奥数-得分问题

1、循环赛得分（17年9月3日）10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。比赛结果中，有2个队并列第一，2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。请问各队得分各是多少？ 该题目属于循环赛得分问题，解题思路可化为以下三道题目： 题目一（简单）10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。比赛结果中，有2个队并列第一。请问排第一的队可能得18分么？ 题目二（中等难度）10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。比赛结果中，有2个队并列第一，2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、9、10且得分不同

2、。请问排名前6的队得分可能是15、16、17么？ 题目三（进阶思考,华杯赛真题）10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。比赛结果中，有2个队并列第一，2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。请问各队得分各是多少？ 以下为答案：题目一：答:不可能。10个队循环比赛，每个队比赛9场，得分最高为18，最低为8。要得18分，必须9场全胜。现在有2个队并列第一，这2个队之间必定有胜有败，不可能都是9场全胜，因此，第一名得分不可能是18分。 题目二：答: 不可能。从题目一知道，最高得分18分，最低9分，且没有队得到18。因此，得

3、分最低为9，最高17。又总共比赛场数为45场，各队得分相加是45*3=135分，如果第一名17，第三名16，第五名15，那么得分前6的队总得分就是2*(15+16+17)=96,则剩下的4个队总得分就是135-96=39，而剩下的4个队最低得分为9，且得分不同，其和最小是9+10+11+12=42，矛盾。推荐精选所以，排名前6的队得分不可能是15、16、17。  题目三：答：两种情况：从低到高分别是9、10、11、13、14、14、15、15、17、17；或者9、11、12、13、14、14、15、15、16、16。从题目一知道，得分区间是9-17，从题目二知道，排名前6的

4、队得分不可能是15、16、17都有。因此，在15、16、17中，至少有1个不是排名前6的队的得分。此时，排名最后的4个队得分可选范围只能是9、10、11、12、13，又注意到，10个队的总得分135是奇数，前6的队的总得分是偶数，后4的队总得分只能是奇数。对前6的队的得分情况进行讨论：当17不是得分时，前6的队只能是14、15、16，后4的队得分是9、11、12、13，各队得分从低到高分别是9、11、12、13、14、14、15、15、16、16；当16不是得分时，前6的队只能是14、15、17，后4的队得分是9、10、11、13，各队得分从低到高分别是9、10、11、13、14、14、15、

5、15、17、17；当15不是得分时，前6的队只能是14、16、17，前6个队总得分94，后4个队总得分41，这是不可能的。得分问题（17年8月27日）某次考试只有判断题、选择题、填空题三种类型，每种类型的题目各100道。判断题每题1分，选择题每题2分，填空题每题5分。每道题目要么得0分，要么得全部分。小明得了100分，请问小明的答题情况有多少种可能。 该题目属于得分问题，与零钱凑整问题属于同一类问题。解题思路可化为以下三道题目： 题目一（简单）某次考试只有判断题、选择题两种类型，每种类型的题目各100道。判断题每题1分，选择题每题2分。每道题目要么得0分，要么得全部分。小明

6、得了10分，有多少种不同的答题情况？ 题目二（中等难度）某次考试只有判断题、选择题两种类型，每种类型的题目各100道。判断题每题1分，选择题每题2分。每道题目要么得0分，要么得全部分。小明得了n分，n为不大于100的正整数，当n为偶数时有多少种答题情况，当n为奇数时又有多少种答题情况？ 题目三（进阶思考,华杯赛真题）某次考试只有判断题、选择题、填空题三种类型，每种类型的题目各100道。判断题每题1分，选择题每题2分，填空题每题5分。每道题目要么得0分，要么得全部分。小明得了100分，请问小明的答题情况有多少种可能。  推荐精选以下为答案：题目一：答:6种

7、。按正确的2分题目的个数来考虑，2分最少0个，最多5个，共6种可能。1分题目只是作为2分题目的补充，所以，共6种可能。 题目二：答:n为偶数时，n/2+1种可能；n为奇数时，(n+1)/2种可能。类似于题目一的做法，还是考虑正确2分题目的个数，n为偶数时，2分最少0个，最多n/2个，n/2+1种可能；n为奇数时，2分最少0个，最多(n-1)/2个, (n+1)/2种可能。 题目三：答:541种。考虑正确5分题目的个数，最少为0个，最多为20个。0-20中的，奇数有10个，偶数有11个。5个数为奇数时，1分与2分钱需凑成的数也是奇数，偶数亦然。利用题目二的结论，当5分个数为奇

