算法设计与分析 课件 6.3-贪心法应用-活动安排问题_第1页
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信息工程大学算法设计与分析贪心法—活动安排问题国家级实验教学示范中心计算机学科组规划教材算法设计与分析Python案例详解微课视频版活动安排问题：

设有n个活动的集合S={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如教室、会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这个资源。si，fi分别为活动i的开始和结束时间，且si<fi

。活动i与j相容

si

fj或sjfi。求：最大的两两相容的活动集A。

问题的解需要满足以下条件：是n个活动的一个子集任何两个活动都是相容的活动个数最多活动的属性：开始时间、结束时间、持续时间可能的贪心策略：尽早开始，优先安排开始时间早的活动占用时间短，优先安排持续时间短的活动使剩余时间更多，优先安排结束时间早的活动思考：活动安排问题可以用贪心法求解吗？选择题。你觉得以下哪种贪心选择策略可以得到活动安排问题的最优解？A.优先安排开始时间早的活动B.优先安排持续时间短的活动C.优先安排结束时间早的活动D.以上都不对策略1：优先安排开始时间早的活动错误该策略得到的解：活动1最优解：活动2、活动3策略2：

优先安排持续时间短的活动错误该策略得到的解：活动4、5最优解：活动1、2、3策略3：优先安排结束时间早的活动问题：该策略对所有实例都能得到最优解吗？该策略对两个实例都得到了最优解。

时间复杂度为O(nlogn)S={1,2,…,n}是活动集，且f1

…

fn

。

定理：算法GreedySelect执行到第k步，选择k项活动i1=1,i2,…,ik，那么存在最优解A包含i1=1,i2,…,ik。证明：归纳基础：k=1,存在最优解包含活动1。任取最优解A,A中的活动按结束时间递增排列。如果A的第一个活动为j，j

1,由于f1

fj，则有A′=(A

{j})

{1}，且A′也是最优解，并含有活动1。

j…A1…A’归纳步骤：假设命题对k为真，证明对k+1也为真。算法执行到第k步，选择了活动i1=1,i2,…,ik，根据归纳假设存在最优解A包含i1=1,i2,…,ik。

最优解A中剩下的活动子集B来自集合S′={i|i

S,si

fk}，且A={i1,i2,…,ik}B。其中B是S′的最优解。若不然,设S′的最优解为B*,B*的活动比B多，那么B*

{1,i2,…,ik}是S的最优解，且比A的活动多,与A的最优性矛盾。待选集合S′1,i2,…,ik不相容活动集BAB*B={ik+1,…}?将S′看做一个子问题，根据归纳基础，存在S′的最优解B′含有S′中的第一个活动，即ik+1,且|B′|=|B|,于是也是原问题的最优解.待选集合S′1,i2,…,ikBB’ik+1活动安

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