2024-2025学年高考数学一轮复习专题6.5数列的综合应用知识点讲解文科版含解析

专题6.5数列的综合应用【考情分析】1.理解等差数列、等比数列的概念，驾驭等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用。2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题。【重点学问梳理】学问点一等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义＝常数＝常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：⇔为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(5)为等比数列，且，那么数列(，且)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：()⇔为等比数列(3)通项公式法：(均是不为0的常数，)⇔为等比数列(4)为等差数列⇔(总有意义)为等比数列性质(1)若，，，，且，则(2)(3)SKIPIF1<0，…仍成等差数列(1)若，，，，且，则(2)(3)等比数列依次每项和()，即SKIPIF1<0，…仍成等比数列前n项和时，；当时，或.学问点二数列求和1.等差数列的前n和的求和公式：.2．等比数列前n项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3.数列前n项和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差数列中，；③等比数列中，.【典型题分析】高频考点一数列在数学文化与实际问题中的应用【例1】(2024·重庆八中模拟)某地区2024年人口总数为45万．实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下改变：从2024年起先到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年起先到2038年，每年人口总数为上一年的99%.(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式(注：2024年为第一年)；(2)若“二孩”政策实施后的2024年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则接着实施，问到2038年结束后是否须要调整政策？(参考数据：0.9910≈0.9)【解析】(1)由题意知，当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，可得an＝45.5＋0.5×(n－1)＝0.5n＋45，则a10＝50；当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，则an＝50×0.99n－10.故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5n＋45，1≤n≤10，,50×0.99n－10，11≤n≤20.))(2)设Sn为数列{an}的前n项和．从2024年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈972.5.所以“二孩”政策实施后的2024年到2038年人口平均值为eq\f(S20,20)≈48.63，则eq\f(S20,20)＜49，故到2038年结束后不须要调整政策．【方法技巧】数列实际应用中的常见模型(1)等差模型：假如增加(或削减)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差．(2)等比模型：假如后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：假如题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的改变而改变，则应考虑考查的是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．【变式探究】（2024·安徽省铜陵中学模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”依据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果实行“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．【答案】3【解析】由题意得，蒲草的高度组成首项为a1＝3，公比为eq\f(1,2)的等比数列{an}，设其前n项和为An；莞草的高度组成首项为b1＝1，公比为2的等比数列{bn}，设其前n项和为Bn.则An＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))，Bn＝eq\f(2n－1,2－1)，令eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝eq\f(2n－1,2－1)，化简得2n＋eq\f(6,2n)＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝eq\f(lg6,lg2)＝1＋eq\f(lg3,lg2)≈3，即第3天时蒲草和莞草高度相同。高频考点二等差数列与等比数列的综合问题【例2】(2024·高考北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.【解析】(1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.(2)因为ea1＝eln2＝2，eq\f(ean,ean－1)＝ean－an－1＝eln2＝2，所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×eq\f(1－2n,1－2)＝2(2n－1)＝2n＋1－2.【方法技巧】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和须要先求出通项、求通项须要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的依次．(2)留意细微环节：在等差数列与等比数列综合问题中，假如等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细微环节对解题的影响也是巨大的．【变式探究】（2024·江西省瑞昌市其次中学模拟）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11＝2(Sm－Sn)(m＞n＞0，m，n∈N*)，则m＋n的值是.【解析】设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a2，a5，a11成等比数列，所以aeq\o\al(2,5)＝a2a11，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，解得a1＝2d，又a11＝2(Sm－Sn)(m＞n＞0，m，n∈N*)，所以2ma1＋m(m－1)d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，化简得(m＋n＋3)(m－n)＝12，因为m＞n＞0，m，n∈N*，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,m＋n＋3＝12))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝2，,m＋n＋3＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2)))(舍去)，所以m＋n＝9.高频考点三数列与函数、不等式的综合问题【例3】(2024·湖北黄冈中学模拟)设函数f(x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,x)，正项数列{an}满意a1＝1，an＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))，n∈N*，且n≥2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，求证：eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋eq\f(1,a3a4)＋…＋eq\f(1,anan＋1)<2.【解析】(1)由an＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))，所以an＝eq\f(1,2)＋an－1，n∈N*，且n≥2，所以数列{an}是以1为首项，以eq\f(1,2)为公差的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋1,2).(2)证明：由(1)可知eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(4,（n＋1）（n＋2）)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))，Sn＝eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋eq\f(1,a3a4)＋…＋eq\f(1,anan＋1)＝4[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)))…＋(eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2))]＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,n＋2)))＝2－eq\f(4,n＋2)<2，得证．【方法技巧】数列与其他学问交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象探讨数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解题时要留意数列与函数的内在联系，驾驭递推数列的常见解法．(2)数列与不等式的交汇问题①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特别赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最终的结果放缩得到；③比较方法：作差或者作商比较．【变式探究】(2024·湖南岳阳一模)曲线y＝eq\f(n,2)x＋lnx(n∈N*)在x＝eq\f(2,n)处的切线斜率为an，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n项的和为．【解析】对y＝eq\f(n,2)x＋lnx(n∈N*)求导，可得y′＝eq\f(n,2)＋eq\f(1,x)，由曲线y＝eq\f(n,2)x＋lnx(n∈N*)在x＝eq\f(2,n)处的切线斜率为an，可得an＝eq\f(n,2)＋eq\f(n,2)＝n.所以eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n项的和为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).【答案】eq\f(n,n＋1)【举一反三】(2024·浙江杭州模拟)已知数列{an}，{bn}满意a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则a5＝，b10＝．【解析】因为an，an＋1是函数f(x)＝x2－