2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1.2事件的关系和运算同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价三十九事务的关系和运算(15分钟30分)1.一个射手进行一次射击,事务A:命中环数大于8;事务B:命中环数大于5,则 ()A.A与B是互斥事务B.A与B是对立事务C.A⊆BD.A⊇B【解析】选C.事务A:命中环数大于8即命中9或10环;事务B:命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环,故A⊆B.2.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事务A,则A的对立事务是 ()A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品C.至少抽到2件正品D.至多抽到1件次品【解析】选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2件,所以A的对立事务是抽查10件产品中次品的数目最多有1件.【补偿训练】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列状况中是互斥而不对立的两个事务是()A.至少有一个红球;至少有一个白球B.恰有一个红球;都是白球C.至少有一个红球;都是白球D.至多有一个红球;都是红球【解析】选B.对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两事务可能同时发生,所以不是互斥事务;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事务,而任取2个球还有都是红球的情形,故两事务不是对立事务;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”明显是对立事务;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事务.3.从1,2,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述各对事务中,是对立事务的是 ()A.① B.②④ C.③ D.①③【解析】选C.从1,2,…,9中任取两数,包括一奇一偶、两奇、两偶,共三种互斥事务,所以只有③中的两个事务才是对立事务.4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事务A、B、C、D、E,则事务取出的是理科书可记为.

【解析】由题意可知事务“取到理科书”的可记为B∪D∪E.答案:B∪D∪E5.在投掷骰子试验中,依据向上的点数可以定义很多事务,如:A={出现1点},B={出现3点或4点},C={出现的点数是奇数},D={出现的点数是偶数}.求以上4个事务两两运算的结果.【解析】在投掷骰子的试验中,依据向上出现的点数有6种基本领件,记作Ai={出现的点数为i}(其中i=1,2,…,6).则A=A1,B=A3∪A4,C=A1∪A3∪A5,D=A2∪A4∪A6.A∩B=,A∩C=A,A∩D=.A∪B=A1∪A3∪A4={出现的点数为1或3或4},A∪C=C={出现的点数为1或3或5},A∪D=A1∪A2∪A4∪A6={出现的点数为1或2或4或6}.B∩C=A3={出现的点数为3},B∩D=A4={出现的点数为4}.B∪C=A1∪A3∪A4∪A5={出现的点数为1或3或4或5}.B∪D=A2∪A3∪A4∪A6={出现的点数为2或3或4或6}.C∩D=,C∪D=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6={出现的点数为1,2,3,4,5,6}.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品,设A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品有次品,但不全是次品},则下列结论中错误的是 ()A.A与C互斥 B.B与C互斥C.任何两个都互斥 D.任何两个都不互斥【解析】选D.由题意知事务A,B,C两两不行能同时发生,因此两两互斥.2.打靶3次,事务Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示 ()A.全部击中 B.至少击中1发C.至少击中2发 D.以上均不正确【解析】选B.A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事务中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.3.同时抛掷两枚匀称的骰子,事务“都不是5点且不是6点”的对立事务为 ()A.一个是5点,另一个是6点B.一个是5点,另一个是4点C.至少有一个是5点或6点D.至多有一个是5点或6点【解题指南】考虑事务“都不是5点且不是6点”所包含的各种状况,然后再考虑其对立事务.【解析】选C.设两枚骰子分别为甲、乙,则其点数的可能值包括以下四种可能:甲是5点且乙是6点,甲是5点且乙不是6点,甲不是5点且乙是6点,甲不是5点且乙不是6点,事务“都不是5点且不是6点”为第四种状况,故其对立事务是前三种状况.【误区警示】解答本题简单忽视依据两个骰子是否为5点或6点对全部可能出现的结果进行分析,导致错误.【补偿训练】抛掷一枚骰子,记事务A为“落地时向上的点数是奇数”,事务B为“落地时向上的点数是偶数”,事务C为“落地时向上的点数是3的倍数”,事务D为“落地时向上的点数是6或4”,则下列每对事务是互斥事务但不是对立事务的是 ()A.A与B B.B与CC.A与D D.C与D【解析】选C.A与B互斥且对立;B与C有可能同时发生,即出现6,从而不互斥;A与D不会同时发生,从而A与D互斥,又因为还可能出现2,故A与D不对立;C与D有可能同时发生,从而不互斥.4.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次放射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一炮弹击中飞机},D={至少有一炮弹击中飞机},下列关系不正确的是 ()A.A⊆D B.B∩D=C.A∪C=D D.A∪B=B∪D【解析】选D.“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中其次枚没中或第一枚没中其次枚击中,“至少有一炮弹击中飞机”包含两种状况:一种是恰有一炮弹击中,一种是两炮弹都击中,所以A∪B≠B∪D.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中随意抽取5件,现给出以下四个事务:事务A:“恰有一件次品”;事务B:“至少有两件次品”;事务C:“至少有一件次品”;事务D:“至多有一件次品”.则选项中结论正确的是 ()A.A∪B=C B.D∪B是必定事务C.A∪B=B D.A∪D=C【解析】选AB.A∪B表示的事务为至少有一件次品,即事务C,所以A正确,C不正确;D∪B表示的事务为至少有两件次品或至多有一件次品,包括了全部状况,所以B正确;A∪D表示的事务为至多有一件次品,即事务D,所以D不正确.6.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事务“两球都为白球”互斥而非对立的事务是 ()A.两球都不是白球B.两球恰有一个白球C.两球至少有一个白球D.两球都是黑球【解析】选ABD.依据题意,结合互斥事务、对立事务的定义可得,选项A,事务“两球都为白球”和事务“两球都不是白球”不行能同时发生,故它们是互斥事务.但这两个事务不是对立事务,因为它们的和事务不是必定事务.选项B,事务“两球都为白球”和事务“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事务.选项C,事务“两球都为白球”和事务“两球至少有一个白球”可能同时发生,故它们不是互斥事务;选项D,事务“两球都为白球”和事务“两球都是黑球”是互斥而非对立事务.三、填空题(每小题5分,共10分)7.下列各对事务:①运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”;②甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;③甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”;④甲、乙两运动员各射击一次,“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”.其中是互斥事务的有,是包含关系的有.

