数学八年级下《二次根式》复习教学案

1、二二 次次 根根 式式 【知识点汇总知识点汇总】知识点一：知识点一： 二次根式的概念二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。知识点三：二次根式知识点三：二次根式（）的非负

2、性）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。知识点四：二次根式（知识点四：二次根式（） 的性质的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，

3、.知识点五：二次根式的性质知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：知识点六：与与的异同点的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因

4、而它的运算的结果是有差别的， ，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.【历年考点例析历年考点例析】考点考点 1 1、无理数、无理数知识回顾：知识回顾：无限不循环的小数，叫做无理数。知识特点：知识特点：常见的无理数：1、 以及 的有理数倍数。2、；2353、201001000100001考查题型考查题型例 1、写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于1 的数 。 （08 年自贡市）分析：-1 的绝对值是 1，所以，小于1 的数的绝对值一定要大于 1，只要符合这一点，就可以了，所以，本题的答案不是唯一的。解：小于1 的有理数-4、-5 等等，小于1 的无理数-、-、-等等

5、。235例 2、从实数，0，4 中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ）231A. ，0 B. ，4 C. ，4 D. ，（08 年湖北省宜昌市）3122分析：根据常见的无理数，可以发现只有-和 是无理数，因此，选项 D 是正确的。2解：选 D。例 3、如图 1 所示，A，B，C，D 四张卡片上分别写有四个实数，从中任取5237 ，两张卡片A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母 A，B，C，D 表示） ；（2）求取到的两个数都是无理数的概率 （08 嘉兴市） 、分析：用列表的方式，把所有的结果找出来，后根据无理数的定义，作出判断。解：（1）仔细观察上面的四个数，不难发现 B、D 是无

6、理数，A 和 C 是有理数，结果列表如下：（图 1）2 仔细观察上表，一共有 12 种可能性，期中都是无理数的可能性有 2 种，因此，两个数都是无理数的概率为：。61122考点考点 2 2、平方根、平方根知识回顾：知识回顾：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根。记作。读作“正负根号 a”a知识特点：知识特点：1、 被开方数 a，满足的关系式是：a0；2、平方根 x 与被开方数 a，满足的关系式是：x=；a3、被开方数 a 与平方根 x，满足的关系式是：a= x2= （）2= 2= （-）2；aaa4、两个平方根之间满足的关系式是：+（-）=0

7、，即两个平方根互为相反数，所aa以，他们的和为 0.如下说法都是正确的： a的平方根是；a是a的平方根；a-是a的平方根；a是a的平方根；其中a是非负数。a此外，0的平方根是0这个特例要记清楚。考查题型考查题型例 4、2 的平方根是（ ）A4BCD（08 年南京市）222分析：根据平方根的特点，正数有两个平方根，且常用“”来体现“两个” 。解：选 D。例 5、9 的算术平方根是A. 3 B. 3 C. 3 D. （08 恩施自治州）3分析：算术平方根是平方根中的正数根，只有一个，所以，选项 A、C 都是不正确的；因为，32=9，所以，9 的算数平方根是 3。解：选 B.例 6、化简：=（ ）

8、4 A2 B2C4D4（08 年甘肃省白银市）分析：理解的意义是解题的关键。的意义实际上就是求正数 4 的算术平方根，所44以，应该只有一个，为正数，并且这个数的平方应该等于 4，这样只有选项 A 符合要求。解：选 A。化简=_。(08 年安徽省)24分析：分析：因为， （-4）2=16，的意义是求正数 16 的算数平方根，因为，2442=16，所以，=4.24考点考点 3 3、二次根式、二次根式知识回顾：知识回顾：形如（a0）的式子，叫做二次根式。a知识特点：知识特点：1、被开放数 a 是一个非负数；2、二次根式是一个非负数，即0；aa3、有限个二次根式的和等于 0，则每个二次根式的被开方数

9、必须是 0.考查题型考查题型例 7、若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是5xA.x-5B.x-5C.x-5D.x-5 (08 常州市)分析：在这里二次根式的被开方数是 x+5，要想使式子在实数范围内有意义,5x必须满足条件：x+50，所以，x-5，因此，选项 D 是正确的。解：选 D。例 8、若，则 （08 年遵义市）230ab2ab分析：因为，|a-2|和都是非负数，并且它们的和是 0，3b所以，|a-2|=0 且=0，所以，a=2，b=3，3b所以，a2-b=4-3=1.例 9、若实数满足，则 xy 的值是 (08 年宁波市)xy，22(3)0 xy分析：因为，和都是非负数，并且它们

