第三章力偶系

1、第三章第三章 力力 偶偶 系系作用于刚体上的一群力偶作用于刚体上的一群力偶FFd力偶和力是基本力学量，力偶系和力系是基本力系。力偶和力是基本力学量，力偶系和力系是基本力系。力偶力偶作用在刚体上大小相等、方向相反且不共线的两个作用在刚体上大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力系力组成的力系,力偶作用面力偶作用面力偶的两个力所在的平面力偶的两个力所在的平面力偶臂力偶臂二力作用线之间的距离二力作用线之间的距离力偶系力偶系通常表示为（通常表示为（F，F ）F1F2 3.1 3.1 力对点之矩矢力对点之矩矢力对刚体的作用效应使刚体的运动状态发生改变力对刚体的作用效应使刚体的运动状态发生改变移动效应移

2、动效应转动效应转动效应可用力矢来度量可用力矢来度量可用力对点的矩（力矩）来度量可用力对点的矩（力矩）来度量O : 矩心矩心h : 力臂力臂 点点 O 到力的作用线的到力的作用线的垂直距离垂直距离FOABh在平面问题中力对点的矩定义在平面问题中力对点的矩定义: 力对点的矩是一个代数量力对点的矩是一个代数量, 它的大小等于力的大小与力它的大小等于力的大小与力臂的乘积，其正负号规定为臂的乘积，其正负号规定为:力使物体绕矩心作逆时针转动力使物体绕矩心作逆时针转动为正为正, 反之为负反之为负MO(F) = Fh力矩的单位力矩的单位: Nm , kNm力矩的特点力矩的特点:(1) 矩心变化矩心变化, 则则

3、MO(F)也变化也变化(2) F 作用线通过矩心作用线通过矩心, 则则 MO(F) = 0 (3) F 沿作用线滑移沿作用线滑移, MO(F)保持不变保持不变3.1 3.1 力对点的矩矢力对点的矩矢FOABhMO(F) = FhFOABh容易看出容易看出= 2 OAB3.1 3.1 力对点的矩矢力对点的矩矢 平面问题中，力对某点的矩是力使刚体绕过矩心平面问题中，力对某点的矩是力使刚体绕过矩心 O 的的轴轴的转动，该的转动，该轴轴垂直矩心和力垂直矩心和力F 的作用线所在平面。的作用线所在平面。 空间力系中，力空间力系中，力 F 对刚体产生的绕某点对刚体产生的绕某点 O 的转动效应的转动效应取决于

4、三个要素取决于三个要素:(1)转动效应的强度转动效应的强度 Fh；(2)转动轴的方位，即力的作用线和矩心转动轴的方位，即力的作用线和矩心 O 所决定的平面的所决定的平面的法线方位；法线方位；(3)转向，即使刚体绕轴转动的方向。转向，即使刚体绕轴转动的方向。1.1.力对点之矩矢的概念力对点之矩矢的概念3.1 3.1 力对点的矩矢力对点的矩矢这三个要素可以用一个矢量来表示：这三个要素可以用一个矢量来表示：FOABh力对点之矩矢力对点之矩矢，表示为，表示为MO(F)，过矩心，过矩心O的的定位矢量定位矢量。矢量的模等于力与力臂的乘积矢量的模等于力与力臂的乘积Fh矢量的方位就是转轴的方位矢量的方位就是转

5、轴的方位矢量的指向根据右手规则由力矢量的指向根据右手规则由力F绕轴转动的方向确定。绕轴转动的方向确定。MO(F)3.1 3.1 力对点之矩矢力对点之矩矢2.2.力对点之矩矢的矢量积表达式和解析表达式力对点之矩矢的矢量积表达式和解析表达式（1）力对点之矩矢的矢量积表达式力对点之矩矢的矢量积表达式MO(F) r F rxi+yj+zk FFxi+Fyj+FzkMO(F)r F(yFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)k（2）力对点之矩矢的解析表达式力对点之矩矢的解析表达式MO(F)x= yFz-zFyMO(F)y= zFx-xFzMO(F)z= xFy-yFx力对点之矩矢在坐标

6、轴上的投影力对点之矩矢在坐标轴上的投影| r F |rFsinaFhFOABhMO(F)r ra3.1 3.1 力对点之矩矢力对点之矩矢3.3.力对点之矩矢的基本性质力对点之矩矢的基本性质 作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点O的转动效的转动效应可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别对应可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别对该点之矩矢的矢量和。该点之矩矢的矢量和。3.1 3.1 力对点之矩矢力对点之矩矢MO MO(F1)+ MO(F2)MO MO(F1)+ MO(F2)+ MO(Fn)MO MO(F1)+ MO(F2)+ MO(Fn

