第3章312知能优化训练

1、1设函数f(x)在点 x0 附近有定义，且有f(x0x) f(x0) a x b( x)2(a，b 为常数 )，则 f( x0) _.f x0 x f x0a x b x 2x，当x0 时，f x0 x f x0解析：x a b a，所以xxf (x0) a.答案： a2如果质点A 按规律 s2t3 运动，则在t 3 秒的瞬时速度为_s 2 3 t 3 2× 33s解析： tt，当 t0时，t 54.答案： 543下列说法中正确的是_若 f (x0)不存在， 则曲线 y f(x) 在点 (x0，f(x0) 处没有切线；若曲线 y f( x)在点 (x0，f(x0) 处有切线，则f(

2、x0)必存在；若 f (x0)不存在，则曲线y f(x)在点 (x0， f( x0)处的切线斜率不存在；若曲线y f(x) 在点 (x0， f(x0) 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线解析：函数 f(x)在一点 x x0 处的导数 f (x0)的几何意义是在这一点处切线的斜率f (x0)不存在， 并不能说明在这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线斜率不存在，即若在这一点处的切线斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线，所以函数f(x) 在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件答案： 4已知 f(x) x3 2x，则 f (x)_.解析： y f(xx)f(x) (xx)

3、3 2(xx)( x32x)3x2·x 3x( x)2 (x)3 2 x (3x2 2) x 3x( x)2 ( x)3， y 3x2 2 3x( x) ( x)2 . x当x 0 时，yx 3x2 2.2f (x) 3x 2.一、填空题1一质点运动方程为s 5 3t2，则 t1 时质点的瞬时速度为_解析： 在 t 1 到 t 1t 的时间内，质点的平均速度为v s 1 t s 15 3 1 t 2 5 3× 12tt 3 t 6.当 t 无限趋近于 0时， v 无限趋近于6，所以 t 1 时质点的瞬时速度为 6.答案： 62设 f(x) x·(1 x)，则 f

4、(0) 等于 _解析： f(x) x(1 x) x x2，y (0x) (0x)2 (0 02) x ( x)2 x(1 x)，yx 1 x 1 x， xxyx 0 时，x 1.答案： 1113函数 y x在2， 2 处的切线方程是 _11xx x xx x x1解析： xx，x x x1 1当 x 0 时， x x2，f (2) 4，y1切线方程是 y 2 4(x 2)得 y 4x 4.答案： y 4x 4134曲线 y 2x2 2 在点1，2 处的切线倾斜角为 _解析： 利用导数的定义可求得曲线在点31， 2 处切线的斜率为 1，所以倾斜角为 4.答案： 45若曲线 y x4 的一条切线

5、l 与直线 x 4y 8 0 垂直，则 l 的方程为 _解析： 用定义求出：yx x 4 x43xx，可得到： y 4x .y x4 的一切线与 x 4y 8 0 垂直，则切线斜率为4.设切点为 (x ， y )，则3344x y 4，则 x 1， x 1，y 1 1.故切点坐标为 (1,1)设000000切线方程为 y 4x b，则代入切点坐标求得切线方程为4x y3 0.答案： 4x y 306曲线 y x3 在点 P 处的切线斜率为3，则 P 点的横坐标为 _解析： y ( x x)3 x3 3x2x 3x(x)2 ( x)3，y x 3x2 3x(x) (x)2.当 x 0 时，y 3

6、x2.y 3x2 .x2或 1.设 P 点坐标为 (x0， y0)，则 y 3x0 3，得 x0 1答案：1或 17设函数 f( x) ax2 2，若 f ( 1) 4，则 a _.x)2， y解析： y f( 1 x) f( 1) a( 1 x)2 2 a( 1)2 2 2a x a(x2a a x.y 2a.f (1) 2a 4，a 2.当 x 0 时， x答案： 22f x x f x8已知 f(x) x，则当x 趋近于 0 时，x趋近于 _解析： f(x x) f( x)222xx x x x x x ，f x x f x2.xx x xf x x f x22当x 0 时，x 2x .

7、答案： x2二、解答题9在曲线 f(x) x2 3的图象上取一点P(1,4) 及附近一点 (1x,4 y)，求： (1)y；x(2) f (1)解： (1) yf 1 x f 1xx1 x 2 3 12 3x 2 x.y(2)当 x 0时，x 2 x 2.f (1) 2.10已知自由落体的运动方程为12sgt ，求：(1)落体在 t2到 t t 这段时间内的平均速度；00(2)落体在 t0 时的瞬时速度；(3)落体在 t 2 秒到 t 2.1 秒这段时间内的平均速度；01(4)落体在 t0 2 秒时的瞬时速度解： (1)落体在 t0到 t 0 t 这段时间内 (即t 时间内 )取得的路程增量为

8、1212s 2g(t0t)2gt0.因此，落体在这段时间内的平均速度为：1212s 2g t0t 2gt01t 2t0 tv tt2gt1 2g(2t0 t)(2)落体在 t0 时的瞬时速度为s当 t 0 时， v t gt0.v gt0.(3)落体在 t0 2 秒到 t1 2.1 秒时，其时间增量t t1 t0 0.1(秒 )，由 (1)知平均速度为1v 2g(2×2 0.1) 2.05g 2.05× 9.8 20.09(米 /秒 )(4)由 (2) 知落体在t0 2 秒的瞬时速度为v g×2 9.8×2 19.6(米 /秒 )11设函数f(x) x3 ax2 9x1(a<0)，若曲线y f( x)的斜率最小的切线与直线12x y6 平行，求 a 的值解： y f(x0 x) f(x0) (x03 a(x02320x)x) 9(x000x) 1 (x ax 9x 1)2 2ax 9)23(3x0x (3x a)( x) ( x) ，00y22ax0 9 (3x0a)x2 x 3x0( x) .当 x 无限趋近于零时，y2x无限趋近于3x0 2ax0 9.即