四川省资阳市今科状元堂教育咨询服务有限公司九年级数学华师大版圆的基本性质学案

1、圆的基本性质知识梳理 1.圆的定义1）在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合(2) 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小(3) 不在同一直线上的三点可以确定一个圆(4) 连结圆上任意两点之间的线段叫做弦经过圆心的弦叫做直径并且直径是同一圆中最长的弦(5) 圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆因此半圆不包含直径(6) 在同一个圆中大于半圆的弧叫优弧，用 小于半径的弧叫劣弧，用 (7) 圆心相同的圆叫同心圆，半径相等的圆叫等圆2.圆的简单性质定理及推论基本图形几何语言垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对

2、的两条弧abcdmcd是直径, 且cdab , , .垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦cd是直径，且am=bm , , bc ac .cd是直径，且 = , , .圆心角、弧、弦的关系: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.a·obba aob=aob , ,圆周角定理及推论：定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半推论:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径abcodobace ac

3、 对b、d和e b=d=e= ab是直径acb= °反之acb=90°ab是 典型例题垂径定理的应用例1.如图，a为o内一点，op=3，o的半径为5，过点a作o的弦， 最长的和最短的弦分别是多长？·o·p·o·pabdc例2.如图在o中，直径ab和弦cd都经过点p，apd=30°,ap=6cm,pb=2cm,弦cd的长度是多少？例3.如图，直径为8m的圆形戏水池中有一个支点p，现准备搭建两座浮桥，cd，与mn,cd=,c是 的中点，你能帮设计师设计出两座浮桥的夹角mac吗？·o·pnmcd例4.已知：o的

4、半径oa=1，弦ab、ac的长分别为，求bac的度数例5.已知：o的半径为25cm，弦ab=40cm，弦cd=48cm，abcd求这两条平行弦ab，cd之间的距离例6.如图，已知ab是o的弦，p是ab上一点，若ab=10，pb=4，op=5，求o的半径的长。例7.如图所示，已知o是epf的平分线上的一点，以o为圆心的圆心角的两边分别交于点a、b、c、d求证：pb=pd，若角的顶点p在圆上或圆内，上述还成立吗？请说明。练习1圆的半径为5cm，圆心到弦ab的距离为4cm，则ab=_cm2如图，cd为o的直径，abcd于e，de=8cm，ce=2cm，则ab=_cm3如图，o的半径oc为6cm，弦a

5、b垂直平分oc，则ab=_cm，aob=_4如图，ab为o的弦，aob=90°，ab=a，则oa=_，o点到ab的距离=_5如图，o的弦ab垂直于cd，e为垂足，ae=3，be=7，且ab=cd，则圆心o到cd的距离是_6如图，p为o的弦ab上的点，pa=6，pb=2，o的半径为5，则op=_7如图，o的弦ab垂直于ac，ab=6cm，ac=4cm，则o的半径等于_cm例1、已知：如图，ab为o的直径，弦cd交ab于p，且apd60°，cob30°，求abd的度数例2、如图，abc中，abac，a80°，以ab为直径的半圆交ac于d，交bc于e求所对圆心

6、角的度数例3.如图，bc为半圆o的直径，点f是弧bc上一动点（点f不与b、c重合），a是弧bf上的中点，设fbc, acb.当50°时，求的度数。猜想与之间的关系，并给与证明。例4.如图，圆的弦ab、cd延长线交于p点，ad、bc交于q点，p28°，aqc92°，求abc的度数例5.如图，abc内接于o，aebc于d，交o于e，af为o的直径求证：bafcae(2) 求证：ab·acad·af；(3)若过o作onab于n，则on与ce之间有何数量关系？ 例6.如图，在o中，ab是直径，cd是弦，abcd p是弧cad上一点（不与 c、d重合），

7、求证：cpdcob； 点p在劣弧cd上（不与c、d重合）时，cpd与cob有什么数量关系？请证明你的结论例7.如图，在o中，弦abac5cm，bc8cm，求o的半径例8.如图，在o中，ab、cd是两条弦，oeab，ofcd，垂足分别为ef （1）如果aob=cod，那么oe与of的大小有什么关系？为什么？（2）如果oe=of，那么ab与cd的大小有什么关系？ab与cd的大小有什么关系？为什么？aob与cod呢？ 练习（1）已知aob75°，则 acb= （2）已知acb60°则 aob = （3）已知acd30°，则 aob= （4）已知aob110°则

8、 acb= 第1题 第2题 第3题 第4题2.在同圆中，圆心角aob=2cod，则两条弧ab与cd关系是（ ） aab=2cd bab>cd cab<cd d不能确定3.如图1，a、b、c三点在o上，aoc=100°，则abc等于（ ）a140° b110° c120° d130°4如图2，1、2、3、4的大小关系是（ ） a4<1<2<3 b4<1=3<2c4<1<32 d4<1<3=25如图3， ab是o的直径，bc，cd，da是o的弦，且bc=cd=da，则bcd等于（ ）

9、a100° b110° c120° d130°综合应用acbdefo例1.如图，ab是o的直径，c是的中点，ceab于 e，bd交ce于点f（1）求证：cfbf；（2）若cd6， ac8，求o的半径与ce的长例2已知：如图，abc内接于圆，adbc于d，弦bhac于e，交ad于f求证：fe=eh例3.已知：如图，abc内接于o，am平分bac交o于点m，adbc于d求证：mao=mad例4.如图，o中，直径ab=15cm，有一条长为9cm的动弦cd在上滑动(点c与a，点d与b不重合)，cfcd交ab于f，decd交ab于e(1)求证：ae=bf；(2)在

10、动弦cd滑动的过程中，四边形cdef的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由·o·pbcd例5、如图o的直径为8，经过点p的一条弦bc=,d为优弧 上任意一点，（点d不与b,c重合）（1）连接ob、oc,求boc的度数？（2）连接cd,bd，问bcd什么时候面积最大？并求最大面积。例6.如图，过点p做o的直径ab，abd内接于o，c是的中点，弦ceab于点p，连结bc，ad分别交ce、bc于点h、q，abc·o·pdeqh （1）求证：ach=cbd； （2）求证：h是线段aq的中点； （3）若o 的半径为5，bp=8，求c

11、e的长例7.如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m(竹排与水面持平)问：该货箱能否顺利通过该桥?例8.已知：如图，ab是o的直径，cd为弦，且abcd于e，f为dc延长线上一点，连结af交o于m求证：amd=fmc练习1.如图8，点 d 在以 ac 为直径的o 上，如果bdc25°，那么acb_。2. 如图所示，a、b、c三点在圆o上，aoc=100°，则abc等于（ ） a. 140°b. 110°c. 120°d. 130°3.如图8所

12、示，在o中，直径ab=2，且ocab，点d在上,，点p是oc上一动点，则pa+pd的最小值是（ ）a.2 b. c. d. -14. 如图所示，在abc中，c90°，ab10，ac8，以ac为直径作圆与斜边交于点p，则bp的长为_。5. 如图所示，四边形abcd内接于圆o，bcd=120°，则bod=_度。6. 如图所示，圆o的直径为10，弦ab的长为6，m是弦ab上的一动点，则线段的om的长的取值范围是（ ） a. 3om5b. 4om5 c. 3om5d. 4om5 7.如图，o中，ab为直径，弦cd交ab于p，且op=pc，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想8.已知：如图，a，b是半圆o上的两点，cd是o的