7、)= MO(F)空间力系（空间力系（ F1, F2 ,Fn ）对矩心）对矩心O之矩矢的矢量和之矩矢的矢量和:平面力系（平面力系（ F1, F2 , ,Fn ）对矩心）对矩心O之矩的代数和之矩的代数和4.4.合力矩定理合力矩定理 任意力系（任意力系（ F1， F2Fn ） 合力合力FR对任一点之矩矢等于对任一点之矩矢等于力系中各分力对同一点之矩矢的矢量和力系中各分力对同一点之矩矢的矢量和3.1 3.1 力对点之矩矢力对点之矩矢MO(FR) = MO(F1)+ MO(F2)+ MO(Fn) = MO(F) MO（FR）= MO(F1)+ MO(F2)+ MO(Fn) = MO(F) 平面力系（平面

8、力系（ F1， F2Fn ）对力系平面上的矩心）对力系平面上的矩心O之矩之矩是代数量，合力矩定理可表示为：是代数量，合力矩定理可表示为： 3-2 3-2 力对轴之矩力对轴之矩一、力对轴之矩的概念一、力对轴之矩的概念二、力对坐标轴之矩二、力对坐标轴之矩三、力对点之矩与力对轴之矩的关系三、力对点之矩与力对轴之矩的关系3.2 3.2 力对轴之矩力对轴之矩一、力对轴之矩的概念一、力对轴之矩的概念力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴与平面力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴与平面交点之矩。交点之矩。力对轴之矩是力对刚体产生的绕轴转动效应的度量。力对轴之矩是力对刚体产生的绕轴转动效应的度量

9、。力对轴之矩是代数量，正负号按右手法则确定，即拇指指力对轴之矩是代数量，正负号按右手法则确定，即拇指指向与轴正向一致为正，反之为负。向与轴正向一致为正，反之为负。力的作用线通过某轴或与轴平行时，此力对该轴之矩为零。力的作用线通过某轴或与轴平行时，此力对该轴之矩为零。一、力对轴之矩的概念一、力对轴之矩的概念3.2 3.2 力对轴之矩力对轴之矩二、力对坐标轴之矩二、力对坐标轴之矩Mz(F )= - y Fx + x Fy= Mz(Fx )+Mz(Fy )FyFxFzxzyOFAMx(F )= - z Fy + yFz= Mx(Fy )+Mx(Fz )My(F )= - x Fz + z Fx= M

10、y(Fz )+My(Fx)因此有因此有: :Mx(F ) = yFz - zFyMy(F ) = zFx - xFzMz(F ) = xFy - yFx3.2 3.2 力对轴之矩力对轴之矩MO(F)x= yFz-zFyMO(F)y= zFx-xFzMO(F)z= xFy-yFxMx(F) = yFz zFyMy(F) = zFx - xFzMz(F) = xFy - yFx 力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对该轴之矩该轴之矩三、力对点之矩与力对轴之矩的关系三、力对点之矩与力对轴之矩的关系力对点的矩力对点的矩力对轴之矩力对轴之矩MO(F)x=

11、 Mx(F) MO(F)y= My(F) MO(F)z= Mz(F) 即即:3.2 3.2 力对轴之矩力对轴之矩FFd力偶矩矢力偶矩矢 M :力偶矩矢是力偶对刚力偶矩矢是力偶对刚体产生的绕任一点体产生的绕任一点 O转动效应的度量，与转动效应的度量，与O 点位置无关，力偶点位置无关，力偶矩矢是自由矢量矩矢是自由矢量 M = MO(F)+MO(F) =rAF + rBF =rAF - rBF=(rA-rB)F =rBA FOBrBArArBA 3-3 3-3 力偶矩矢力偶矩矢 3-4 3-4 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质两个力偶的等效条件是它们的两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等力

12、偶矩矢相等一、力偶的等效条件一、力偶的等效条件力偶和力是基本力学量，力偶系和力系是基本力系。力偶和力是基本力学量，力偶系和力系是基本力系。性质一、力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），因性质一、力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），因 此也不能与一个力平衡此也不能与一个力平衡; ;性质二、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平性质二、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平 行平面，而不改变对刚体的作用效果，力偶矩行平面，而不改变对刚体的作用效果，力偶矩 矢是自由矢量矢是自由矢量; ;性质三、保持力偶转向和力偶矩的大小（力与力偶臂的性质三、保持力偶转向和力偶矩的大小（力与力偶臂的 乘积）不变

