723在第3章中,我们介绍了微分学的两个基本概念导数与微分及其计算

1、 在第在第3章中，我们介绍了微分学的两个基本概章中，我们介绍了微分学的两个基本概念念导数与微分及其计算方法导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本本章以微分学基本定理定理微分中值定理为基础，进一步介绍利用微分中值定理为基础，进一步介绍利用导数研究函数及进行经济分析导数研究函数及进行经济分析. 第一节第一节 中值定理中值定理第四节第四节 函数的单调性函数的单调性第五节第五节 函数的极值与最值函数的极值与最值第七节第七节 函数图形的描绘函数图形的描绘第六节第六节 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性与拐点第八节第八节 导数在经济管理方面的应用导数在经济管理方面的应用 第二节第二节 洛比达法则洛比达法则

2、第三节第三节 泰勒公式泰勒公式第一节第一节 中值定理中值定理由第三章我们知道，导数的几何意义表示曲线上该点由第三章我们知道，导数的几何意义表示曲线上该点一条连续光滑的曲线弧，在一条连续光滑的曲线弧，在(a,b)内可导，即在内可导，即在(a,b)内内每一点都存在不垂直于每一点都存在不垂直于x轴的切线，函数在区间轴的切线，函数在区间a,b上上那么问题是，在区间（那么问题是，在区间（a,b）内是否）内是否存在一点存在一点，使得曲线在该点切线的平行于直线，使得曲线在该点切线的平行于直线ab?即即切线的斜率，下图所示函数切线的斜率，下图所示函数f(x)在区间在区间a,b上的图像是上的图像是的端点分别为的

3、端点分别为a,b.),(,)()()(baabafbffabxoy)(xfy ab一、罗尔（一、罗尔（rolle）定理定理 如果如果m = m, 那么那么f (x)在在 a, b 上为上为常数常数, 而常数的导数为零而常数的导数为零, 故故(a, b)内任内任何一点都可作为何一点都可作为 . 定理定理1 1(rolle定理定理) 如果函数如果函数 f (x)在闭区间在闭区间 a, b 上连上连续续, 在在(a, b)内可导内可导, 且且 f (a)= = f (b), 那么在那么在(a, b)内至少有一内至少有一点点),(ba 使得使得. 0)( f 证证 如图如图, , 由于由于f (x)在

4、闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续, 故必有最大值故必有最大值m和最小值和最小值m.)(xfy xyo ab图图4.1fxf()( ) 当当 x 0时时, 有有故故 f ( ) = 0.0()( )( )lim0;xfxffx ; 0)()(lim)(0 xfxffx由于由于 f (x)存在存在,所以所以).()(ff 如果如果 , 那么最大值与最小值至少有一个在那么最大值与最小值至少有一个在(a, b)内取的内取的. 不妨设不妨设 f ( ) = m . 故故 x, x (a,b),有有mm罗尔定理的几何解释罗尔定理的几何解释:0)(f观察图观察图4-2，函数，函数y=f(x)在区间在区

5、间a,b上的图像是一条上的图像是一条即有即有连续光滑的曲线弧，在连续光滑的曲线弧，在(a,b)内可导，即在内可导，即在(a,b)内每一点内每一点都存在不垂直于都存在不垂直于x轴的切线，轴的切线， 且且 f (a)= f (b),则可以发现则可以发现在曲线上的最高点和最低点处，在曲线上的最高点和最低点处， 曲线有水平切线，曲线有水平切线，ab12xyo)(xfy c32)(2xxxf).1)(3(xx,3 , 1上连续在 ,) 3 , 1(上可导在 ( 1)(3)0,ff),1(2)(xxf1, (1( 1,3) . 0)(f例例1 函数函数且有且有 因为因为故存在故存在使得使得 分别在什么范围

6、？有几个零点，这些零点的导数不求导数，判断例)3)(2)(1()(2xxxxf0)3()2() 1 (fff上应用罗尔定理，、分别在对3 , 22 , 1 )(xf使得、至少存在)3 , 2()2 , 1 (21, 0)()(21ff两个实根，为二次多项式，最多有又因为)(xf .)3 , 2()2 , 1 (,0)(内和分别在区间只有两个实根xf例例3 证明方程证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于的有且仅有一个小于的正实根正实根 .证证: 1) 存

