1996年A题最优捕鱼策略

1、1996年a题最优捕鱼策略a题最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的口然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度, -种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的询提下，追求最人产量或最佳效益，考虑对某种鱼（什题鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄色，,4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5. 07,11. 55, 17. 86, 22. 99（克），各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）,这种鱼为季节性 集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109x10"个），3龄鱼的产卵暈为这个数的一 半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成

2、活为1龄鱼， 成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比为1.22x10ll/1.22x10n+n）渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个丿j内进行捕捞作业。如果每年投 入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群 条数成止比，比例系数不妨称捕捞强度系数，通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞 3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数z比为0. 42:1,渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场屮各年龄组鱼群条数不 变），并fl在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）2）某渔业公司承包这种血的捕捞业务5

3、年，合同要求5年后衍群的牛产能力不能受到太大 破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122 ,29.7 , 10. 1 , 3.29（x10?条）， 如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。a题最优捕鱼策略一、假设1、只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出。2、各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。3、所冇的鱼都在每年最后的卩q个月内（后1/3年）完成产卵和孵化的过程，孵化成活的幼 鱼在下一年初成为一龄的鱼进入一龄血组。4、产卵发生于后四个月之初，产卵期鱼的口然死亡发生于产卵之后，5、相龄两个年龄组的鱼群在相邻两年z间的变化

4、是连续的，也就定说，第k年底第i年龄 组的鱼的条数等于第k+1年初第i+1年龄组鱼的条数。6、四龄以下的鱼全部死亡7、采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率止比于捕捞时各年龄组血群中血的条数，比例系 数为捕捞强度系数。一、模型1、符号x1（t）t时刻i年龄组的鱼群的大小r鱼的平均口然死亡率fii年龄组鱼的产卵率t时间（以年为单-位）wii年龄组鱼的平均垂量qii年龄组的捕捞强度系数2、数据r=0.8(fbf2,f3,f4)=(0,0,0.5a,a), a=1.109x105 (wbw2,w3,w4)=(5.07,11.55,17.86,22.99)(qi ,q2 ,q3 ,q4)=(0,0,0.4

5、2e,e),称 e 为捕捞努力量 f=2/3 (产卵月份)。3、模型1)无捕捞时的曲祥的增长 dxj(t)/dt=-rxi(t)(假设 1,2), kwtvk+l,i=l,k=0,l,2，; 焉(0)=&必汁 1 (k+ l)=xj.(k+1 )=lmt(k+i xj(t)(假设 5, 6), x i (k+1 )= 1.22 x 1011 x°(k+ ；)/ 1.22 x 10 n+xo(k+ i), x0(k+ )=0.5ax3(k+ )+ax4(k+ )(假设 3,4)2)固立努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞暈的模型由题设知捕捞期为kwtvk+ 1故有模型dxj(t)/dt

6、=-rxj-qi(e)xi, kwtvk+ i(1)dxi(t)/dt=-rxj k+ ； wt<k+1(2)xi(o)=xi,xi+1(k+1 )=xj.(k+1) i=l ,2,3, k=0,l,2；(3)x i (k+1 )= 1.22 x 1011 x0(k+ )/ 1.22 x 1011 +x0(k+ 1),(4)x°(k+ i )=0.5ax3(k+ i )+axdk+)(5)鱼群的增长：求解方程组(1)(2),并注意到连续性条件(3)可得 xw(k+l)二s h(e)xi(k), i=l,2,3(6)x (k+1 )= b/(b+xo(k)x()(k)(7)x0(

7、k+ i )=0.5as2/3 h(e)x3(k+ i)+ as2/3 l4(e)x4(k+ i)(8)其中s=e r=0. 4493 , li(e)=12(e)=l,13(e)=e 0 42te= pe3 ,14(e)=e_te=pe4p3= e0,42eo 28=0. 7558, p4=e _ 3 =e-2/3=0.5132a=1.109x 105 b=1.22x1011捕捞量单位时间笫i年龄组鱼的捕捞量(条数)yi (t)=qi (e) xi (t), kwtvk+ ；第k年全年(八个月) 第i年龄组鱼的捕捞量(条数)yi(k)二 (t )dt = jqj( e)xj(t )dt =q1

