关于晶体衍射的劳厄方程和布拉格反射公式的关系

1、关于晶体衍射的劳厄方程和布拉格反射公式的关系兼与张若森老师商榷上海交通大学应用物理系严燕来2424摘要 豪文对大学普通扬歿课找中不介毎劳尼方催的 悄况下4何阐明布拉格反射旳包含的晶体衍射图象作 了讨论.狂谒所有原子瘁本与衍射it«,从而避电低 年纽学生中杈易产生的将布拉格反射混闻于人射表在 品体哀囲作几何尤孚式的反射的出而厶介珞戴獵 孫一盘末电子析射实脸时，又应注意阐明低能电子衍 射与X射线疔JH的异同以便对二血与三维衍射忙以 区别、民不致引起擬念上的i&fi-.在大学普通物理学的教材中甘遍介绍X射线衍射 结晶学的基本知识，布拉格反射公式以其表达形式简 洁,便于想象记忆而被选

2、作入门之用，但也正是这一 优点往往弓I起学生的误解，将布拉裕反射理解为在晶 体表面的几何光学反射.以为布拉格公式涉及的密勒 指散为(M加晶面就是晶体表面.因此.澄淸布拉格公 式的意义与作用，对普通物理教学有着不可歲缺的实 际意义.张若森老师发表在大学物理1988年10月 号上的晶体衍射中劳厄方租和布拉辂方程的一致性 一文(以下简称张文)显锻已经注意到这一何题但不 得不指出张文本身又夹杂了一些含混不清.似是而非 的概念.本文试图阐朋晶体衍射的劳厄方程和布拉松 反射公式的关系.兼対张文有关内容作必要的评论与 商植.一、布拉格反射公式可看作是劳厄方程的另一种寰述首先必须指出.劳厄方程与布拉格方程的一

3、致性 是理论匕早已确立.并可在I午多基础教材和专著中找 到的.张文试图通过对戴维森-盖末电子衍射实验的 分析来论证这种一致性反会使读者看不到这两个方程 本质上的联系，溟以为直到电子衍射实验的出现.甚 至宜到张文的发表才将其内在联系揭示出来.事实上，劳厄方程规定了衍射扱大的条件，这就 超晶体中所有的原子对人射朿的散射波都在衍射板大 方向作相长干涉，如图I所示，图中怎与火分别代表 入射波矢与散射波矢対弹性散射，侶心如令So及 $分别为沿怎及*方向的®位矢氐則纵=%久* =£久其中2为波长罔中原点O为一原子位罰 Ri 则为另一原子4的位矢由图可见.如s为衍射极大BOCO=R( (

4、_ » ) + 旳 s =力 J 即比 (s-So )=刃 V(I)U )式即为劳厄方程.其中”为整数.上式也可用波 矢改兮成比伙一心)=兴'(2 )矩(门式中.冋泛指遍及晶体内所有原子的位査 矢SL因此是可变的.(1)式的物理克文是：当来自所 有原子“的散射波彼此的程差在某一方向(s)都是波长 的整数倍时.即所有的散射波都发生相长干涉时.才 会在这一方向产牛衍射极大.可见.勞厄方稈十分清 楚地用数学悟言描述了波动光学的衍射现象.同样, 在(2)式中也要求对所有的位矢冃都成立.但与所有 冈的标就积均为整数的倒空何矢量必为-倒格矢，即 应有k-knK(3)式中Kha * + k

5、b+ lc"是密勒指数为比归)的晶面放所对应的倒格矢.kJ为三个互质整数，a：和c为倒格子基矢.（3）式 可U用几何方法表达.如图2所示图中女与 组成一等腰三角形.由图显见kst0= £ 八心打（4 ）式中0为人射波矢心与散射波矢*时“Kw的垂直平 分面M的掠角.Kw为倒格矢Kw的长度、4为正整 数.ABKW垂直.因此可视为与晶面族（族/）平行. 令如="K加（5）对立方晶系.Ki/u + kJ+lk ）/a.a为晶格常数. 因此血尸S + Q + ”（6）这里应当注意除简立方外.上式的%曲非面间距, 因为上面的讨论实际匕未涉及处于晶胞面心或体心等 处的原子.将（

6、5式代入（4试、并注意k=l刀.，则得2dfiin0=nX（7）这就是布拉格反射公式.由图2可见衍射极大的方向, 即*的方向与入射束心方向之何的关系宛如入射束 在与晶面族（力H）平行的裁面上作几何尢学反射一般.但从上面的讨论我帕知道，布拉格反射是所有原 子的敬射波作相长干涉的结果.与几何光学反射亳无 物理本质上的联系.而tlAB完全可以不与晶体的实 际表面平行，更不必是晶体衣面.值浮指出的是由于 绝大多数教材都取图2的几何布局.即AB水平放置. 根易使学生联想几何光学的概念，误以为是聶体表 面，甚至造成衍射极大方向遵从反射定（啲假象.不妨提 薩学生注意一个明显的廉实抑或可以有效地避免这种 误解

