第六章——振动

1、 6.1 6.1 简谐振动的描述简谐振动的描述 6.2 6.2 简谐振动的动力学简谐振动的动力学 6.3 6.3 简谐振动的能量简谐振动的能量 6.4 6.4 阻尼振动阻尼振动 （） 6.5 6.5 受迫振动受迫振动 共振（共振（ ） 6.6 6.6 同一直线上同频率的简谐振动的合成同一直线上同频率的简谐振动的合成 6.7 6.7 同一直线上不同频率的简谐振动的合成（同一直线上不同频率的简谐振动的合成（） 6.8 6.8 两个互相垂直的简谐振动的合成（两个互相垂直的简谐振动的合成（） 物体或物体的某一部分在一定位置物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动附近来回往复的运动 实例实例:

2、心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等1 机械振动机械振动平衡位置平衡位置 一一 简谐运动简谐运动6.1 6.1 简谐运动的描述简谐运动的描述 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解2 简谐运动简谐运动 质点运动时，如果离开平衡位置的位移质点运动时，如果离开平衡位置的位移x（或角位移（或角位移 ）按正弦规律随时间变化，这种）按正弦规律随时间变化，这种运动就叫运动就叫简谐运动简谐运动。振动的成因：振动的成因：回复力回复力+惯性惯性 弹簧振子的运动弹簧振子的运动cos()xAt简谐运动方程简谐运动方程简谐运动

3、方程简谐运动方程cos()xAt 振幅振幅maxxAtx图图AA xT2Tto)cos(tAx 周期、频率周期、频率2T 周期周期)(cosTtAtx图图A x2Tto21T 频率频率T22 角频率角频率 相位相位 相位相位:tt)()(0tt时，初相位初相位:)cos(tAx 相位的意义相位的意义: 表征任意时刻（表征任意时刻（t）物体振动物体振动状态状态. 物体经一周期的振动，相位改变物体经一周期的振动，相位改变 .22222dcos()cos()dxaAtAtt)cos(tAx由由得得:)2cos()sin(ddtAtAtxv简谐运动方程简谐运动方程简谐运动的加速度和位移成正比而反向简谐

4、运动的加速度和位移成正比而反向2ax 速度和加速度速度和加速度tx 图图tv图图ta 图图TAA2A2AxvatttAAoooT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAaT谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系A A: :振幅；振幅； ：角频率角频率; ; : :初相初相 简谐运动的简谐运动的三个特征量。三个特征量。)cos(tAx 以以 为原点的为原点的振幅矢量振幅矢量 的端点的端点在在Oxy平面内绕点平面内绕点O逆时针逆时针方向以角方向以角速度速度 匀角速转动匀角速转动时时，其端点在其端点在 轴轴上

5、投影点的运动为上投影点的运动为简谐运动简谐运动. .xAo二、相量图法二、相量图法匀速圆周运动与简谐运动匀速圆周运动与简谐运动xoAcos0Ax 0t0 x匀速圆周运动与简谐运动匀速圆周运动与简谐运动oAtt t)cos(tAxx)cos(2tAa2 tmvvxyOAt)cos(tAxnaaAmvsin()Atv2nAa 用相量图法画简谐运动的用相量图法画简谐运动的 图图tx 2cos()xAtT2cos()xAtT讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 （1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间两运动状态间变化所需的时间)

6、()(12tt12ttt)cos(11tAx)cos(22tAx三、相三、相 初相初相 相差相差：叫在时刻：叫在时刻 t 振动的振动的相（或相位）相（或相位）; t：t=0 时刻的相位叫时刻的相位叫初相初相Ax2Atobaat32AvAxAoAbt（2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表的简谐运动，相位差表示它们间示它们间步调步调上的上的差异差异（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）. .)cos(111tAx)cos(222tAx2121()()tt0 xto同步同步xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相tx 图图tv图图ta 图图TAA2A2AxvatttAAoo

7、oT)cos(tAx0取取)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAaT谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系例例 一质点沿一质点沿x轴作简谐运动，振幅轴作简谐运动，振幅A=0.05m，周，周期期T=0.2s。当质点正越过平衡位置项负。当质点正越过平衡位置项负x方向运方向运动时开始计时。动时开始计时。 （1）写出此质点的简谐运动表达式；）写出此质点的简谐运动表达式； （2）求在）求在t=0.05s时质点的位置、速度和加时质点的位置、速度和加速度；速度； （3）另一质点和此质点的振动频率相同，）另一质点和此质点的振动频率相同，但振幅

