一元二次不等式的教案

1、3.2 一元二次不等式三维目标一、知识与技能1. 经历从实际情境抽象出一元二次不等式模型的过程。2. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。3. 会解一元二次不等式。4. 培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通 过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由 具体到抽象” 、“从特殊到一般”的归纳概括能力。二、过程与方法 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；三、情感、态度与价值观1激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不

2、拔的意志，实事 求是的科学学习态度和勇于创新的精神。2通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转 化的，树立辩证的世界观。二、教学重点与难点教学重点 :1. 一元二次不等式的解法；2. 一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式三者之间的关系。 教学难点：一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式三者之间的关系。 三、教学方法与教学手段教学方法：启发式、发现法 教学手段 : 计算机辅助教学。四、教学过程（一）问题情境用一根长为 100m的绳子能围成一个面积大于 600m2 的矩形吗？由此引出课题 （板书课题 ） 。 分析：设矩形一边的长为 x m （0<

3、x<50）根据题意得： x（50-x）>600即 x 2 -50x+600<0定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式 .问题：如何解一元二次不等式呢？（二）推进新课 请同学们解一元二次不等式 x2 2x 3 0 ？ 观 察 函 数 y x 2 2 x 3: 的图像探究下列问题：（ 1） 是否存在 x 的值，使得y>0, y=0, y<0 无数个，两个，无数个（ 2） 当 x 为何值时，能使y>0,y=0,y<0结合图像分析，当 x=-1 或 3 时， y x2 2x 3 0 ，所以，方程的解就是函数 图像与 x 轴

4、交点的横坐标。在 x 轴上方的图像都满足 y>0，所以 x2 2x 3 0 的解在两交点的两边， 又因为 图像与 x 轴交点的横坐标就是所对应的方程的解， 所以，解在所对应方程的两解之 外，所以它的解 x<-1 或 x>3;2在 x 轴下方的图像都满足 y<0, 所以 x2 2x 3 0 的解在两交点之内，也就是在 所对应的方程的两解之内，所以它的解为 -1<x<3.2（1）满足 x 2x 3 0 的 x 的取值范围是 :-1<x<3, 我们把 -1<x<3 叫做不等 式 x2 2x 3 0的解，解的集合叫做不等式的解集。记作x|-1

5、<x<3.（2）不等式 x2 2x 3 0 的解集是： x|x<-1 或 x>3（ 3） 解不等式必须先解出相应的二次方程的根， 并画出相应的二次函数的图像， 根据图像求出一元二次不等式的解集。根据求不等式 x2 2x 3 0 的解集的过程，可以得到如下的结论：结论： 当函数 y ax2 bx c（a 0） 图像开口向上，与 x 轴有 2 个交点时，不等式22ax2 bx c 0 的解在图像与 x 轴的交点之外，也就是在方程 ax2 bx c 0 的两根之外；不等式 ax2 bx c 0的解在图像与 x 轴的交点之内， 也就是在方程 ax2 bx c 0的两根之内 。解

6、一开始的问题情境中的 x 2 -50x+600<0 。（三）例题讲解例1解下列不等式（ 1） 2x2 3x 2 0（2） x2 2x 1 0（3） x2 x 2 021解：法一 :方程 2x2 3x 2 0 的解为 x1,x2 21 2 2根据二次函数 y 2x2 3x 2 的图像，1可得原不等式的解集为 x|x或 x 22法 2：原不等式可化为 （x-2） （2x+1 ）>0,1所以，原不等式的解集为 x|x或 x 22结论：二次函数可以写成一般式，顶点式，交点式，写成交点式立刻可以求到方程的根，从而得到函数的图像， 根据图像求到不等式的解集。 所以能写成交点式即能分解因式， 采

