概率论第二章1-3节

1、第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布第一节 随机变量第二节 离散型随机变量及其分布律第三节 随机变量的分布函数第四节 连续型随机变量及其概率密度第五节 随机变量的函数的分布例例1 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷3次次. 以以X记三次抛掷中出现记三次抛掷中出现H的总数的总数, 则对样本空间则对样本空间S=e中的每一个样本点中的每一个样本点e, X都有一个数与之对应都有一个数与之对应, 即有即有样样本本点点HHHHHTHTHTHHHTTTHT TTH TTTX的的值值322211101 随机变量定义定义 设设X X (e e )是定义在样本空间是定义在样本空间S S上的实上的实值函

2、数，称值函数，称X X (e e )为随机变量为随机变量. .随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，.等等表示表示S1e2e3ex例例1 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷3次次. 以以X记三次抛掷中出现记三次抛掷中出现H的次数的次数, 则对样本空间则对样本空间S=e中的每一个样本点中的每一个样本点e, X都有一个数与之对应都有一个数与之对应, 即有即有样样本本点点HHHHHTHTHTHHHTTTHT TTH TTTX的的值值32221110例例1 1 一射手对目标进行射击，击中目标记为一射手对目标进行射击，击中目标记为1分，分，未中目标记为未中目标记为0分分.设设X表示该射手

3、在一次射击中的得表示该射手在一次射击中的得分，它是一个随机变量，可以表示为分，它是一个随机变量，可以表示为 ., 0, 1未中击中；X例例2 2 观察一个电话交换台在一段时间（观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接）内接到的呼叫次数到的呼叫次数如果用如果用X表示呼叫次数，表示呼叫次数，那么那么 表示一随机事件，表示一随机事件，显然显然 也表示一随机事件也表示一随机事件), 2 , 1 , 0(kkX), 2 , 1 , 0(kkX 有些随机变量有些随机变量, 它全部可能取到的值它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个是有限个或可列无限多个, 这种随机变量这种随机变量称为称为离散型随机变量离

4、散型随机变量. 2 2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 记记X为掷骰子出现的点数为掷骰子出现的点数; 记记Y为灯泡的寿命为灯泡的寿命. 要掌握一个离散型随机变量要掌握一个离散型随机变量X的统计规律的统计规律, 必须且只需知道必须且只需知道X的所有可能取的值及取每的所有可能取的值及取每一个可能值的概率一个可能值的概率. 设设X所有可能取的值为所有可能取的值为xk(k=1,2,.), 而而PX=xk=pk, k=1,2,.(2.1) pk满足如下两个条件满足如下两个条件) 3 . 2(. 1, 2)2 . 2( ;, 2 , 1, 0, 11kkkpkp称称(2.1)式为离散型随

5、机变量式为离散型随机变量X的分布律的分布律. 分布律也可用表格的形式来表示分布律也可用表格的形式来表示:Xx1x2.xn.pkp1p2.pn.(2.4)v掷一颗均匀的骰子出现的点数掷一颗均匀的骰子出现的点数X为为一个离散型随机变量，其分布律为一个离散型随机变量，其分布律为vP(X=k)=1/6 k=1,2,6X123456pk1/61/61/61/61/61/6例例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯四组信号灯, 每组信号灯以每组信号灯以p=1/2概率禁止汽概率禁止汽车通过车通过. 以以X表示汽车首次停下时表示汽车首次停下时, 它已通过它已通过的信

6、号灯组数的信号灯组数(设各组信号灯的工作是相互独设各组信号灯的工作是相互独立的立的), 求求X的分布律的分布律.PX=k=(1-p)kp, k=0,1,2,3, PX=4=(1-p)4. X 01234pkp (1- -p)p(1- -p)2p(1- -p)3p(1- -p)4列表法列表法列式法列式法(一一) (0-1) (0-1)分布分布 设随机变量设随机变量X只可能取只可能取0与与1 两个值两个值, 它的分布律是它的分布律是 P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1(0p0是常数是常数. 则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松的泊松分布分布, 记为记为X p p( ).泊松分布的背

7、景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时, ,他他们做了们做了2608次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5秒秒) )发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布. . 电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水泊松定理泊松定理 设设 0是一个常数是一个常数, n是任意正整数是任意正整数,

8、设设npn= , 则对于任一固定的非负整数则对于任一固定的非负整数k, 有有22上述定理表明当上述定理表明当n很大很大, p很小很小(np= )时有以时有以下近似式下近似式例例5 计算机硬件公司制造某种特殊计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片型号的微型芯片,次品率达次品率达1%, 各芯各芯片成为次品相互独立片成为次品相互独立. 求在求在1000只产只产品中至少有品中至少有2只次品的概率只次品的概率. 解：解： 以以X记产品中的次品数记产品中的次品数, Xb(1000, 0.001).23二项分布的泊松逼近！二项分布的泊松逼近！定义定义 设设X是一个随机变量是一个随机变量, x是是任意实数任

9、意实数. 函数函数F(x)= PX x,称为称为X的分布函数的分布函数.3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数分布函数分布函数F(x)具有以下的基本性质具有以下的基本性质: 1. F(x)是一个不减函数是一个不减函数. 1)(lim)(, 0)(lim)(-xFFxFFxx 3. F(x+0)=F(x), 即即F(x)是右连续的是右连续的.2. 0 F(x) 1, 且且xX例例1 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X- -123pk1/41/21/4求求X的分布函数。的分布函数。结果结果432141,1时当-x,21时当-x)(xXPxFx-12)(xXPxF1-XP;41xxi

10、ip)(xXPxFxxiip1-XP2XP; 0,32时当 x3,3时当x)(xXPxFx-123xxiip1-XP2XP3XP1212141-. 3, 132, 4/3, 21, 4/ 1, 1, 0)(xxxxxF-1O123x1 F(x) 一般一般, 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为PX=xk=pk, k=1,2,.则则X的分布函数为的分布函数为)2 . 3(,)(, )(xxkxxkkkpxFxXPxXPxF即 分布函数分布函数F(x)在在x=xk(k=1,2,.)处有跳处有跳跃跃, 其跳跃值为其跳跃值为pk=PX=xk.例例2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘米的圆盘, 设击设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶并设射击都能中靶, 以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离. 试求随机试求随机变量变量X的分布函数的分布函数. 2, 1, 20, 4/, 0, 0)(2xxxxxF. 2, 1, 20, 4/, 0, 0)(2xxxxxFx1231/2