第2章数与微分

1、2.2.1 微分的概念2.2.3 微分的运算2.2.4 微分在近似计算中的应用2.2 微分2021-11-101北京师范大学2.2 微分(34)2实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xa 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xa 正方形面积正方形面积2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 02.2.1 2.2.1 微分的概念微分的概念2

2、.2 微分(34)3又如：又如：.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?2.2 微分(34)41. 微分的定义00d |d ()x xyf xax 微分微分 称为函数增量称为

3、函数增量 的的线性主部线性主部（微分实质）（微分实质）.dyy ),()()(00 xoxaxfxxfy 2.2 微分(34)5定义表明定义表明: :()1dyoxyax).0(1 x2.2 微分(34)62.可微的条件).(,)()(000 xfaxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理1证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxay ,)(xxoaxy xxoaxyxx )(limlim00则则.a ).(,)(00 xfaxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数2.2 微分(34)7(2) 充分性充分

4、性, xxay 从而从而, axy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf,)(lim00axfxyx ),0(0 x0(),fxa 解解例例1 1.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxy3d()yxx .32xx 220.020.022d |3|xxxxyxx .24. 0 ),( xoxay 于是于是2.2 微分(34)8d( ).yfxx d( )d .yfxx d( ).dyfxx 0().afx 可导可导 可微可微，2.2 微分(34)93.微分的几何意义)(xfy 0 xmntdyy)( xo ）xyo x 如图所示：如图所示：xx0 p .,mnmpmx可

5、近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 .d,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时为曲线的纵为曲线的纵当当yy 2.2 微分(34)10d( )dyfxx 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.（1）基本初等函数的微分公式）基本初等函数的微分公式122d( )0d()dd(sin )cos dd(cos )sin dd(tan )secdd(cot)cscdd(sec )sectan dd(csc )csccot dcxxxxx xxx xxx xxx xxxx xxxx x 1

6、.1.微分公式：微分公式：2.2.2 2.2.2 微分的运算微分的运算2.2 微分(34)112222d()ln dd(e )e dddd(log)d(ln )lnddd(arcsin )d(arccos )11ddd(arctan )d(arccot)11xxxxaaaa xxxxxxxaxxxxxxxxxxxxx （2） 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2d()ddd()dddd()ddd( )uvuvcuc uuv uu vuvv uu vvv 2.2 微分(34)12例例2 2解解.d),eln(2yxyx求求设设 ,ee2122xxxxy .dee21d22x

7、xxyxx 例例3 3解解.d,cose31yxyx求求设设 )(cosde)e (dcosd3131xxyxx .sin)(cos,e3)e (3131xxxx xxxxyxxd)sin(ed)e3(cosd3131 .d)sincos3(e31xxxx 2.2 微分(34)132. 一阶微分形式的不变性;d)(d,)1(xxfyxx 是自变量时是自变量时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数xxfyd)(d ,d)()(tttftx .d)(d ttfyt 即即结论结论：的微分形式总

8、是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,ufyu 微分形式的不变性微分形式的不变性uufyd)(d 2.2 微分(34)14例例4 4 设设解解esin,d .axybxy 求求decosd()sined()axaxybxbxbxaxecosdsine()daxaxbx b xbxax e( cossin)d .axbbxabxx 例例3 3 设设解解sin(21),d .yxy求求. 12,sin xuuydcos dyu u cos(21)d(21)xxcos(21) 2dxx 2cos(21)d .xx )d(esin)d(sinedaxaxbxbx

9、y 2.2 微分(34)15例例5 5解解 在下列等式左端的括号中填入适当的在下列等式左端的括号中填入适当的函数函数,使等式成立使等式成立.2(1)d()cosd ;(2)d(sin)()d().t txx (1)d(sin)cosd ,tt t 1cosdd(sin)t tt 1d(sin)cosd .tct t 1d(sin);t 22d(sin)2 cosd(2)1d()d2xxxxxxx ,cos42xxx 22d(sin)(4cos)d().xxxxx 2.2 微分(34)16微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问

10、题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 2.2.4 2.2.4 小结与思考题小结与思考题2.2 微分(34)17导数与微分的区别导数与微分的区别1 1、函数、函数 在点在点 处的导数处的导数 为一个常为一个常数，而微分数，而微分 为为 的线性函数，的线性函数，其定义域为全体实数，它是当其定义域为全体实数，它是当 时的无时的无穷小，即穷小，即d0000limlim()()xxxxyfxxx(

11、 )f x0 x0()fxd00()()yfxxxx0 xx2 2、从几何意义上来看，、从几何意义上来看， 为曲线为曲线 在在点点 处的切线斜率，而微分处的切线斜率，而微分 为为曲线曲线 在点在点 处的切线上对应于处的切线上对应于 的纵坐标的增量的纵坐标的增量. .0()fx( )yf xxd00()()yfxxx( )yf x00(,()xf x0 xx2.2 微分(34)18思考题思考题2.2 微分(34)19思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题

12、归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 2.2 微分(34)20课堂练习题课堂练习题2.2 微分(34)212.2 微分(34)22课堂练习题答案课堂练习题答案2.2 微分(34)23,0)()(00很很小小时时且且处处的的导导数数在在点点若若xxfxxfy 例例6 6?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径解解,2ra 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdaa 205. 0102 ).(2厘米厘米 2.2.

13、3 2.2.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用000|d |()x xx xyyfxx 2.2 微分(34)24;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例7 7.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff2.2 微分(34)25)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 ;0)(. 2附近

14、的近似值附近的近似值在点在点求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令2.2 微分(34)26常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x证证,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx ；为弧度为弧度)(sin)2(;11)1()1(1xxxxnxn );(tan)4(1e)3(为弧度为弧度；xxxxx .)1ln()5(xx 2.2 微分(34)27例例8 8.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.e)2(;5 .998)1(03. 03 3

15、35 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01e)2(03. 0 .97. 0 2.2 微分(34)283. 误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做有误差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差./.,的相对误差的相对误差叫做叫做值值的比的比而绝对误差与

16、近似值而绝对误差与近似值的绝对误差的绝对误差叫做叫做则则近似值为近似值为若某个量的精确值为若某个量的精确值为aaaaaaaaaa 2.2 微分(34)29办法办法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. ./,的的相相对对误误差差限限叫叫做做测测量量而而的的绝绝对对误误差差限限叫叫做做测测量量那那末末即即又又知知道道它它的的误误差差不不超超过过是是测测得得它它的的近近似似值值如如果果某某个个量量的的精精度度值值是是aaaaaaaaaaa 通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.问题问题:实际中实际中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?2.2 微分(34)30例例9 9.,005. 041. 2误差误差并估计绝对误差与相对并估计绝对误差与相对求出它的面积求出它的面积米米正方形边长为正方形边长为 解解则则面面积积为为设设正正方方形形边边长长为为,yx.2xy ,41. 2时时当当 x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 ,005. 0 x 边长的绝对误差为边