8、(e)/(r+qi(e)( 1-s)pi匕)&(k)第 k 年总捕捞量(重量)y (k) =w3y3 (k) +w4y4(k)(9)3) 可持续捕捞的模型可持续捕捞的概念意味着，如果每年通过口然死亡，捕捞和产卵繁殖补充，使得色群能 够在每年年初捕捞开始时保持平衡不变,那么这样的捕捞策略就可以年复一年地一百持续下 去，因此可持续捕捞的鱼群应该是模型(6) (7) (8)的平衡解，即模型不依赖于时间的解 x；由(6) (7) (8)有 x*i+i=sli(e) x i=l,2,3或 x*2=sx*i,x*3=s x*2= s2sx*j , x*4=sl3(e)x3*=s3pe3x*i(10

9、)xoas27313(e)x*3+as2/3;14(e)x*4(h)x*尸b/(b+x*o)x*o(12)利用迭代关系(10), (11)中的x*°可以写为x*0=0.5as j 13(e)x*3+ as 14(e)x*4=(0.5+spr4)as8/3pe3x*i代入(12)式可得x*1=b/(b+x*o)x*o=b/(b+ (0.5+spe4) a严 pe3 x*i)(0.5+spe) as8/3 pe3 x*io关于x竹求解这个非线性方程，有 x*!=b 1-14(0.5+ sph4)as8/3pe31=bl-l/b(e) 其屮b (e) =(0.5+ spr4) as8/3p

10、e3,当b (e) w1时有xi wo,这意味着捕捞的强度过高致 使鱼群不复存在。满足这个条件的努力量e。将称为过度捕捞努力量。我们将在eveo的范 围内讨论最优捕捞的问题，其中eo=31.4是方程b (e) =1的解。可持续捕捞量在可持续捕捞的条件下，第i年龄组的捕捞量(条数)是yi=lq1(e)/(r+qi(e)(l-s1pei)x*i整个血群的年捕捞量(重量)是y (e)二w3y3+w4y4=w3q3(e)/(r+q3(e)(l- s 1 pe3)x*3+ w4q4(e)/(r+q4(e)(l- s ' pe4)x*4= w3f0.42e/(r+0.42e)(l- s 1 pe3

11、)s2+w4 e/(r+e) (1- s 1 pe4)s3 pe3x*i= w30.42e/(r+0.42e)(l- s 1 pe3)+ w4 e/(r+e) (l-s 1 pr4)s pe3e s2bl-l/b(e)式(13)给出了年捕获量y和捕捞努力量e之间的关系，它是y与e之间的一个非线性关 系，用计算机可以搜寻到使得捕获量达到最大的努力量这就是最优可持续捕捞的努力 量。由此可以求得,最大捕捞量(重量)y*=y (eq可持续扌甫捞鱼群的人小(条数)x*i x*2 x*3x*4各年龄组鱼群的捕捞率c1 =c2=0ci=yi/x*i=qi(e)/(r+qi(e)j (1- s 1 p% i=

12、3,4三、可持续捕捞的数值结果最优可持续捕捞的努力量e*=17.36最大年捕捞量(重量)y*=38.87万吨可持续捕捞鱼群的大小(条数)x*i =119,601,343,172(条)x*2=53, 740, 347, 635 (条)x*3=24, 147, 094, 734 (条)x%=84, 025, 418 (条)各年龄组鱼群的捕捞率cl=c2=0c3=89.70%, c4=95.59%四，定期(五年)承包的最优收获由于承包时鱼群的年龄纟h成询未处于可持续捕捞的状态，因此不能简单地采用前而所得 到的最优可持续捕捞的结果。问题中寻求收获量最高的捕捞策略的条件是曲祥的生产力不能 受到太大的破坏

13、。我们可以把这个条件理解为捕捞五年后鱼群的年龄组成尽量接近于可持续 捕捞血群的年龄结构。这时最优收获的问题就化为寻找一个收获的策略使得五年的血产量尽 量高，而h五年片鱼群的年龄结构与可持续捕捞的年龄构成尽量接近，这是一个多目标规划 的问题。如果该公司在五年的捕捞作业屮捕捞的努力量是i古i定不变的，利用前而得到的模型(6) (7) (8),并注意到初始鱼群为xj (0) =122x109(条) x2(0)=29.7x109(条)x3(0)=10.1 x 10%条)x4(0)=3.29x io%条)就可以描述被捕捞的鱼群在五年中的动态变化。第k年的鱼产量由(9)式给出，则五年的总鱼产量为y (e) =y (1) +y5五年后鱼群的年龄组成,与可持续捕捞鱼群的年龄组成的差异可由这两个群体各年龄组 差异之间的欧几里得距离來描述：d (e) =j(x1(5)-x1)2 +-+(x4(5)- x4 )2综介这两个指标，令j (e) =y (e) -d (e)则问题就归结为求e,以优化h标函数j (e