一阶导数应用

1、一阶导数应用1、函数的极值P82,定义：如在x0邻域内，包有f x f x0 , f x f x0 ,则称f x0为函数f x的一个极大(小)值可能极值点，f/ x不存在白t点与f/ x 0的点。(驻点)驻点一极值点判别方法P82, i、导数变号。/11、f x0,f(x0) 0极小值f(x0) 0极大值例1、 设y f x满足关系式y/ 2y/ 4y 0,且fx 0,f/ x00,贝Uf x在x0点处AA 、取得极大值B 、取得最小值C 、在x。某邻域内单增D、在x。某邻域内单减_ 一/2.例2、 已知函数f x对一切x酒足xf x 3x f x 1 e如f/ x00, x0 0 ,贝U A

2、_A、f x0是f x的极小值B、f x0是f x的极大值C 、x0、f x0是曲线的拐点D 、f x0不是f x的极值，x0、f x0也不是曲线y f x的拐点例3、 设函数f x在x 0的某邻域内可导，且f / 00,f/(x)1lim31,则f 0是f x的极大俏。x 0 sin x22、函数的最大值与最小值(1)求出a, b内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的(小)为最大 (小)值。(2)在a, b内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值如是极大值则为最大值如f 0( 0),f(a) f(b)分别为最小，最大值(4)实际问题据题意可

3、不判别。例1、在抛物线y 4 x2上的第一象限部分求一点 P,过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解:设切点为Px, y ,切线方程为2x X xX Y2 A2x 4 x22x三角形面积：S(x)1 (x22/1(x32x 48x16),S/(x)4(3x28Tx),令 S/(x)2x 3(唯一)S/( 2S( 323, y2 8、(，一)为所求点3 33、曲线的凹凸、拐点及渐近线在I上f x可导如f/ x 0 0则曲线y f x是凹(凸)的, 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。可能的拐点f/ x 0和f/ x不存在的点x 1 3.例1、设f x 2,试讨论f x的

4、性态。xf/(x)(x-1)23x2), f(x)"xxf/(x)0 x 1, x -2, f / (x)0, x 1x(-°0,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+ °°)y+0-问 断+0+y-0+y单调增 上凸极大值f 2274单减 上凸单增 上凸拐点(1,0)单增 下凸渐近线 如lim f(x) a 则称y a为水平渐近线 x如lim f(x) 则称xx0为垂直渐近线x x02x 1例2、求 y 2渐近线(斜渐近线不讨论)(x 1)2x 1解： lim2 0y 0为水平渐近线x (x 1)22x 1lim2x 1垂直渐近线x 1 (x 1

5、)2例4、曲线y(x 1)(x 2)的渐近线有工条4 证明不等式(1)利用中值定理(R, L);(2)利用函数单调性；(3)利用最值；(4)引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式;(5)利用函数凹凸性；(6)利用泰勒公式。b a . b b a例1、 当0 a b,试证：lnb a a口口 1 Inb Ina 1 b b a a证： 设 y Inx ,在a,b连续，(a,b)可导，由拉格朗日中值定理一， 1ln b lna 1,In b In a -(b a),即a bb a1 In b lna 1b b a aXln(1 x)工例2、设X0,证明ln(1 x)证：设f(x) Xln(1x)f

6、/(x)f(x)单增，当Xf(x)f(0) 0ln(1 x)设 f (x) ln(1x)/1f (X) 1 X(1 X)22 x(1 x)2f(x)单增，当X 0 f (X) f(0)例3、当x 0证明x2 1 ln x证：令 f(x) x2 1 In x (x 0)f/(x)2x2驻点唯f/(x) 0/1f (x) x 0 x一，1、，f(7)极小2，1、.f (7)为最小值21 31._即 x 0 f (x) f-ln2 02 22例4、P91 , 习题22当 0 x 1 p 1证明 21p xp 1 x p 1证：设f x xp 1 x p 0 x 1 /p 1p 1f x px p 1 x/-1令 f x 0 , x -驻点唯一21 1,f 0 f 11 , f 121 p2 2p1.1当 p 1 , 1 f - f x 在 0,1 上 2p1最大值为1 ,最小值为21p221 p xp 1 p 1例5、设e,证明证明：即证ln lnln x/i1 In x x e , f x xf x单减当In In例6、设f x在0,c上可导，且f1 x单调减，f 0 0证明：fab f a f b ,0a bab