8、数时，需要凑成的数是5、15、25、95，对应的凑法种类分别是：3、8、13、48，和是255=10*(3+48)/2；当5分个数为偶数时，需要凑成的数是0、10、20、100，对应的凑法种类分别是：1、6、11、51，和是286=11*(1+451)/2。所以，不同的答题种数为255+286=541种。比赛得分问题（17年6月5日）足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜者得3分，输者得0分，踢平二者各得1分。若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、7分、8分。请问：E最多得多少分，最少得多少分？ 该题目属于比赛得分问题,解题思路可化为以下三道题

9、目： 题目一（简单）足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜者得3分，输者得0分，踢平二者各得1分。请问5个队的总分相加最多是多少分？ 题目二（中等难度）足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜者得3分，输者得0分，踢平二者各得1分。若A、B、C、D最终总分分别为1分、4分、7分、8分。请问：B可能的比赛结果是什么？ 推荐精选题目三（进阶思考,华杯赛真题）足球比赛A、B、C、D、E共5个队进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜者得3分，输者得0分，踢平二者各得1分。若A、B、C、D最终总分分别为

10、1分、4分、7分、8分。请问：E最多得多少分，最少得多少分？ 以下为答案：题目一：答:总得分之和最多30分。5个队单循环赛，共赛10场。每场比赛最多产生3分，共30分。 题目二：答:4场全平或1胜1平2负。因为4=1+1+1+1=3+1+0+0。 题目三：答:最多7分，最少5分。类似于题目二的分析，比赛结果是：A:1平3负；B:4平或1胜1平2负；C:3胜1平1负；D：2胜2平。此时，可以知道，比赛平的场次最多是5场，最少是3场。每平1场，总得分比题目一的30分少1分。因此，总得分最多27分，最少25分。所以，E的得分最多为：27-1-4-7-8=7，E的得分最少

11、为：25-1-4-7-8=5。得分问题（17年4月12日）数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分。参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？ 这道题属于比赛得分问题，奥数常见考点，解题过程需要用到两种知识：(1)鸽笼原理;(2)排列组合算法。上述问题的解题思路可化为以下三道题目： 推荐精选题目一（简单）数学竞赛，填空题5道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题3道，答对1道，得7分，未答对，得0分。总共有多少种得分？ 题目二（中等难度）数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6

12、道，答对1道，得7分，未答对，得0分。如果两个人得分相同，但他们答卷情况并不相同，这样的得分可能有哪些？ 题目三（进阶思考，华杯赛真题）数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分。参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？  以下为答案：题目一：答：24种。该题是简单的排列组合问题，填空题得分有6种可能，问答题得分有4种可能，得分相加也不会出现重复的状况。所以，共有24种可能。 题目二：答:6种得分可能出现题目中的情况，28、32、35、39、42、46。在得分相同但答对题目类别不同时，假设同学甲

13、答对了a道填空题，b道问答题，同学乙答对了m道填空题，n道问答题，二人得分相同。则4*a+7*b=4*m+7*n,其中a、b不大于8，m、n不大于6。化简有4(a-m)=7(n-b)，即：(a-m)=7；(n-b)=4满足条件的a有2个：7、8满足条件的b有3个：0、1、2组合以后共6种情况：此时对应的得分为28、32、35、39、42、46。 推荐精选题目三：答:8。第一步，先计算不同得分的个数：填空题有9种可能，问答题有7种可能，但从题目二的分析知道，会出现6种情况的答题情况不同，但得分相同。故，不同的得分数为7*9-6=57。第二步,应用鸽笼原理，总共400个学生，有57种得分

14、，因为57*7<400<57*8，所以，得分相同的学生数至少为8。循环赛得分问题 （17年10月20日）足球比赛，4个队进行单循环赛，即每个队都和剩余的3只队各赛一场。胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分。比赛结束后，4个队的得分恰好是4个连续的自然数。请问排名第一的队赢了哪几个队？ 答案：赢了排名第二的队。 讲解思路：解答这种类型的问题，关键在于求各队的得分。为此需思考四个问题：一是4个队得分的总和满足什么条件；二是4个队得分的总和可能是多少；三是4个队得分各是多少；四是根据得分如何判断相互的输赢情况。 步骤1：先思考第一个问题，4个队循环赛，共

