专题13 平方根、立方根、实数压轴题八种模型全攻略（原卷版）

专题13平方根、立方根、实数压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一利用算术平方根的非负性解题】 1【类型二利用数轴化简根式】 2【类型三求算术平方根的整数部分和小数部分】 4【类型四与算术平方根有关的规律探索题】 5【类型五算术平方根和立方根的综合应用】 8【类型六实数的大小比较】 10【类型七程序设计与实数运算】 11【类型八新定义下的实数运算】 13【过关检测】 14【典型例题】【类型一利用算术平方根的非负性解题】例题：（2023秋·北京丰台·九年级北京丰台二中校考开学考试）若，则．【变式训练】1．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）若a，b为实数，且，则．2．（2023春·河南·七年级校联考阶段练习）已知x，y满足，求的算术平方根．【类型二利用数轴化简根式】例题：（2023春·云南曲靖·七年级校考期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：．【变式训练】1．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）已知点在数轴上表示的数的位置如图所示，化简2．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知实数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的结果为．【类型三求算术平方根的整数部分和小数部分】例题：（2023春·辽宁大连·七年级校考阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）的整数部分是______．小数部分是_______．2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．【类型四与算术平方根有关的规律探索题】例题：（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：①已知，则；②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝；(3)试比较与a的大小．当时，；当时，；当时，．【变式训练】1．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）观察表格回答下列问题：a…0.00010.01110010000……x1y100…(1)表格中，．(2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题：①已知，则．②已知，若，则a＝．2．（2023春·广东东莞·七年级东莞市东莞中学校考期中）（1）填空：__________，__________；__________，__________．（2）请按以上规律计算：①；②．（3）已知，，用含，的式子表示．【类型五算术平方根和立方根的综合应用】例题：（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分．(1)求和的值；(2)求的算术平方根．【变式训练】1．（2023秋·甘肃定西·七年级校考期末）已知的两个平方根分别是，的立方根为2．(1)求的平方根；(2)若的算术平方根是3，求的立方根．2．（2023·浙江·七年级假期作业）已知：的立方根是3，的算术平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求的平方根．(2)若的整数部分为m，的小数部分为n，求的值．【类型六实数的大小比较】例题：（2023春·广东惠州·七年级统考期末）比较大小：______，______；【变式训练】1．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）比较实数大小：______（填“”、“”或“”）．2．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）比较大小：_____．（填写“”、“”或“”）【类型七程序设计与实数运算】例题：（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________．【变式训练】1．（2023秋·七年级单元测试）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是____________2．（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）按如图所示程序计算，若输入的x为，则输出结果为___________．【类型八新定义下的实数运算】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）在正实数范围内定义一种运算“”：当时，；当时，．则方程的解是___________．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知实数m，n满足，则的值为（

）A．3 B．﹣3 C．0 D．12．（2023春·江西南昌·七年级校考期中）下列等式正确的是（）A． B． C． D．3．（2023春·河南漯河·七年级统考期中）若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（

）A． B． C． D．5．（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）已知实数，若互为相反数，互为倒数，，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）比较大小：．（填“>”“<”或“=”）6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考阶段练习）设a是的整数部分，b是的小数部分，则，．7．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）有一个数值转换器，原理如图：

当输入的时，输出的y等于．8．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考期中）实数，，在数轴上的对应点如图所示，已知，化简．9．（2023春·甘肃定西·七年级统考期中）数学小组的同学在研究数的变化规律时，得到如下的等式：，则第个等式是.10．（2023秋·四川绵阳·八年级统考开学考试）已知：，当，取不同的值时，也有不同的值，当最小时，的算术平方根为．三、解答题11．（2023春·安徽池州·七年级统考期中）已知的立方根是，，是的算术平方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．12．（2023春·河南商丘·七年级统考期中）如图一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．(1)求的值；(2)在数轴上还有、两点分别表示实数c和d，且有与为相反数，求的平方根．13．（2023·浙江·七年级假期作业）如图是一个按运算规则进行的数值转换器：(1)若输入的x为16，则输出的y值是；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是；(3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值．14．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）阅读下列解题过程：；；；……(1)___________，___________；(2)观察上面的解题过程，求（为自然数）；(3)计算：．15．（2023春·湖北黄冈·八年级校联考期中）观察下列各式及证明过程：①；②；③．验证：；．（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．16．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：