10、的和是 0，2x2)3( y所以，=0 且=0，所以，x=-2，y=，2x2)3( y3所以，xy=-2.3考点考点 4 4、二次根式的化简与计算、二次根式的化简与计算知识回顾：知识回顾：二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。知识特点：知识特点：二次根式的加减运算：a+b=（a+b）， （m0） ；mmm二次根式的乘法运算：.=，( a0, b0)；abab二次根式的除法运算：= ，( a0, b0)；abbabba二次根式的乘方运算：=a，( a0)；2)( a二次根式的开方运算：=2a00,aaaa，考查题型考查题型例

11、 10、下列计算正确的是（ ）AB2 34 26 584 2CD（08 年聊城市）27332( 3)3 分析：这就是二次根式化简的综合题目，2与 4的被开方数不相同，所以，它们不32是同类二次根式，所以，不能进行合并计算，所以，A 是错误的；因为，所以，B 也是错误的；22222482因为，=，所以，C 是正确的；27339327根据二次根式的开方公式，得到 D 是错误的。解：选 C。例 11、若baybax,，则xy的值为 ( )Aa2 Bb2 Cba Dba （08 年大连市）分析：xy=（） （）=-=a-b，所以，D 是正确的。ba ba 2)( a2)( b解：选 D。考点考点 5

12、5、最简二次根式、最简二次根式知识回顾：知识回顾：满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。知识特点：知识特点：1、最简二次根式中一定不含有分母；2、对于数或者代数式，它们不能在写成 anm 的形式。考查题型考查题型例 12、下列根式中属最简二次根式的是（）A. B. C. D. （08 年湖北省荆州市）21a 12827分析：因为 B 中含有分母，所以 B 不是最简二次根式；而 8=222，27=323，所以，选项 C、D 都不是最简二次根式。所以，只有选项 A 是正确的。解：选 A。考点考点 6 6、估

13、算、估算例 13、估计132202的运算结果应在（ ） 6 到 7 之间 7 到 8 之间 8 到 9 之间 9 到 10 之间（08 年芜湖市）分析：5242016202132因为，459，所以，所以，23,9545所以，426,5所以，4+42+46+4,所以，82+410,也就是在 8 到 9 之间.55解:选择 C.【考试题型归纳考试题型归纳】一一. 基本概念型基本概念型例例 1.二次根式中，字母的取值范围是（ ）a 1A. B. C. D. a 1a 1a 1a 1析解：形如的式子叫二次根式，其中被开方数 a 的取值范围是。则a a() 0a 0二次根式中，即，故选 C。a 1a 1

14、0a 1说明：注意二次根式中被开方数是非负数这个隐含条件是解题关键。例例 2.在下列根式中，最简二次根式有（ ）4 5283、abxA. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个析解：最简二次根式的概念是（1）被开方式的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。而。所以最简二次2282 23aaaxx、根式有两个，故选 C。4 5、 b例例 3.下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）3A. B. C. D. 24123218析解：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。而，所以与是242 6122 33262183 2、3

15、同类二次根式的是，故选 B。12二二. 性质运用型性质运用型例例 4.已知，则化简的结果是（ ）x 2xx244A. B. C. D. x 2x 2x22 x析解：，因为，所以xxxx224422()|x 2x 20。故选 Dxxx2442例例 5.化简得（ ） 。4412322xxx()A. 2B. C. D. 44x244x 析解：因为，230 x xxx3223232,()所以21044121212xxxxx ，|故。故选 A。441232123222xxxxx()()说明：以上二例主要应用二次根式的性质：（1）。 （2）aaa aa a200| |()()。正确应用二次根式的性质是解决

16、本题的关键。()()aa a20三三. 结论开放型结论开放型例例 6.先将化简，然后自选一个合适的 x 值，代入化简后的式子xxxxx22232求值。析解：这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间。但要注意 x 的取值范围是。x 2原式xxxxxxxx221222222xxxxx222取，原式。x 2,x 4 2四四. 大小比较型大小比较型例例 7. 用计算器计算，根据你发现的规律，2121313122,4141515122,判断，与， （n 为大于 1 的整数）的值的大小关系为（ Pnn211Qnn()()1111）A. B. C. D. 与 n 的取值有关PQPQPQ析解：利用计

17、算器计算得：，从而可以推断21213131414151512222，故选 C。PnnQnn22111111()()例例 8. 设，则 a，b，c 的大小关系是（ ）abc322352,A. B. C. D. abcacbcbabca析解：，同理。113232323232a()()123152bc,因为，所以。故选 A。52233201110cbacba,五五. 判断正误型判断正误型例例 9. 化简时，甲的解法是：352，乙的解法是：3523525252()()()52，以下判断正确的是（ ）352525252()()52A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C.

