【常考题】高中必修一数学上期末试题含答案

1、【常考题】高中必修一数学上期末试题含答案、选择题已知f(x)在R上是奇函数，且2 .f(x 4) f(x)，当 x (0,2)时，f(x) 2x,则 f(7)A.-2B. 2C.-98D. 982.已知a10g2e, b ln2 , ca, b, c的大小关系为A.B.C.D.3.设集合x|2x 1y |y10g3X,XA.0.1B.0.1C.0.1D.0.14.已知a5b163，则()A.B.C.cabD.5.已知函数yf (x)(xR)满足f(x1) f(x) 0,若方程f(x)12x 1有 2022个不同的实数根x (i 1,2,3|,2022)A.1010B.x2 x3 "

2、x20222020C.1011D.20226.已知函数yf(x)是偶函数，y f(x 2)在0,2是单调减函数，则(A.f( 1)f (2) f (0)B. f( 1)f(0)f(2)C.f(0)f( 1) f(2)D. f(2)f( 1)f(0)7.f x是定义为R的偶函数，且f x对任意的都有x 2且当x1x 2,0 时，f x 22,6内关于x的方程floga x 20(a 1恰好有3个不同的实数根，则a的取值范围是A.1,2B.2,C.D.3-4,28.定义在7,7上的奇函数f x ,当0 x7时，f x 2xx 6,则不等式x0的解集为A.2,7B.2,02,7C.2,02,D.7,

3、 22,79.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nta 一ae，假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，右再过 mmin甲桶中的水只有 一升,4则m的值为()A. 10B. 9C. 8D. 510 .已知函数f(x)=x(ex+ae')(xC R),若函数f(x)是偶函数，记a=m,若函数f(x)为奇函数，记 a=n,则m+2n的值为()A. 0B. 1C. 2D. - 111 .已知全集 U=1, 2, 3, 4, 5, 6,集合 P=1, 3, 5, Q=1, 2, 4,则 Q P) Q =A. 1B.3,5C. 1, 2, 4, 6D. 1

4、, 2, 3, 4,512 .下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是A. yB.ycosxC. y ln(x 1)D. y 2 x1 x二、填空题13 . f (x)是 R上的奇函数且满足 f (3 x) f (3 x),若 x (0,3)时，f (x) x lg x , 则f(x)在(6, 3)上的解析式是.14 .已知函数f x 之J"“，x °，若存在互不相等实数a、r c、d,有x2 2x 1, x 0f a f b f c fd,则abcd的取值范围是.15 .已知函数f (x) 10g2x,定义f (x) f (x 1) f(x),则函数 F(x) f (x

5、) f(x 1)的值域为.2x 2x, x 016 .右函数f x为奇函数，则f g 1.g x , x 017 .已知二次函数f x ,对任意的x R，恒有f x 2 f x 4x 4成立，且f 00.设函数g x f x m m R .若函数g x的零点都是函数h xf f x m的零点，则h x的最大零点为 .18 .高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子”的称号，他和阿基米德？牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的高斯函数”为：设x R ,用x表示4, 2,72.已知函数不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如：3,42ax1f(x)1,则函数y f (x)的值

6、域是1 ex 519.已知 a>b> 1.若 logab+logba=； , ab=ba,则 a=_ , b=20. f x sin cosx在区间0,2上的零点的个数是 三、解答题21.已知函数f (x)3x 13x 1(1)证明：f(x)为奇函数；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明;(3)求f (x)的值域.-),在同一个周期内, 222 .已知函数 f x = Asin x+（|）+B（A 0,0 ,当x 时，f x取得最大值3巨，当x 2一时 f x取得最小值 623(1)求函数f x的解析式，并求 f x在0,上的单调递增区间1 . A(2)将函数fx的图象向左平移一

7、个单位长度，再向下平移 UN个单位长度，得到函数 122g x的图象，方程g x a在0,y 有2个不同的实数解，求实数a的取值范围23 .已知集合A x 2 x 4 ,函数f xlog2 3x 1的定义域为集合 B.求a|Jb；(2)若集合C xm2xm1,且C A B ,求实数m的取值范围.24 .已知函数 f(x) 2x k 2 x, g(x) loga f (x) 2x (a 0且 a 1),且f(0) 4.(1)求k的值；(2)求关于x的不等式g(x) 0的解集；(3)若f(x) 上 8对x R恒成立，求t的取值范围.2x25 .已知函数 f(x)是二次函数，f( 1) 0, f(

8、3) f (1) 4 .(1)求f(x)的解析式；(2)函数h(x) f (x) ln(|x| 1)在R上连续不断，试探究，是否存在n(n Z),函数h(x) 在区间(n,n 1)内存在零点，若存在，求出一个符合题意的n ,若不存在，请说明由.26 .已知 f x2x1 a62 x a R .(1)若f x是奇函数，求a的值，并判断f x的单调性(不用证明)；(2)若函数y f x 5在区间(0,1)上有两个不同的零点，求 a的取值范围【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除、选择题解析：A【解析】f(x + 4) = f(x) ,，f(x)是以 4 为周期的周期函数，f(2 019) =f(5