15、赛4*3/2=6场。每场比赛中参与的两个队要么都平，要么一输一赢，这两个队总得分要么是2分，要么是3分因此，6场比赛的总得分范围在12-18之间。 步骤2：再思考第二个问题，4个连续的自然数，如果最小的是n，这4个数的和是4n+6，其范围是12-18，因此4n的范围在6-12之间，故n=2或3，推荐精选此时总得分可能是14或18。 步骤3：再思考第三个问题，对总得分进行讨论：(1)当总得分是18时，这4个队的得分是3、4、5、6，但根据第一个问题的分析，总分18必须每场都分胜负，不能有平局，这与有球队得分为4矛盾。(2)当总得分是14时，无矛盾，所以，这4个队的得分是2、3

16、、4、5。 步骤4：综合上述几个问题，第一名：得5分，5=3+1+1，1胜2平；第二名：得4分，4=3+1，1胜1平1负；第四名：得2分，2=1+1，2平1负，注意到有1胜必1负，故第三名：得3分，只能是3局全平。对第二名来说，除了其自身外，有胜绩的队只有第一名，所以，第一名赢了第二名。 思考题：在原题中条件不变的基础上，请问第四名输给第几名？循环赛得分问题 （17年10月25日）足球比赛，若干个队进行单循环赛，即每个队都和剩余的队各赛一场。胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分。比赛结束后，前4名的队得分是8、7、5、4。请问总共多少只队？ 答案：6。

17、0;讲解思路：解答这种类型的问题，关键在于考虑比分。为此需思考两个问题：一是n个队总共会产生多少比分；二是最多可能会有多少个队。 步骤1：先思考第一个问题，不管结果如何，每一场比赛都产生2分的总得分。n个队共赛n(n-1)/2场，推荐精选总得分是n(n-1)。 步骤2：再思考第二个问题，注意到前4名得分8、7、5、4，第5名以后得分最多是3分，则有n只队的总得分不大于8+7+5+4+3(n-1)即n(n-1)<= 24+3(n-1)当n>=7时，不可能满足,故n小于7. 步骤3：综合上述两个问题，由于n>=4,故对n讨论即可：当n=4,总得分应为

18、12，矛盾；当n=5,总得分应为20，矛盾；当n=6,可行。所以，共6只球队。 思考题：原题目中条件不变，请问最后一名得分多少？比赛得分问题（18年6月9日）拔河比赛是没有平局的。有10个队进行拔河循环赛，每两个队之间都只拔一场。每场比赛胜者得1分，负者得0分，如果有几个队得分相同，用抽签决定排名。比赛结束后，第一、二名得分相同，第三、四名得分相同，第五、六名得分也相同。其余4个队得分各不相同。请问第三名得多少分？ 讲解思路：这一道比赛得分问题，需要用到的是范围控制的思想。 步骤1：先思考第一个问题，排名第一第二的两个队可能得9分么？每个队都是拔9场，如果有一个队

19、得9分，一定是胜了其余所有队，推荐精选现在第一第二得分相同，彼此之间一定有胜负关系，不可能同时得9分。 步骤2：再思考第二个问题，排名前6的队得分可能是8、7、6么？由于总共比赛场次是10*9/2=45场，总得分就是45。如果排名前6的队得分是8、7、6，这6个队总得分就是2*(8+7+6)=42，剩下4个队总得分只能是3分，这与剩下4个队得分不同矛盾。因此排名前6的队得分不是8、7、6，也就是说剩下4个队得分都比5分少。 步骤3：再思考第三个问题，第三名得分是多少？结合步骤1、2的结论知道，最后4个队的得分在0、1、2、3、4中，而前6个队伍的总得分是偶数，注意到10个队

20、总得分45是奇数，故最后4个队得分和是奇数，因此最后4个队得分是0、1、2、4或0、2、3、4。分别对此讨论:(1)当最后4个队得分0、1、2、4，前6个队的总得分是45-0-1-2-4=38，其得分只能是8、6、5,此时排名第三的队得6分；(2) 当最后4个队得分0、2、3、4，前6个队的总得分是45-0-2-3-4=36，其得分只能是7、6、5,此时排名第三的队得6分。推荐精选不管是哪种情况，排名第三的队都是6分。 思考题：拔河比赛是没有平局的。有10个队进行拔河循环赛，每两个队之间都只拔一场。每场比赛胜者得2分，负者得1分，如果有几个队得分相同，用抽签决定排名。比赛结束后，第一、二名得分相同，第三、四名得分相同，第五、六名得分也相同。其余4个队得分各不相同。请问第三名得多少分