18、甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确析解：甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用52进行约分，所以二人都是正确的，故选 C。35252()()例例 10. 对于题目“化简并求值：，其中” ，甲、乙两人的解11222aaaa 15答不同。甲的解答是：；1121111495222aaaaaaaaa()乙的解答是：。112111115222aaaaaaaaa()谁的解答是错误的？为什么？析解：乙的解答是错误的。因为当时，所以，而应当是a 151510aaa,()aaaa112。()aaaa112六六. 规律探索型规律探索型例例 11. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题。；()

19、,1121221S；(),2132222S；(),3143223S（1）请用含有 n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律。（2）推算出的长。OA10（3）求出的值。SSSS122232102析解：（1）通过类比，可推知(),nnSnn2112（2）。OAOAOAOA1231012310,，（3）SSSS122232102()()()()()12223210214123105542222七七. 计算说理型计算说理型例例 12. 有这样一道题，计算：的值，其中xxxxxxxxxx2222244442()，某同学把“”错抄成“” ，但他的计算结果是正确的。请回x 1005x 1005x 1050答

20、这是怎么回事？试说明理由。析解：这是一道说理型试题，既然 x 的值取错，计算结果仍是正确。那么可以猜测此二次根式化简后与 x 的值无关。这时应从二次根式的化简入手，揭开它神秘的面纱。原式()()()()()()xxxxxxxxxxxxx222222222444444 xxx xxxx xxxx222222222424442444842八八. 数形结合型数形结合型例例 13. 如图 1，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数有（ ）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个图 1析解：由题意知，。BC 231322ACAB3455126222

21、2,所以边长为无理数的边数是 2 个，故选 C。例例 14. “数轴上的点并不都表示有理数，如图 2 中数轴上的点 P 所表示的数是” ，2这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）图 2A. 代入法B. 换元法C. 数形结合D. 分类讨论析解：本题“形” “数”结合，所反映的正是数学中的一种思想方法“数形结合”故选 C。九九. 阅读理解型阅读理解型例例 15. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” ，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为：（其中 a、b、c 为三角形的三边长，s 为面积）sa babc142222222() 。而另一个文明古国古希腊也有求三

22、角形面积的海伦公式：（其中）sp papbpc()()()pabc2（1）若已知三角形的三边长分别为 5、7、8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积 s；（2）你能否由公式推导出公式？请试试。析解：（1）s 14575782222222() 12571524810 3222()又，p 1257810() s10 105 107)(1081053210 3()()（2）142222222() a babc1422222222()()ababcababc1162222() ()cababc1161162222222()()()()()()()()()()cab cab abc abcpapb

23、ppcp papbpc142222222() ()()()a babcp papbpc【解题策略解题策略】 一、二次根式的定义一、二次根式的定义 例 1 函数的自变量 x 的取值范围是（ ）yx 21 A xB xC xD x.12121212 解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。答案为 A。 例 2 函数的自变量 x 的取值范围是（ ）yxxx1253 AxBxCxxDxx.2525253253且且 解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，还应特别注意分式的分母不能为零。答案为：C。 二、二次根式的性质二、二次根式的性质 例 3 若，则 xy 的值等于（ ）yyx

24、y24410 A. -6B. -2C. 2D. 6 解题策略：紧扣二次根式是一个非负数的性质，可以得到：a a() 0，故。答案为：A()yxy 20102xy 32， 例 4 如果，那么 x 的取值范围是（ ）()xx222 A xB xc xD x.2222 解题策略：运用二次根式是一个非负数的性质知，。答案为a a() 0 x 20C。 例 5 若 b0，化简的结果是（ ）ab3 Ab abB babCbabD b ab. 解题策略：紧紧抓住二次根式被开方数必须是非负数，由二次根式的性质 aaa aa aabab bb ab23200 | |()()知 答案为：C 三、最简二次根式三、最简二次根式 例 6 把二次根式化成最简二次根式为_。xyxy() 0 例 7 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） AxBx yCD.22511205 解题策略：最简二次根式必须满足下列两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例 6 的答案为：，例 7 的答案为：A。xy 四、同类二次根式四、同类二次根式 例 8 在下列二次根