9、04 X4+3) = f(3)=f( 1).又 f(x)为奇函数，f( 1) = f(1) =-2X1 2=- 2,即 f(2 019) =- 2.故选A2. D解析：D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果详解：由题意结合对数函数的性质可知：11a log2 e 1 b ln 2 0,1 , c log 1 - log 2 3 log 2 e,'log 2e2 3据此可得：c a b.本题选择D选项.点睛：对于指数哥的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因 哥的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方 法

10、.在进行指数哥的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根 据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数哥的大小的比较，利用图象法 求解，既快捷，又准确.3. B解析：B【解析】【分析】先化简集合A,B,再求bA得解.【详解】由题得 A x|2x1 20 x|x 1 , B y|y 0 .所以 Qa x|0 x 1.故选B【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4. C解析：C【解析】【分析】首先将b表示为对数的形式，判断出 b 0,然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性3比较3与

11、a,c的大小，即可得到 a, b, c的大小关系.2【详解】11因为 5，所以 b log 5 - log 51 0,44.13又因为 a log1 log3 4log3 3,log3 3T3 ,所以 a 1,-,34121 1c 3 3133 _又因为c 63，83 ,所以c -, 2 ,22所以c a b.故选：c.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般 .利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较5. C解析：C【解析】【分析】1,1 一1函数f x和y都关于一,0对称，所有f(x)的所有零点都关于2x 122x 1

12、1 _-,0对称，根据对称性计算 X1 X2 X3 I" X2022的值.【详解】:f X 1 f X 0 ,f X关于1,0对称， 2一 一 1，、一 1 _ 而函数y 也关于 一,0对称，2x 121 -1八 ,f x 的所有零点关于一,0对称，2x 12f x的 2022 个不同的实数根 X (i 1,2,3111,2022),2x 1有1011组关于1,0对称， 2x, x2 . x2022 101 1 1 101 1.故选：C【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型6. C解析：C【解析】【分析】先根据y f x 2在0,2是单调减函数，转

13、化出 y f x的一个单调区间，再结合偶函数关于y轴对称得0,2上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】i * y f x 2在0,2是单调减函数，令t x 2 ,则t 2,0 ,即f t在 2,0上是减函数y f x在 2,0上是减函数:函数y f x是偶函数，y f x在0,2上是增函数, f 1 f 1 ,则 f 0 f 1 f 2故选C【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础.7. D解析：D【解析】对于任意的xCR,都有f(x-2)= f(2+x),.函数f(x)是一个周期函数，且 T=4.x1又当x -2,0时,f(

14、x尸 1 -1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数，2若在区间(-2,6内关于x的方程f x loga x 20恰有3个不同的实数解，则函数y=f(x)与y= l0ga x 2在区间(-2,6上有三个不同的交点，如下图所示：又 f(-2)= f(2)=3 ,则对于函数y= loga x 2 ,由题意可得，当 x=2时的函数值小于 3,当x=6时的函数值大于3,即 log4 <3,且 log 8>3,由此解得：3/4<a<2,故答案为(34 ,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解8. B解析：B【解析

15、】【分析】当0 x 7时，f(x)为单调增函数，且f (2)0,则f(x) 0的解集为2,7 ,再结合f(x)为奇函数，所以不等式【详解】f(x) 0 的解集为(2,0)(2,7.当0 x 7时，f(x) 2xx 6,所以f(x)在(0,7上单调递增，因为2f(2)22 2 60,所以当0 x 7时,f(x)0等价于f (x)2x7,因为f (x) 且 f( 2)是定义在f(2)7,7上的奇函数，所以0,所以f(x) 0等价于f(x)0 时,f (x)在 f( 2),即 27,0)上单调递增,x 0 ,所以不等式f(x) 0的解集为(2,0)(2,7【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式

16、的解法，属基础题. 间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反.应注意奇函数在其对称的区9. D解析：D【解析】由题设可得方程组(m 5)nae5n2ae aemneaa ,由 2ae5n4联立两个等式可得5ne，代入mne5ne1212由此解得m 5,应选答案Do10. B解析：B【解析】试题分析:利用函数(x)=x (ex+aex)是偶函数，得到(x) =ex+aex为奇函数，然后利用 g (0)=0,可以解得函数f (x) =x (ex+aex)是奇函数，所以 g (x) =ex+aex为偶函数，可得n,即可得出结论.解：设g (x) =ex+aex,因为函数f (x) =x (e