7、用第二种方法还是挺方便的，一下子就可以找到方程的根。（2）方程 x2 2x 1 0 的解为 1，根据二次函数 y x2 2x 1的图像，可得原不等式的解集为 x| x R且x 1 。（3）判别式（ 1）2 4 2 0 ，所以方程无解，由二次函数的图像可得，原不等式的解集为 R。问题：请各位同学思考一下解一元二次不等式的步骤？第一步：求出方程 ax 2 bx c 0 的根；第二步：确定函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴交点的横坐标，画出函数图像；第三步：根据图像确定所求不等式的解集。例 1中涉及到的函数图像与 x 轴分别有 2个，1个，0个交点， 而交点个数不同，结果也非 常不同，函数

8、图像与 x 轴的交点个数是通过 控制的。由此可以得到：当 a>0 时一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的相互关系及其解法：x例 2. 解不等式：22x 5x40不等式的解集为2变式 1： 2x5x20不等式的解集为1 x|x或 x 22变式 2：2x2 25x不等式的解集为1 x| 2 x 22x25x20变式 3：3x213x100解：不等式2x25x2120 的解为 x或x 2 ，不等式 3x 213x 10 0 的解为2 21x 5 ，所以原不等式组的解集为 x| x或 2 x 5 。3 32结论： 做一元二次不等式的题目时， 能分解因式的就分解因式做， 如果不能， 可以根据

9、的符号确定函数的图像，根据图像确定不等式的解集；或者不能分解因式的，也可以配方做。例 3：已知不等式 ax 2 bx 1 0 的解集是 x|3<x<4, 求实数 a,b 的值。分析：一般地，解一元二次不等式时，什么时候会出现x 介于两者之间？只有当图像与 x轴有 2 个交点时， 才会出现 x 介于两者之间，且这两者就是一元二次不等式所对应的方程的根。故方程ax2 bx 1 0 的两个根为3，4.解：法一：代入法）方程 ax2bx1 0 的两个根为 3 ，4，2把 3， 4 代入方程 ax2 bx 1 0 ，可得：9a3b16a4b 110a 0 ，解得 12 0 b 712法二：利

10、用根与系数的关系）方程 ax2bx0 的两个根为3，4，所以，b24a(1)，解得12712(四)1.练习与反馈求下列函数的定义域：5.已知集合 M=x | x216，N=x|(x 2)(x 5) 0 ，则yx2 3x 4x |x4或x 12. 不等式4x2 4x 10 的解集是|x|x 123. 不等式x2 (x 1) 20 的解集是4. 不等式x2 5x 60 的解集是x| 1 x 61M N = x| 4 x 5 ， M N= x | 2 x 46. 若不等式 ax0的解集是 x| 1 x 1，则 a= -6 b=327.若函数 f (x)ax3 a 0 对于一切实数 x 恒成立，求实数

11、 a的取值范围？分析：根据4(3a) 0 得到 -6<a<2.8. 求不等式 (x-2)(x-a)<0 解：分析 :方程 (x-2)(x-a)=0 不知道哪个根大，所以要讨论，可分为 解：当 a<2 时，不等式的解集为当 a=2 时，不等式的解集为当 a<2 时，不等式的解集为x|2<x<a.变式：求不等式(x1)(x2m2 m 1)0的解集？解：当m21，即m<-1 或 m>0时，不等式的解集为x|1m2 m 1 ;m21，即m=-1 或 m=0时，不等式的解集为1，即-1<m<0时，不等式的解集为 x |2mmx 1的解集？

12、 的两个根为 2， a,a<2,a=2,a>2 三种情况讨论。 x|a<x<2;五、课堂小结1、一元二次方程二次函数 , 一元二次不等式之间有何关系2、如何求解一元二次不等式 ?3、这节课你学到了什么思想方法六、布置作业课本 69页， 1,2,3,4 ；课本 71页 1,2,3. 备用题：例 4. 已知函数 f (x) x2 2mx m 2若不等式 f(x)>0 对一切 x R 成立，求实数 m的取值范围？ 解：由题意得： f(x) 的图像开口向上，与 x 轴没有交点。 所以，(2m)2 4( m 2) 0 解得， -2<m<1，所以，实数 m的取值范