7、在性存在性 .则则)(xf在在 0 , 1 上连续上连续 , 且且由零点定理知存在由零点定理知存在, ) 1 ,0(0 x使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根.0 x2) 唯一性唯一性 .假设另有假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点至少存在一点,.0)(f使但但矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真!设设 注意注意：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结其结论可能不成立论可能不成立.例如例如, 2,20,x在上除不连续外 满足罗尔定理的一切条件;在上

8、除不连续外 满足罗尔定理的一切条件;0,10,)(. 12 xxxxxf( 2 2)0.f但在，内以上三例都找不到一点 ，使 （ ）但在，内以上三例都找不到一点 ，使 （ ）2. ( ), 2 20f xxx在在，上上除除不不可可导导外外满满足足罗罗尔尔定定理理的的一一切切条条件件; ;3. ( )1, 2,2,f xx在在上上除除端端点点函函数数值值不不等等外外满满足足罗罗尔尔定定理理的的一一切切条条件件 ( (x) )满足满足rolle定理的条件定理的条件, 则在则在(a,b)内至少存在内至少存在一点一点 ,使得使得 ( ) = 0二、二、 拉格朗日（拉格朗日（lagange）中值）中值定

9、理定理 定理定理2 2(lagange定理定理) 如果如果 f (x)在闭区间在闭区间 a, b 上连上连续续, 在在(a, b)内可导内可导,则则 (a, b)，使使)()()(abfafbf 证证 作辅助函数作辅助函数( )( )( )( ),f bf axf xxba ( )( )( )0,f bf afba 即即)()()(abfafbf 或或则则( )( )( )( ),bf aaf babbaab xoy)(xfy abcd (2)lagange定理精确地表达了函数在一个区间上的定理精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的

10、导数之间的关系.()( )()(01).f xxf xfxxx 左端左端 y = f (x + x) f (x)是函数的增量是函数的增量, 因此因此, lagange中值定理又称中值定理又称有限增量定理有限增量定理.有两点必须注意：有两点必须注意：(1)定理中定理中f (b) f (a) =f ( )(b a), 当当b a时也成立时也成立.设设b =x+ x, a=x, 记记 = x+ x (0 1) 有有 在区间在区间i上任取两点上任取两点x1，x2 (x1x2), 由由 f (x) 在在i上的可导性，则在区间上的可导性，则在区间x1，x2上应用上应用lagange 中值定理可得中值定理可

11、得由假定，由假定，即即, 0)( f).()(12xfxf 因为因为x1，x2是是i 上任意两点，所以上面的等式表明：上任意两点，所以上面的等式表明： 推论推论1 1 如果函数如果函数 f (x)在区间在区间i i上有上有f (x) 0, 则则 f (x)在在区间区间i i上是一个常数。上是一个常数。).()()()(211212xxxxfxfxf f (x)在区间在区间i i 上的函数值相等上的函数值相等, ,即即 f (x)在区间在区间i i上是一个上是一个常数。常数。( )( )fxg x推论推论2，则这两个函数在（，则这两个函数在（a,b）内至多相差一个）内至多相差一个常数常数. 如果

12、函数如果函数f(x)与与g(x)在区间在区间(a,b)内的导数恒有内的导数恒有例例4. 证明等式证明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: 设设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知由推论可知cxxxfarccosarcsin)( (常数常数) 令令 x = 0 , 得得.2c又又,2) 1(f故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立. 1, 1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经验经验: 欲证欲证ix时时,)(0cxf只需证在只需证在 i 上上, 0)( xf,0ix 且.)(00cxf使证证( )ln(1),f xx设 设 例例5 50,ln(1).1xxxxx证证明明当当时时在在0, x上应用上应用lagrange定理定理, 知知 (0, x)，使使1ln(1)ln(10)(11).1xx ln(1).1xx ,11xxxx ln(1).1xxxx 即即而而从而从而三、三、cauchy定理定理如果函数如果函数( )( )f xf x及及满满足足（1）在闭区间）在闭区间,ba上连续；上连续；（2）在开区间）在开区间),(ba内可导；内可导；（3）对任一）对任一( , ),( )0.xa b f x 那么在那么在),(ba内至少有一点内至少有一点, 使使等等式