17、x+aex)是偶函数，所以 g (x) =ex+ae义为奇函又因为函数f (x)的定义域为 R,所以g (0) =0,即 g (0) =1+a=0,解得 a=- 1,所以 m= - 1.因为函数f (x) =x (ex+aex)是奇函数，所以g (x) =ex+aex为偶函数所以(ex+aex) =ex+aex即(1 a) (ex ex) =0对任意的x都成立所以a=1,所以n=1,所以m+2n=1故选B.考点：函数奇偶性的性质.11. C解析：C【解析】试题分析：根据补集的运算得4P 2,4,6 , (up)Q 2,4,61,2,41,2,4,6 .故选 C.【考点】补集的运算.【易错点睛】

18、解本题时要看清楚是求“”还是求“否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误.12. D解析：D【解析】,一一一1 试题分析：y 在区间 1,1上为增函数；y cosx在区间 1,1上先增后减；1 xy ln 1 x在区间 1,1上为增函数；y 2 x在区间 1,1上为减函数，选 D.考点：函数增减性二、填空题13 .【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是 上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的 奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题解析：f(x) x 6 lg(x 6)【解析】【分析】首先根据题意得到

19、f(x 6) f(x),再设x ( 6, 3),代入解析式即可.【详解】因为f(x)是R上的奇函数且满足f (3 x) f(3 x),所以 f3 (x 3)f3 (x 3),即 f(x 6) f( x) f (x).设 x ( 6, 3),所以 x 6 (0,3).f (x 6) x 6 lg(x 6) f(x),所以 f (x) x 6 lg(x 6).故答案为：f (x) x 6 lg(x 6)【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题14 .【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义 求得的关系式将转化为来表示根据的取值范

20、围求得的取值范围【详解】不妨设 画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图一一 111斛析： -2, 4 1e e e【解析】【分析】 不妨设a,b 0,c,d 0 ,根据二次函数对称性求得 a b的值.根据绝对值的定义求得 c，d 的关系式，将d转化为c来表示，根据c的取值范围，求得 a b c d的取值范围.【详解】不妨设a,b 0,c,d 0,画出函数f x的图像如下图所示.二次函数yx2 2x 1的对称轴为x1,所以a b2.不妨设c d,则由|2 lnc |2 ln d得42 lnc 2 lnd,得cd e4,d J,结合图像可知1 2 lnc 2,解得 c4

21、443e43e -c e ,e ,所以 a b c d 2 c c e ,e ，由于 y 2 x 在 cxe 4111e ,e 上为减函数，故2 c 2, 1 .ceee本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题 15.【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式 可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当 且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【 解析：2,根据题意以及对数的运算性质得出一 .1F x log2 x 2 ,进而可由基本不等式可得

22、出 xlc，Lx 2 4,从而可得出函数F x的值域. x【详解】 由题意，F x 2 f x 1 f x 2log 2 x 1 log2 x,2-/x2x1,1c即 F x log2 log 2 x 2 ,xx由题意知,x 0,由基本不等式得 x 1x2,x 1 2 （当且仅当x 1时取等号），1 一 ,. . .所以x 2 4 （当且仅当x 1时取等号），即log 2所以 F x 的值域为2,故答案为：2,.【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.16 【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为解析： 15【解析】根据题意，当x 0

23、 时， f x g x , f x 为奇函数，2f g 1 f f 1 f f 1 f f 1 f 3(32 2 3)15，则故答案为15 .17 4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点解析： 4【解析】【分析】从而得到采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得a,b,代入f 00求得c,f x 解析式，进而得到g x , h；设X。为g X的零点，得到g X0h X00，由此构造0关于 m 的方程，求得m ；分别在0和 m3 两种情况下

24、求得hX 所有零点，从而得到结果 .【详解】设 fX2aX bXfXfXX2X2 c2aXbX4aX4a 2b 4X 44a4a2b又 f04XgX4Xm，4X4X设X0 为 gX 的零点，则X0X00，即02X04X02X0 4X02X04 X0m 0即m2 4m m 0，解得：当m 0时0或 m4xx2 4x4x x 4 x 22当mx2 4x的所有零点为x2 4x的所有零点为224 x 4x0,2,4x2 4x4x 34x 11,3,23综上所述：h x的最大零点为4故答案为：4【点睛】函数零点定义的本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、 应用等知识；解题关键是

25、能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量18 .【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题解析:1,0,1【解析】【分析】求出函数f (x)的值域，由高斯函数的定义即可得解x,f(x)2(1 e ) 2x x1 exI1 e20， e所以f(x)f (x)1,0,1 ,故答案为:1,0,1【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题19 .【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】 在解方程时要注意若没注意到方程的根