13、围为 -2<m<1.变 1. 若存在 x R ，使得 f(x)<0, 求实数 m的取值范围？解：由0 ，解得 m<-2 或 m>1.2变 2：若函数 g(x)x2 2mx m 2的定义域为 R，求实数 k 的取值范围？解：因为 g(x) 的定义域为 R,所以，对于任意的 x，都有 x 2 2mx m 2 0 恒成立，所以，(2m)24( m2) 0 ，解得，2 m 1 。结论：ax2 bxc 0( a0) 恒成立a00ax2 bxc 0( a0) 恒成立a00变题：若函数 f(x)=kx26kx (k8) 的定义域为 R，求实数k 的取值范围？分析：由题意得，对于

14、任意的x R ，都有 kx2 6kx (k 8)0 恒成立，2kx2 6kx (k 8) 0是形似一元二次不等式，所以要分k=0 和k>0 两种情况考虑。解：由题意得，对于任意的 x R，都有 kx2 6kx (k 8) 0 恒成立，当 k=0 时， kx2 6kx (k 8) 8 0 恒成立；当 k>0 时，( 6k)2 4k (k 8) 0，化简得，k 2 k0 ，解得，0k因为 k>0,所以 0 k 1因为 k=0 符合题意，所以 k 得取值范围为0k1。例 5：求解不等式x20x1解：方法一：不等式 x 2 0 等价转化为 x1x2x10(1)0或x2x100(2)，

15、不等式( 1)的解集为 x|-2<x<1 ，不等式(2)的解集为所以不等式x20 的解集为 x|-2<x<1 x1。分式不等式的定义：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式。x2方法二：分析：分式不等式0实际上就是说明分子 x+2 和分母 x-1 是异号的，抛开x1形式上的差异，在本质上与不等式 (x+2)(x-1)<0 是一样的。解：原不等式可转化为 (x+2)(x-1)<0 ，可得 -2<x<1 ，所以，原不等式的解集为 x|-2<x<1.变题：解不等式 x 2 0x1问题：如果是分式不等式 x 2 0 ，是不是可以转化为 (x+

16、2)(x-1) 0?x1分析：不等式在转化过程中要等价，而上述转化就是不等价的。因为在 x 2 0 中，只x1有分子 x+2 可以等于 0，而分母 x-1 不能等于 0。但在 (x 2)(x 1) 0 中，两个因式都可 以为 0.那应该怎么办呢？将这个分式不等式转化为整式不等式时， 应将分母不为 0 这一因素考虑在内， 因此分式不等 式 x 2 0 可等价转化为 (x 2)(x 1) 0。x 1 x 1 0对一元二次不等式教学设计的说明本节课是新授课， 首先我通过一个生活中的实例引入课题， 激发学生对本堂课的学习兴 趣。因为要学会解一元二次不等式，就要先通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数

17、、 方程的联系， 而一元二次方程、 二次函数与一元二次不等式三者之间的关系是本节课的教学 重点及难点。 这个突出重点， 突破难点的过程我是这么解决的： 请同学们解一元二次不等式 x2 2x 3 0 ？观 察 函 数 y x 2 2 x 3: 的图像探究下列问题：( 3) 是否存在 x 的值，使得 y>0, y=0, y<0无数个， 两个，无数个( 4) 当 x 为何值时，能使 y>0,y=0,y<02结合图像分析，当 x=-1 或 3 时， y x2 2x 3 0 ，所以，方程的解就是函数图像与x轴交点的横坐标。在 x 轴上方的图像都满足 y>0，所以 x2 2x 3 0 的解在两交点的两边，又因为图像与 x 轴交点的横坐标就是所对应的方程的解，所以它的解在两根之外，为 x<-1 或 x>3;在 x 轴下方的图像都满足 y<0, 所以 x2 2x 3 0 的解在两交点之内，也就是在所对应的 方程的两解之内，所以它的解为 -1<x<3.通过分为两个小问题一步步解决这个教学重点及难点，从而让学生学会解一元二次不等式。在这个过程中向学生渗透数形结合的思想方法， 数学思想方法是指数学科学在千百年的 发展过程中形成的提出、发现、论证和解决数学问题的思想体系、处理技巧与思维