25m29即 m2 1,m3 13分33故直线 PQ 的方程为： y3( x2) 14 分法二：显然直线PQ 的斜率存在，设PQ 的方程为 yk(x 2) ，代入 x2y21得 (59k 2 )x 236 k 2 x36k 245095由 PQ 过焦点，0显然成立8分设 P(x1 , y1) ， Q(x2 , y2 ) ，PF12FQ1，( 2x1,0y1 ) 2( x22, y2 ) ，故 x12x26 9 分x1x236k259k2 10 分且36k245x1x25 9k2由解得x13018k2, x218k230代入 12分59k