26、有两个由于增根导致错误解析：4 2【解析】152试题分析：设logba t,则t 1,因为t - t 2 a b2 , t 2因此 ab bab2b bb22b b2b 2,a 4.【考点】指数运算，对数运算.5【易错点睛】在解万程logab logba 时，要注意logba 1 ,若没注意到2. 5logb a 1 ,万程log a b logb a -的根有两个，由于增根导致错误20. 5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题解析：5【解

27、析】【分析】由x 0,2,求出 cosx的范围，根据正弦函数为零，确定 cosx的值，再由三角函数值确定角即可.【详解】 11cosx ,f x sin cosx 0 时，cosx 0,1, 1,3当x 0,2 时，cosx 0的解有,2 2cosx 1的解有 ，cosx 1的解有0,2 ,3 _故共有0,2 5个零点，22故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题三、解答题21. (1)证明见详解；(2)函数f(x)在R上单调递，证明见详解；(3) ( 1,1)【解析】【分析】(1)判断f(x)的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；(2)判断f(x)在R上单

28、调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；3x 1(2)由 f(x)-一 3x12rvr 2,可得3x>0 ,可得及3x13x12， 广的取值范围，可得3x 1【详解】证明：(1)易得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f (x)的值域.3 x 1 1 3x, 一 ，且 f ( x)1- f (x),故f(x)为奇函数;3 x 13x 1(2)函数f(x)在R上单调递增，理由如下:1>0，3x21>0，在 R 中任取 x.i< X2 ,贝U 3天-3x2 < 0，3x一3x1 1 3x2 1可信 f(x1) f(x2) 3 3r (122F)(1 )3国13x2

29、1(3x1制 3x2)<01)(3x2 1)故 f(xi) f(X2)<0,函数f (x)在R上单调递增;(3)由 f(x)3x 13x2.易得 3x>0, 3x 13x+1>1,，一 2 一故 0<< 2 ,3x 1故f(x)的值域为(-22<< 0 ,故-1 <13x 121 , 3x 11,1).【点睛】属于中档本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大, 题.22. (1) f x 2 sin 2x2 一,单调增区间为 0-,267T(1)由最大值和最小值求得由函数值(最大或最小值均可)A,B,求得由最大值

30、点和最小值点的横坐标求得周期，得 ,得解析式；(2)由图象变换得g(x)的解析式，确定g(x)在0,上的单调性，而g(x) a有两个2解，即g(x)的图象与直线y a有两个不同交点，由此可得.【详解】A由题意知_ 3.2B v，22A B 2解得 A . 2，B-222口一，可得36 22.解得所以由2k,一 2 sin 一 3,2sin 2x2x2k解得k0,x的单调增区间为0-,6(2)函数fx的图象向左平移 一个单位长度，再向下平移12二2个单位长度，得到函数2g x的图象，得到函数 g x的表达式为g x72 sin因为x 0,一,所以2x 2g(x)在0,是递增，在 , 一上递减,1

31、2 2要使得gx a 在 0,一 2上有2个不同的实数解,x的图像与ya有两个不同的交点,【点睛】本题考查求三角函数解析式,所以a考查图象变换，考查三角函数的性质.“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础.23. (1) x x 2 ； (2) 2,3【解析】【分析】(1)由对数函数指数函数的性质求出集合B,然后由并集定义计算;(2)在(1)基础上求出 ApB,根据子集的定义，列出m的不等关系得结论.1 0 ,解得x 0 , x x 0 .x x 2 .B x0 x 4 .A B ,2 0, 1 4.m 3,即m的取值范围是 2,3.由3x所以B(2)由 A因为C m所以m所以2本题考查

32、对数型复合函数的定义域，考查集合的交并集运算，考查集合的包含关系.正确 求出函数的定义域是本题的难点.24.(I)k 3； (2)当 a 1 时，x ,log23；当0 a 1 时，x log23,，13【解析】【分析】(1)由函数过点 0,4 ,待定系数求参数值；(2)求出g x的解析式，解对数不等式，对底数进行分类讨论即可(3)换元，将指数型不等式转化为二次不等式，再转化为最值求解即可【详解】(1)因为 f(x) 2x k 2 *且 f (0) 4,故：1 k 4,解得k 3. 因为g(x) loga f (x) 2x ,由(1),将f x代入得：g xloga(32 x?,则 loga(32 x? 0 ,等价于：当 a 1 时，3。2 x 1 ,解得 x ,log2 3当 0 a 1 时，3。2 x 1 ,解得 x 10g23,(3) f (x)0 8在R上恒成立，等价于：2x2x 2 8, 2x t 3 0 恒成立；令2x m,则m 0,，则上式等价于：m2 8mt 3 0,在区间0, 恒成立.即：t m2 8m 3,在区间0, 恒成立，一 22又 m 8m 3 m 413,故：2(m 8m 3)的最小值为：-13,故：只需t13即可.综上所述，t , 13 .【点睛】本题考查待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒成立问