利用空间向量求空间角

1、利用空间向量求空间角(1) 两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是0 ： _二_ 90 :。向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b，其夹角为二，若a与b的夹角为锐角， 则日=cosa,b)，若a与b的夹角为钝角则° =兀-a,b)，所以有cos日二cosQ b?练习 在正方体ABCD-A iBiCiDi中,M是AB的中点，则对角线DBi与CM所成角的余弦值为(2) 直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角范围：直线和平面所夹角的取值范围是 0乜二-90 :。向量求法：若n是平面“的法向量 AB是直线L的方向向量，则L小

2、所成的角"-AB，n或%门气，所以sinosAB，n练习：1:正方体 ABCD AiBiCiDi中，E,F分别是AB,CiDi的中点,所成的角2 :在三棱锥 POCB 中，P0 平面 OCB,OB OC, OB=OC= 、2求AiBi与平面AiEF,PC=4，D为PC的中点，求0D与平面PBC所成的角(3) 二面角二面角的取值范围是0：_二_180 :。二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的即为所求的二面角的大小；方法二：设n1，n2分别是两个面的法向量，则向量 n1与n2的夹角(或其补角)即 为所求二面角的平面角的大小。(4)点到平面的距

3、离A为平面a外一点(如图),n为平面a的法向量，过A作平面a的斜线AB及垂线AH.,斜线ABA与平面a的夹角为二|AB'|I AB | | n| AH |=|AB| sin v -| AB | |cos ： AB, n | AB n|n|典题赏析题目1 :如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,侧棱 PA_ 底面 ABCD，AB 二 3，BC =1，PA = 2，E为PD的中点.(I)求直线AC与PB所成角的余弦值;(U)在侧面PAB内找一点N，使NE 面PAC ,并求出点N到AB和AP的距离.解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A,B,C,D,P,E 的坐标为 A(

4、0,0,0)、B(、3,0,0)、C( . 3,1,0)、D(0,1,0)、1P(0,0,2)、E(0-,1)，2从而 AC =( 3,1,0), PB =( 3,0,-2).设AC与PB的夹角为r，则AC PB 33的cos,| AC I I PB I 2.7143 '7AC与PB所成角的余弦值为百(U)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0,z)，则一 1NE =(-x,1-z)，由 NE_ 面 PAC 可得,吐竺=0,即 NE AC=0.f1(x,1z) (0,0,2) =0,2化简得丿1 厂(-x, ,1 - z) (. 3,1,0) = 0.22-1=0,4冷.3x

5、 =6z=1即N点的坐标为(¥,0)，从而N点到AB和AP的距离分别为1,严6 6题目2.已知正方体ABCD -ABiCiDi的棱长为a.求点Cl到平面AB1D1的距离;求平面CDDiCi与平面ABiDi所成的二面角余弦值AiBiADi解(i)按如图3-i所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 A(0,0,0)、Di(0，a, a)、3(a, 0, a)、Ci(a, a, a)，向量 GA = (-a,-a,-a), ADi = (0,a,a), AB =a第02a题.Ci设n =(x, y,z)是平面ABiDi的法向量，于是，有丄ay az = 0，即 aX az = 0令z

6、-i,得x =d, y.于是平面ABiDi的一个法向量n =(i, i, -i)因此，Ci到平面ABiDi的距离Ci A n(2)由知，平面ABiDi的一个法向量是n = (i,i,-i).又因AD _平面CDDiCi ,故平面CDDiCi的一个法向量是ni二(0,i,0).设所求二面角的平面角为二(结合图形可知二面角是锐角，即 二为锐角)，则nninni3cos -=题目3.如图，四棱锥P -ABCD中，PA-平面ABCD，底面ABCD是直角梯形且 AB/CD ,BAD =90 :, PA=AD=DC=2 , AB =4。(1)求证：BC - PC ;依题意，PB-0.PC n = 0”2b - c = 0a + b c = 0 ，取题目3(2)求点A到平面PBC的距离解：(1 )如图建系，则 B(0,4,0),D(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2)BC =(2, 一2,0) ,PC =(2,2, 一2),BC PC = 2 2( - 2) 2 = 0，故 BC - PC o(2) PB = (0,4 , - 2) , PC = (2 , 2 , - 2)，设平