7、，即当入射波长给定时只有当0满足（7剛才有布 拉格反射，而几何光学的反射在任何入射角都能出现 更遨耍的是.上面的甘论表明.布拉格方程（7）完 全可由劳厄方程（1 ）推得.因此可看作是（1）式的另一 种表达方式.其优点是可以越助于几何光学中的反射 概念来帮助记忆衍射极大出现的条件.不幸的是这- 优点可能怦随着丧失对晶体衍射现象物理本质的认识 和理解.而劳电方程却使衍射极大的物理本质得以完 芙体现.弄明白劳厄方程与布拉格方程之何的这种关 系无疑将有助于该段教材的教学处理.可见，张文对上述两个方程一致性的论述至少也 是蛇足之举.张文作者将其文中（4）式称为劳厄方程、 其实这个式子恰恰也可以看作并=1

8、的一级布拉格反 射公式，只務注倉仃）式中的砂与人射线和晶面“H） 的法线之间的夹角互余.并用本文（6）式算得的血代 入即可.二. 戴维森-盖末实验是低能电子衍射（LEED）的 雏型1925年5月14H的戴维森-盖未电子衍射实验 背次证实了微现粒子的波性.这杰出成就使他们氏 享1937年的诺贝尔物理学奖.因此.普顶物理教材 菸以戴维森一葢未实验为例说明电f的波动性.4 强电子衍射与X射线衍射的相似性.其实.该实验 的科学成就远不止于此它还是現代研究固体表面的 低能电产衍射的雏型.张文忽略了低能电子和X射线 与材料相互作用的空间范围有较大的差异，套用三维 反射球的方法来分析戴维森-盖末实酚是很不妥

9、当的.在X射线衍射实验中.由于原子对X射线的散射 故两很小.X射线的买际令减很少.可以深入至晶体 内部.卯晶体中的所有原子都可能孝勺对X射线的衍 射过稈.由于压F排列的周期性.晶体构成了 X射线 的三维光栅.这也就是（】）式中冃涉及晶休中所有原 产的原因.可见.在通常的x射线衍射实验中我fn遇 到的是一个三维问题.燃而电子的敵射蔽面随能呈的降低而增加.任低 能范围（10500eV）内.电子对金属材料的穿透深 度仅为5 10AH, 仅为X射线穿透深度的千分之儿 （以平均自由程i十）.而載维森-盖末实验中入射电F 的能肚任lOOeV匕下（介绍该实验时取典型值54eV）, 可见只能涉及邻近表面的极少

10、几层原子.所以.当 我们谈论这一实验时实际匕面对的是一个二维问題. 鉴于此、LEED已成为当代确定表面结构不可或缺的 常规手段.而戴维森-盖末的实验实可视为现代LEED 的开山最祖事实上.张文中所讨论的问题对应于一个并不复 杂的二维计算.张文中计貝的5（r反射极大方向乃对 应于鎳晶体（111）茨面的（10）电子衍射東，这里用两个 搭数（躲）来标记二维衍射束.与三维悄形相似，这两 个指数也直接相应于二维龙面倒格矢.图3为m（n廉面的原子排列情况和相应的正24图4倒搭子二维原胞基矢.a"为正格子基矢为询 格子基关.由二维劳厄方程可以得到.如满足汗一*Q叽=叭18 就会出现衍射极大，即出现

11、LEED束斑式中 为衍射束与入射束的波欠差在平行于表面方向的分陆, 而卩卜严ha + kb*(9 )则为平面二维倒格矢.对戴维森一盖耒实验在正入射情形可采用图4 的反射球来讨论.图中L4平行于晶体表面.O为二 维倒格子原点.图中垂玄线均箱过倒搭点(如(亍0), (T 0K 0 0人(1 0人(2 (M等)且垂直于晶体衣 面.称为倒易棒国图中OC = A=1为反射球半轻 7为人射电子的波长.从球心7点引矢虽到任一倒易 椿与反肘球上羊部的交点.例如图中的匕就得到满足 (8 )式要求的LEED束的方向.在图中取水平轴沿倒搭子基矢(即巴訂的方向 由图可见.a = sin-,( IPiol A) =si

12、n"l( la' U)= sirT】U/) =L67 AAaw=0.4641A 入可得50 °50 :与实验值50极为 F可见张对 的衍射束日卩LEED(10束.三. 张文中还存在若干具体问题蒲要遗清，现择要加 以分析张文试图通过作反射球的办法求出布拉搭反射面. 众所周知，与衍射面指数相应的倒格矢K的两个瑞点 都在反射球面上.通常K的起点取作倒格子原点.终 点也必为一倒林点.但在张文的图4中.O为倒格点 (000 )而人与P2均不是倒格点张殳以几与耳在 倒空何内的坐标去确定相应的衍射面指数魚与 (h2k2t2:就显得更无道理了.因为B和匕不是倒恪点、 OPOP1也就