【解析】①甲射击一次“射中9环”与“射中8环”不能同时发生,是互斥事务;②甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”不是同一试验的结果,不探讨包含或互斥关系;③甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不能同时发生,是互斥事务;④甲、乙两运动员各射击一次,“至少有一人射中目标”,即“甲射中目标但乙没有射中目标”或“乙射中目标但甲没有射中目标”或“甲、乙都射中目标”,具有包含关系.答案:①③④8.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中随意取出3件,设E表示事务“3件产品全不是次品”,F表示事务“3件产品全是次品”,G表示事务“3件产品中至少有1件次品”,则下列四个结论正确的是.(填序号)

①F与G互斥②E与G互斥但不对立③E,F,G随意两个事务均互斥④E与G对立【解析】由题意得事务E与事务F不行能同时发生,是互斥事务;事务E与事务G不行能同时发生,是互斥事务;当事务F发生时,事务G肯定发生,所以事务F与事务G不是互斥事务.故①,③错.事务E与事务G中必有一个发生,所以事务E与事务G对立,所以②错误,④正确.答案:④四、解答题(每小题10分,共20分)9.在掷骰子的试验中,可以定义很多事务.例如,事务C1={出现1点},事务C2={出现2点},事务C3={出现3点},事务C4={出现4点},事务C5={出现5点},事务C6={出现6点},事务D1={出现的点数不大于1},事务D2={出现的点数大于3},事务D3={出现的点数小于5},事务E={出现的点数小于7},事务F={出现的点数为偶数},事务G={出现的点数为奇数},请依据上述定义的事务,回答下列问题.(1)请举出符合包含关系、相等关系的事务.(2)利用和事务的定义,推断上述哪些事务是和事务.【解析】(1)因为事务C1,C2,C3,C4发生,则事务D3必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3,C3⊆D3,C4⊆D3.同理可得,事务E包含事务C1,C2,C3,C4,C5,C6;事务D2包含事务C4,C5,C6;事务F包含事务C2,C4,C6;事务G包含事务C1,C3,C5.且易知事务C1与事务D1相等,即C1=D1.(2)因为事务D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5,E=F+G,E=D2+D3.10.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参与演讲竞赛,推断下列每对事务是不是互斥事务,假如是,再判别它们是不是对立事务.(1)恰有1名男生与恰有2名男生;(2)至少有1名男生与全是男生;(3)至少有1名男生与全是女生;(4)至少有1名男生与至少有1名女生.【解题指南】判别两个事务是否互斥,就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事务是否对立,就要考察它们是否必有一个发生.【解析】(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不行能同时发生,所以它们是互斥事务;当恰有2名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事务.(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事务.(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不行能同时发生,所以它们互斥;由于它们必有一个发生,所以它们对立.(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事务.1.假如事务A,B互斥,那么 ()A.A∪B是必定事务 B.QUOTE∪QUOTE是必定事务C.QUOTE与QUOTE肯定互斥 D.QUOTE与QUOTE肯定不互斥【解析】选B.用集合表示法中的“Venn图”解决比较直观,如图所示,QUOTE∪QUOTE=I是必定事务.2.从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担当班长,其中1,3,5号同学为男生,2,4,6号同学为女生,记:C1=“选出1号同学”,C2=“选出2号同学”,C3=“选出3号同学”,C4=“选出4号同学”,C5=“选出5号同学”,C6=“选出6号同学”,D1=“选出的同学学号不大于1”,D2=“选出的同学学号大于4”,D3=“选出的同学学号小于6”,E=