《基本不等式》PowerPoint 演示文稿

1、.1人教人教A A版高中数学必修五第三章版高中数学必修五第三章 3.43.4基本不等式基本不等式.2学习目标学习目标学会推导并掌握基本不等式，理解这个基学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号等号“”取等号的条件是：当且仅当这取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；两个数相等；会应用此不等式求某些函数的最值；能够会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题解决一些简单的实际问题.3创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题 这是这是20022002年在北京召开的第年在北京召开的第2424届国际数学家大会会届国际数学家

2、大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。.4思考：这会标中含有怎样思考：这会标中含有怎样的几何图形？的几何图形？思考：你能否在这个图案思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不中找出一些相等关系或不等关系？等关系？.5互动交流互动交流 研讨新知研讨新知ab22ba 22ba 1 1、正方形、正方形ABCDABCD的的面积面积S=S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积之和面积之和SS = =ab2、S S与与SS有什么样的不等关系？

3、有什么样的不等关系？ 探究：探究：S S S S即即问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？22ba ab2 ()ab.6A AD DB BC CE EF FG GH Hb ba a22ab猜想：猜想： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立。时，等号成立。222ababA AB BC CD DE(FGH)E(FGH)a ab b22ba ab2 22ba ab2()ab()ab.7思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？2220abab0)(2ba0)(2ba2()0ab,a bR时

4、当ba 时当ba 222abab2()ab的结果几种？222abab2220abab222abab222abab.81.1.重要不等式：重要不等式： 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222abab, a bR0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？问题一问题一22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到： 即：即：) 0, 0(ba2abab 即：即：.9若若a a00，b b00，则，则2abab当且仅当当且仅当a a= =b b时取等号时取等号基本不等式基本不等式 正数正数a a，b b的算术平均数，的算术平均数， 正数正数a a，b b的

5、几何平均数；的几何平均数；2abab适用范围：适用范围：a a0,0,bb0 02ababab变形变形2(2)2abab(1)2abab均值不等式均值不等式.10你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?如何用如何用a a, , b b表示表示CD? CD=_CD? CD=_如何用如何用a a, , b b表示表示OD? OD=_OD? OD=_2ababODOD与与CDCD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD? OD_CD如图如图, AB, AB是圆的直径是圆的直径, O, O为圆心，点为圆心，点C C是是ABAB上一点上一点, AC=, AC=

6、a a, BC=, BC=b b. . 过点过点C C作垂作垂直于直于ABAB的弦的弦DE,DE,连接连接ADAD、BDBD、OD.OD.2abab几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半A AD DB BE EO OC Ca ab b问题二问题二.11222abab2ababa=ba=ba,bRa0,b0填表比较：填表比较：.12质疑答辩，排难解惑，发展思维质疑答辩，排难解惑，发展思维.130,0,8,xyxyxy例：（1）若求的最大值；0,0,xy解：xyxy思考：与有什么关系？2xyxy2()2xyxy2()2xyxy8xy又28( )2xy16xy 即16xy所以

7、的最大值是2 .16例例3 3：（：（1 1）用篱笆围成一个面积为）用篱笆围成一个面积为100 100 的矩形菜园，问这个矩的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为 m m，宽为，宽为 m m， 则则 ，篱笆的长为，篱笆的长为 m. m. 2xyxy2 100,xy 2()40 xy所以，这个矩形的长、宽都为所以，这个矩形的长、宽都为10m10m时，所用的篱笆最短，最短的时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是篱笆是40m. 40m. 2mxy100 xy 2()xy2()4

8、0 xyxy当时，成立，10 xy此时2m100一正一正二定二定三相等三相等xy.17（2 2）用一段长为）用一段长为3636m m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为 m m，宽为，宽为 m m， 矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为 m m2 22xyxy 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m9m时，菜园面积最大，最大面时，菜园面积最大，最大面积是积是81m81m2 2xy2236,18xyx

9、yxy218()2xy81xy 即_xyxy得（即）时，81xy 成立9一正一正二定二定三相等三相等xy.18例例4 4: :某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, ,其容积为其容积为4800m4800m3 3, ,深为深为3m.3m.如果池底每平方米的造价为如果池底每平方米的造价为150150元元, ,池壁每平方米的造池壁每平方米的造价为价为120120元元, ,怎样设计水池能使总造价最低怎样设计水池能使总造价最低? ?最低总造价是多少最低总造价是多少? ?分析分析: :水池呈长方体形水池呈长方体形, ,它的它的高是高是3m,3m,底面的长与宽没有底面的长与宽

10、没有确定确定. .如果底面的长与宽确如果底面的长与宽确定了定了, ,水池的总造价也就确水池的总造价也就确定了定了. .因此应当考察底面的因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总长与宽取什么值时水池总造价最低。造价最低。.19解解: :设底面的长为设底面的长为xm,xm,宽为宽为ym,ym,水池总造价为水池总造价为z z元元. .根据题意根据题意, ,有有: :容积为容积为4800m4800m3 3, ,得得3xy=48003xy=4800 xy=1600 xy=1600由基本不等式与不等式的性质由基本不等式与不等式的性质, ,可得可得即即 当当x=y,x=y,即即x x=y=40=y=40时时

11、, , 所以所以, ,将水池的地面设计成边长为将水池的地面设计成边长为40m40m的正方形时总造价最低的正方形时总造价最低, ,最低总造价为最低总造价为297600297600元元. .4800z150120(23x23y)3240000720(xy)240000720(xy)240000720 2 xyz240000720 2 1600z297600 z297600 xy3成立成立.20.21巩固深化，反馈矫正巩固深化，反馈矫正 已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于5050，两条直角边各为多少，两条直角边各为多少时时, ,两条直角边的和最小，最小值是多少？两条直角边的和最小，最小

12、值是多少？则则1502xy 分析：设三角形的两条直角边为分析：设三角形的两条直角边为xy, x yxy 的最小值100 xy 即2xyxy当这个直角三角形的直角边都时当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条的时候，两条直角边的和最小为直角边的和最小为202 100 xy即20 xy _,20 xyxy当时成立？10.222.用用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？2()2xyxyx解：设矩形的长为 m，宽为 m，则yyx2220 xy10 xy即25xy_xy当时，25xy 5 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为252m.2

13、33.3.做一个体积为做一个体积为32 ,32 ,高为高为2m2m的长方体纸盒，底面的的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？长与宽取什么值时用纸最少？3m解：解：则则 Z=2Z=2232+4x+4y+4x+4y体积为体积为32322xy=322xy=32即即xy=16xy=16z32+4z32+48=648=64x xy y2 2设底面的长为设底面的长为xmxm，宽为，宽为ymym，需用纸，需用纸z z2m=32+4(x+y)=32+4(x+y)xyyx2当且仅当当且仅当x=yx=y时，取等号，此时时，取等号，此时x=y=4x=y=4当当x=y=4x=y=4时，用纸最少为时，用纸最少为64648xy 由不等式的性质得，由不等式的性质得，2m.24归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：条件：(1)(1)函数的解析式中，各项均为正数；函数的解析式中，各项均为正数；(