8、为但振幅为0.08m，并和此质点反相，写出这另一，并和此质点反相，写出这另一质点的简谐运动表达式；质点的简谐运动表达式； （4）画出两振动的相量图。）画出两振动的相量图。 解解 (1)取平衡位置为坐标原点，以余弦函数表示取平衡位置为坐标原点，以余弦函数表示简谐运动，则简谐运动，则A=0.05m， =2 /T=10 s-1。由于。由于t=0时时x=0，且，且v0 为确定初相为确定初相, 画出画出t=0时旋转矢量时旋转矢量的位置的位置2T由题知由题知0.24mA 2sT 解解: 1) 设振动方程为设振动方程为cos()xAtx opt=0 AM330cosxA振动方程为振动方程为:0.24cos(

9、)3xtm533 或由图得到由图得到2) 从从x = 0.12m, 且向且向x轴负方向运动的状态轴负方向运动的状态, 回到平衡位置所回到平衡位置所需的时间需的时间x AM5650.836tss op（1） 动能动能( (以弹簧振子为例以弹簧振子为例) ) )(sin21)sin(212122222ktAmtAmmEv6.6.3 3 简谐振动的能量简谐振动的能量22k1sin ()2EkAt总机械能总机械能221122kpEEEmvkx2km（2） 势能势能 线性回复力线性回复力是是保守力保守力，作，作简简谐谐运动的系统运动的系统机机械能守恒械能守恒. .O x Xm)(cos2121222pt

10、kAkxE（3） 机械能机械能222pk2121kAAmEEE22k1sin ()2EkAt简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图22p1cos2EkAt22k1sin2EkAt4T2T43T能量能量otTv, xtoTtAxcostAsinv221kAE0tx tv22200222001111cos241111sin24TTppTTkkEE dtkAtdtkATTEE dtkAtdtkATT简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线kEpExAA222p11cos22EkxkAtxO212EkABC 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度

11、为 ，求：求：kg 10.0m 100 . 12（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？2sm 0 . 4Aamaxs 314. 02T1s 20J 100.23（2）222maxmax,k2121AmmEv解（解（1）2maxAa已知已知2max2sm 0 . 4m 100 . 1kg 10. 0aAm，T；( (2) )maxk,E求求:( (1) )（4）pkEE 时时 J 100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m 105 . 0总能量

12、总能量E；（3）max, kEE J 100 . 23解解( (4) )何处动势能相等何处动势能相等? ?求求:( (3) )cm 707. 0 x已知已知2max2sm 0 . 4m 100 . 1kg 10. 0aAm， 设一质点同时参与设一质点同时参与两独立的同方向、同频两独立的同方向、同频率的简谐振动：率的简谐振动：11A1xxO2x2A2)cos(111tAx)cos(222tAx两振动的位相差两振动的位相差 =常数常数126.6 6.6 同一直线上同频率的简谐运动的合成同一直线上同频率的简谐运动的合成 两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成后仍后仍为为同同频率的频

13、率的简谐简谐运动运动)cos(212212221AAAAA)cos(tAx11A1xxOAx21xxx2x2A222112211coscossinsintanAAAAtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，kxxxto)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k21AAA)12(12kox（3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA21AAA加强加强减弱减弱小结小结（1）相位差相位差212k) 1 0( ， k（2）相位差相位差) 12(12k) 1 0( ， k6.

14、7 6.7 同一直线上不同频率的简谐运动的合成同一直线上不同频率的简谐运动的合成 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方同方向向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫加强时而减弱的现象叫拍拍. .tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx讨论讨论 , , 的情况的情况 21AA 2112合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分振幅振幅 振动频率振动频率212cos22AAt2)(21max2AA0minA2121(2cos2 )cos2 22xAtt拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率

15、）2212T121T12振动频率振动频率 拍频拍频2)(2112 一一 阻尼振动阻尼振动现象：现象：振幅随时间减小振幅随时间减小原因：原因：阻尼阻尼动力学分析：动力学分析：阻力系数阻力系数0dddd22kxtxCtxm阻尼力阻尼力vCFr6.4 阻尼振动阻尼振动角频率角频率振幅振幅固有角频率固有角频率阻尼系数阻尼系数0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtxmk0mC 2)cos(etAxt22022022T阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线tOxAA)0(tAtcose220)cos(etAxttAeotxabc三种阻尼的比较三种阻尼的比较 ( (c) )临界阻尼临界

16、阻尼220 ( (b) )过阻尼过阻尼 220 ( (a) )欠阻尼欠阻尼22012txcc t eecos()txAt22220012ttxc ec e0dd2dd2022xtxtx驱动力驱动力受迫振动受迫振动tFkxtxCtxmp22cosddddmk0mC2mFf tfxtxtxp2022cosdd2dd6.5 6.5 受迫振动受迫振动 共振共振驱动力的驱动力的角频率角频率 tfxtxtxp2022cosdd2dd)cos()cos(ep0tAtAxt2p22p204)(fA2p20p2tan共振共振)cos(ptAx22 2220pp()4fA 0ddpAtfxtxtxp2022cosdd2dd0pecos()cos()txAtAt 驱动力的角频率为某一定值时驱动力的角频率为某一定值时, , 受迫振动受迫