13、不是倒格矢.并不满足(3)式的耍求. 即使就张文图4本身而论.作者得出几的坐标(以l/a 计)为(1.33, 133, 331 h 巴的坐标为(2.65-254).67 h亦知灰不是倒格点.张文更将此坐标莫名坏妙地放大 100假 遂将密勒指数定为U33. 133.331265. 265.67 ),如此的面指数已属骇然，而在用张文(4)式计算 波按时又将件的(AW)改还为(L33, L33, 3.3L )着 实将读者引人迷途、苦思不得其解.张文的第三节中也作了面间距的计算.认为a叼二 a/、；"卩就是晶面族Mh)的面何距.其实如本 文以上所述，这一公式并不能一般地用来计算面心立 方晶格

14、的面间距.一个简单的例卜艮、对于面心比方 和体心立方.100)晶面间距都是a而若按上式计 算则会得出面间距为a的错渓结果.张文并进而据其a 式il算波上且又用其结果 (167入)来为劳厄方程与布拉格方程的致性作证, 至少也是没冇道理的.张文第二部分的蚁后一段是根 据其从图4中测故出的OP和OP.的长度来计算久值. 而卒实匕.张文在图4中正是以K=/X为已知半径 作反射球的.这种以乘法验算除法式的连环套哪有不 自圆其说之理？！综上所述.在与张若森老师商榷的同时.本文着 意耍说明在普通物理敦学中需谨馆处理的几个问题： (1)在一般普物教材不介绍芳厄方程的情况下.阐 明布拉格方程中不显见的晶体衍射的

15、物理机制与图象. 使初学者不致产生布拉格反射就是晶体表面几何光学 反射的错觉.12 )在介绍电子具有波性的开拓性实验戴维森- 盖末实验时.既要強调电于也能象X射线一样受晶搐 衍射的波动性质、又要对低能电子衍射和X射线衍射 所对应的二维和三维效果加以区别.(3)张文中存在的含混不清的观点应千澄淸.以便基础 物理教师准确把握该设教材的处理.V当采用密勒指数(林:"标记品面吋倒格矢表示为 刃+好J的形式ab%与g“为倒格子基矢.此 时如将坐标原点O盘于某一晶胞的顶角期严格说来，凤只 是不同品胞中处干相应的顶角上原子的脸矢，而不涉及处f 品胞体心成面心等处的原子即Rf-pa + gb + r

16、c、令 6. c为晶 枪基矢，而pv"均为整数参考文献J.B,Pendry. Low Energy Electron DraciSnN Academe PM 1974)2程守洙江Z永.昔通物理学(3h岛等教育出版社.1986 年.第 4 版.167 171(下转15页)dW(F)一)/dr(22)dW) _ eJ dT =右由(22 )和(23 )式解得 BB = e> (/+ 1 )于是得到另一方面.(23)(24)匚能基态能駄耳r)所以.£?| =耳一>(31)干拦我们求得了心 的能盘两个本征值忌“和£；-'= 耳>这样的步骤町以重复

17、进行.毎一步骤相当作 变换5帚羊严e+ 1d字(门=dr1；=人_|+1=八=/+"八 忱=0 12 ) 于是wm到了&一的全部分立能级，第“个能级的 能斎值为：玲4 u+TF -而1存 H話市125)人(门釣对偶势V¥r为/,)= "2”)十警.諾鼻一羊+ (Z+l )(/+2)(26)将V± (rM弋入H土中得(7+TF(30)A I r 2e2 t 1(1+1 ),/H 七7_+-_r、 “£ (/+1 )仃+ 2)(P 一 丁+? +(27)若令/严/+1、则(28 )式可以写成(29) 如粗>0“ 一的基态能钛取新等于零

18、.这样求得了 L的眾低能级，它等于我门已经假定了除方-有能量为零的基态外，其余的 亂 和乩 具有相同的能诺，因此.£7)口下只有 式中4=f+几41 称为主陆子数.由方程(19)和 '看出匕(门与方.中(r) 之何差别为 £ (/+ 所以 匕(门的第”个能级 的能毀值为缶=昭 2(1+ 1 V 2r '(33)这就是氢頻子能鼠本征值，这9宜接求解方程(2】)所 得的结果完全一致.凰子力学中超对称方法.不仅可以简单方便地求 得匪駅本征值谱.而且还可以求得能试本征函数这何 題本文不再讨论.参考、文獄1 T育邠.真蚤林.犬学物理中的前沿问題兰州大学 出版社(1987). 6