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1、2020年全国卷I理科数学含答案2020数学理科2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。1. 若z=l+i,则 lr-2zl=A. 0B. 1C. 72D. 22. 设集A=xLr<0, B=(.d2x+</<0,且ACB=.d-2gl,则“=A. -4B. -2C. 2D. 43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的髙为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧而三角形的面积,则其侧而三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.虽1B.逅C.逅11D.逅±142424.

2、已知A为抛物线C:y2=2p.Y (p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则尸A. 2B. 3C 6D 95. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x (单位:°C)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(心X)(i = l,2,.20)得到下而的散点图:由此散点图,在i(rc至40。(:之间,下而四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A. y = a + bxB. y = " +C. y = a + be'D. y = a + bnx6. 函数/(x) = x4-2x3的图

3、像在点(h /)处的切线方程为A. y = -2x_l B. y = -2x + lC. y = 2x-3D. y = 2x + l7设函数/(x) = cos(fyx + )在-兀,兀的图像大致如下图,则心)的最小正周期为A.1071T4兀C.D.3 71T8. (x + -)(x + y)5的展开式中Qv3的系数为xA. 5B10C15D. 209.已知ae(O,7r),且3cos2a-8cosa = 5 ,贝ijsina =2020年全国卷I理科数学含答案2020数学理科752175A. B. C. D333910. 已知A,B,C为球0的球而上的三个点,为AABC的外接圆,若0 0的而

4、积为4兀,AB = BC = AC = OC,则球O的表而积为A. 64兀B. 487TC. 36兀D. 32兀11. 已知OM: x2 + y2-2x-2y-2 = 0,直线/: 2x+y + 2 = 0, P为/上的动点,过点P作OM的切线PA,PB,切点为A.B,当I PMAB最小时,直线力3的方程为A. 2x-y-1 = 0B. 2x + y-1 = 0 C. 2x-y + l=0 D. 2x + y + l=O12. 若2°+log" = 4°+2log,则A. a>2bB a<U)C a>b2D a<b2二、填空题:本题共4小题

5、,每小题5分,共20分。2x + y-2<0.13. 若X, y满足约束条件* x- -1 > 0,则z=x+ly的最大值为.丿 + lna14. 设a上为单位向量,且la+l=l,贝ijla1=.2 215. 已知F为双曲线C:二-二=1(“>0上>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.16. 如图,在三棱锥P-ABC的平而展开图中,AC=h AB = AD = *, AB丄AC, AB丄AD, ZCAE=30°,则 cosZFCB=三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(-)

6、必考题:共60分。17. (12分)设叩是公比不为1的等比数列,吗为也,的等差中项(1)求的公比;(2)若q=l,求数列nan的前几项和.18. (12 分)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底而的圆心,AE为底而直径,AE = AD. 三角形,P为DO上一点,PO = DOABC是底面的内接正(1)证明:Q4丄平而PBC:(2)求二而角B PC E的余弦值.19. (12 分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约泄赛制如下:累计负两场者被淘汰:比赛前抽签决泄首先比赛的两人,另一人轮空:每场比赛的胜者与轮空者进行 下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直

7、至其 中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结朿.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为丄,2(1)求甲连胜四场的概率:(2)求需要进行第五场比赛的槪率;(3)求丙最终获胜的概率.20. (12分)已知A. B分别为椭圆E: 4 + /=1(Q1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG =cCP为直线x=6上的动点,胡与E的另一交点为G PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程:(2)证明:直线CD过左点.21. (12 分)已知函数 f(x) = cx+ax2-x.(1)当时,讨论/(x)的单调性:(2)当总0时,/(x) N丄斤+1,求"的取值范围.2(-)选考题:

8、共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。22. 选修44:坐标系与参数方程(10分)X = cos' f,在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(,为参数).以坐标原点为极点,X轴正半轴为y = sin t极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为4QCOs8-16Qsin& + 3 = 0(1) 当时,G是什么曲线?(2) 当 = 4时,求G与G的公共点的直角坐标.23. 选修4一5:不等式选讲(10分)已知函数 /(a)=13x + 1I-2Ix-1I.(1) 画出y = .fM的图像;(2) 求不等式+ 的解集.2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案(

9、A卷)选择题答案一、选择题1. D 2 B3. C 4. C 5 D 6. B 7. C 8. C 9 A 10. A 11. D 12. B非选择题答案二、填空题13. 1三. 解答题17. 解:(1)设%的公比为°,由题设得2竹=勺+。3,即20=叩+曲所以2 = 0,解得q = (舍去),g = _2.故陽的公比为一2.(2)设S “为,“的前"项和由(1)及题设可得,山=(-2严.所以S” = 1 + 2 x (2) + + “ x (2)"-' ,-2S =-2 + 2x(-2尸 + + (“-1)x(-2)"“ +nx(_2)&quo