13、，力偶中的力和力偶臂的大小可以乘积）不变，力偶中的力和力偶臂的大小可以 改变，而不改变对刚体的作用效果。改变，而不改变对刚体的作用效果。二、力偶的性质二、力偶的性质3.4 3.4 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质力偶对物体的作用效应是引起物体的转动力偶对物体的作用效应是引起物体的转动 力偶不能合成一个力力偶不能合成一个力, 或用一个力来等效替换或用一个力来等效替换; 力偶也力偶也不能用一个力来平衡。因此不能用一个力来平衡。因此, , 力和力偶是静力学中两个基力和力偶是静力学中两个基本要素本要素力偶矩力偶矩:力偶的两个力对其作用面内某点的矩的代数力偶的两个力对其作用面内某点的矩的代数和和

14、FdFOabMO(F , F) = MO(F )+MO(F)=FaOFbO=F (aObO)=F d3.4 3.4 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质因此力偶矩就是力因此力偶矩就是力 F 和力偶臂和力偶臂 d 的乘积的乘积记为记为: M (F , F) 或或 M单位单位: Nm 或或 kNm , 符号规定符号规定: 逆时针为正逆时针为正, 反之为负反之为负M = F dM 为正为正MM 为负为负MMMMM3.4 3.4 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质 只要保持力偶矩的大小和转向不变只要保持力偶矩的大小和转向不变, ,力偶的位置可在其力偶的位置可在其作用面内任意移动或转动作用面内

15、任意移动或转动, , 还可以任意改变力的大小和力臂还可以任意改变力的大小和力臂的长短的长短, , 而不影响该力偶对刚体的效应而不影响该力偶对刚体的效应力偶的三要素力偶的三要素: :力偶的大小力偶的大小, , 力偶的转向力偶的转向, , 力偶的作用面力偶的作用面 因此因此: :3.4 3.4 力偶的等效条件和性质力偶的等效条件和性质 3-5 3-5 力偶系的合成力偶系的合成 两个力偶合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩两个力偶合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶力偶矩矢的矢量和，即矢等于此二力偶力偶矩矢的矢量和，即 MRM1+M2 力偶系合成的结果为一个合力偶，合力偶的力偶

16、矩矢等力偶系合成的结果为一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于力偶系力偶矩矢的矢量和，即于力偶系力偶矩矢的矢量和，即 MRM1+M2+MnMMRx M1x+ M2x+MnxMxMRy M1y+ M2y +MnyMyMRz M1z+ M2z +MnzMz合力偶矩矢的大小和方向余弦分别为：合力偶矩矢的大小和方向余弦分别为： RzRyRxzyxMMkMMMjMMMiMMMMM )cos()cos( )cos(,R,R,R222R 平面力偶系合成的合力偶，其力偶矩则等于力偶系平面力偶系合成的合力偶，其力偶矩则等于力偶系各力偶矩的代数和各力偶矩的代数和即即: MRM1+M2+MnM3.5 3.5 力偶系的合成

17、力偶系的合成 3-6 3-6 力偶系的平衡条件力偶系的平衡条件 作用在刚体上的力偶系可合成一个合力偶，力偶系作作用在刚体上的力偶系可合成一个合力偶，力偶系作用下刚体平衡的必要充分条件是合力偶矩矢的矢量和等于用下刚体平衡的必要充分条件是合力偶矩矢的矢量和等于零。零。M = 0Mx= 0 My= 0 Mz= 0 即即:平面力偶系平衡方程只有一个平面力偶系平衡方程只有一个MR M M1+M2+Mn0M=0即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零平面力偶系的合成平面力偶系的合成F4F4F3F3F3 = M1 / dF4 = M2 / dF = F3F4M = F d =

18、 (F3F4) d = F3 dF4 d = M1M2 设在同一平面内有两个力偶设在同一平面内有两个力偶(F1,F1 )和和(F2,F2 )，它们的，它们的力偶臂各为力偶臂各为d1和和d2， 力偶的矩分别为力偶的矩分别为M1和和M2 , 求其合成结果求其合成结果F1F2F2F1d1d2ABdABFF d3.6 3.6 力偶系的平衡条件力偶系的平衡条件 平面力偶系的各力偶可以合成一个合力偶平面力偶系的各力偶可以合成一个合力偶, , 合力偶矩合力偶矩等于各力偶矩的代数和等于各力偶矩的代数和M = M1M2Mn= Mi（二）平面力偶系的平衡条件（二）平面力偶系的平衡条件 Mi = 03.6 3.6 力偶系的平衡条件力偶系的