10、t;.可得 35, = 1 + (-2) + (-2)2 + + (一2严 一 n x (一 2)”=hx(-2)3所丄3空.9918. 解:(1)设DO = a,由题设可得PO = §a、AO = gAB = u,63PA = PB = PC = a-2因此PA2 4-PB1 = AB2» 从而 Q4丄 PB.又 PA2 + PC2 = AC2,从而 PA 丄 PC.所以P4丄平面PBC.(2)以O为坐标原点,呢的方向为y轴正方向,丨呢I为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设可得 E(O,1,O),A(O,-1,0), C( £, £

11、, 0), P(0,0, f.即y +莘=02卫1 n2 2,所以瓦=(m EP = 0 设m =(兀” z)是平而PCE的法向量,贝%一m EC = 0可取心(-牛皿).由知於(。,呼是平面心的-个法向量,记5,tintl/illml所以二而角B-PC-E的余弦值为弋一19.解:(1)甲连胜四场的概率为丄1O(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结朿,共有三种情况:甲连胜四场的概率为丄:16乙连胜四场的概率为丄:16丙上场后连胜三场的概率为, O1113所以需要进行第五场比赛的概率为+16 16 84<3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结朿且丙最终获胜的

12、概率为!.O比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为丄,I16 8 8因此丙最终获胜的概率为816 X 81620解:(1)由题设得A (p, 0), B (“,0), G (0, 1)则 AG = (at) > GB=(",T)由走而=8得o2-",即“=3.所以E的方程为y+r=i.(2)设C (.¥1,yi), D(X2, J2)f P(6, /)若*0,设直线CD的方程为g”y+”,由题意可知-3<x3.由于直线用的方程为尸彳(x+3),所以V= 3+3).直

13、线的方程为尸;(心3),所以)5-3)'33可得3yi (.¥2-3) =yi (xi+3)由于守 +),; = 1 ,故衣=if,_,可得 27 y2y2 = -(x, + 3)(x, + 3),即(27 + m2)yxy2 + m(n + 3)(y+y2) + (n + 3)2 = 0将x = n + n代入A2+= 1 得(nr + 9)y2 + 2mny + n2 -9 = 0.所以”+”=一2mn m2+9代入式得(27+ /)(/ 9) - 2m(n + 3)mn + (n + 3)2 (m2 +9) = 0.3解得3 (含去),%33故直线CD的方程为x=/;/

14、y + -,即直线CD过尬点(-,0)3若=0,贝IJ直线CD的方程为=0,过点(7 03综上,直线CD过定点(丁,0)221 解:(1)当“=1 时,/(X)=”+疋一上则/V)=ev+2v-l.故当xW (p, 0)时,厂(力<0;当xW (0, +oo)时,/V)>0.所以/(x)在(Y, 0)单调递减, 在(0, +00)单调递增.(2) f(x) >|x3+l 等价于(討-ax2 + X + l)e-1 < 1.设函数g(A-) = (|x3-2 + x +1)/(x>0),贝I1 3g"(x) = -(x3 ax1 +x + l - X,+2

15、or-l)c72 2= -4x2 - (2a + 3)x + 4<i + 2ex2=_* x(x2a 1)(.¥ 2)e-t.(i) 若加+1W0,即则当xw (0, 2)时,g'(x)>0.所以g (a)在(0, 2)单调递增,而g (0)=1,故当xW (0, 2)时,g (x) >1,不合题意.(ii) 若0<2“+1<2,即*<"<,则当xG(0, 2“+l)U(2, +00)时,gOXO:当xW(2“+l, 2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,加+1), (2, +oo)单涮递减,在(加+1,

16、 2)单调递增由于g(0)=l,所以g(x)勺当且仅当2020年全国卷I理科数学含答案2020数学 理科7 -e2g(2)=(7一4")匕1,即心47-e21所以当时,g(烧L(iii) 若2«+1>2,即心*,则g(x)<(x3+A- + l)e-7-e2 1|由于0ej-,-),故由(h)可得(于'+x + l)yL故当a> 时,(x)<l.7-e2综上,“的取值范围是J-、+oo)4兀=cos t22.解:当时,G:".'消去参数/得x2 + r = it故曲线g是圆心为坐标原点,半径为1的圆.y = sinr,x = cos' t一丄消去参数f得c:的直角坐标方程为石+J7=1y = sin f,C的直角坐标方程为4x-16y + 3 = 0.解得1>,=

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