概率有限元法及其应用PPT课件

1、5.1 概述 有限元法是一种求解许多工程问题近似解的数值分析方法，是在工程分析或固体力学中解决各种边值问题的一种方法 边值问题的解决主要有三类：平衡或定常问题、特征值问题以及动态及非动态问题。目前主要应用于第一类问题 目前有许多现成的程序可供使用，如ASKA，SAP5，ANSYS，MSC/NASTRAN，SUPERSAP，I-DEAS等 第1页/共44页5.1 概述 在常规的有限元分析中，通常是基于确定性参数。然而这些参数实际上都存在着不确定性，即存在着很大的统计随机性。为了解决这类问题，近十年来发展起来的概率有限元法(PFEM)或随机有限元法(SFEM)是解决此问题的一种有效方法 概率有限元

2、法的最初思路是Monte-Carlo法与有限元直接结合 目前，普遍使用的概率有限元法有三种：(1)Taylor展开随机有限元法(TSFEM)；(2)摄动随机有限元法(PSFEM)；(3)Neumann展开Monte-Carlo随机有限元法(NSFEM) 第2页/共44页5.2 概率有限元法 线性有限元方程为 fKu 刚度矩阵为 dDBBKT应变矩阵、材料性能矩阵、结点位移矩阵和结点作用力矩阵 若将整个方程中的物理量分解成随机变量的均值和偏差两部分，则有 第3页/共44页5.2 概率有限元法 FFUUKK展开可得 ffuKuKuKuK式中 uK变量的偏差二阶微量，与其它项相比可以忽略不计故上式可

3、用如下两式表示 fuKuKfuK具有均值的确定性有限元问题 第4页/共44页5.2 概率有限元法 式(5-6)可以改写成 qKu1uKfq由式(5-7)可得位移向量的协方差的如下近似公式 TKuKfKu)(11CovCovCov有限元分析中的单元应力计算 DBu可以将应力，材料弹性矩阵D及位移u写成均值和偏差值为)()(uuBDD第5页/共44页5.2 概率有限元法 为简单起见，将式中B认为是确定性矩阵，略去二阶微量可得应力均值和应力偏差分别为 uBDuDBuBD各应力分量之间的协方差矩阵为 TTuBDuDBuBDuBD)(CovTuDBuDBTuDBuBD第6页/共44页5.3 概率有限元控

4、制方程的建立 摄动概率有限元法(PSFEM) 假定随机变量在均值处产生微小摄动，利用Taylor级数把随机变量表示为确定部分和由摄动引起的随机部分，从而将有限元位移的支配方程转化为一组线性的递推方程 由于任何随机变量都可以引入摄动量，因此PSFEM法易于考虑非线性问题，它的适用范围更广。它只需一次形成刚度矩阵，一次对刚度矩阵求逆，因此计算效率较高，但需要以微小的摄动量为条件 第7页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立假设结构的某一参数Z是随机扰动的，对该参数建立即将Z表示为确定部分和随机部分之和 随机模型后，其扰动量可以用一个随机小参数来表示1ZZ均值为零的随机场，维数为n 将式(5-1

5、)中的刚度矩阵 K位移列阵 u荷载列阵 f在 Z的均值处按泰勒级数展开，并略去二阶以上项，有 第8页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立ninijiijniiiKKKK11121ninijiijniiiffff11121ninijiijniiiuuuu11121其中，Kuf分别表示刚度矩阵K、位移列阵u、载荷ij表示对ij求偏导数 列阵f的均值矩阵，它们是确定性量；K、u、f中的下标第9页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立将式(5-16)、(5-17)、(5-18)带入控制方程(5-1)，可得如下递归方程组 fuKuKfuKiiiuKuKuKfuKijijjiijij).2 ,

6、1,(nji利用式(5-19)可以求得确定性位移 u代入式(5-20)的右端，可解得位移的一阶变量 iu代入式(5-21)的右端，解得位移的二阶变量 iju第10页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立由此可以分别得出二阶位移的均值和协方差的计算公式为 ninjjiaauu11,21EuEij jinijnjiaauuu,11EVarljkikjliklninjnknlijaaaaaaaauu,411111EEEE第11页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立进一步，由应力的二阶泰勒级数展开式和应力-位移关系，可以得到单元应力的均值和协方差的计算公式为 nknlilkikililiki

7、lkiiiiiiBaaDaBaDaBaDaaBDuBD112221ElklinknlkiiikilkiiaaauaBDBaDaaau,11EElknknllkiiiaaaauBD,21112E第12页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立nknlkiiiikiiiikijiauBDuaBDuBaD11,CovlkjljjljjjjjljaauaBDauBDuBaD,E式中上标 ji,表示单元号 第13页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立Taylor展开概率有限元法(TSFEM) 该法的基本思路是将有限元格式中的控制量在随机变量均值点处进行Taylor展开，经适当处理得出所需计算公式

8、 设基本随机变量为 TnXXXX, 21在基本随机变量的均值点 TnXXXX,21处进行Taylor展开,取至二次项得 jiXXninjjiXXniidXdXXXKdXXKKK112121第14页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立jiXXnjjininiiXXiXXXXuXXuuuddd121121jiXXnjjiniiXXniidXdXXXfdXXfff121121将式(5-25)、(5-26)、(5-27)代入控制方程(5-1)中得如下递归方程组 fuKuKfuKiiiuKuKuKfuKijijjiijij),.2 , 1(ni 求法同前第15页/共44页5.3 概率有限元控制方程

9、的建立由此可以分别得出二阶位移的均值和协方差的计算公式为 ninjjiXXjiXXXXuuu112,21CovE jiXXnijXXnjiXXXuXuujii,11CovVar同样将应力在均值点处进行Taylor展开得jiXXnjijiiniXXiXXXXXXii,211,21Covd第16页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立两边取均值得 jiXXninjjiXXXX,21112CovE应力的方差可由下式计算 ninjjiXXjXXiXXXXjjii11,CovVar这种方法的主要优点在于不需要知道多变量分布函数，而仅需要知道其一次二阶矩。值得注意的是由于TSFEM在控制量展开式中忽略

10、了二阶以上高次项，使其随机变量的变异性有所限制，且无法计算响应量三阶以上的统计特性 第17页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立Neumamn展开Monte-Carlo概率有限元法(NSFEM) Monte-Carlo法是最直观、最精辟、获得信息最多、对非线性问题最有效的计算统计方法。但是这种方法是建立在大量随机抽样的基础上进行的，不适合于大型复杂结构。八十年代后期Shinozuka、Yamazaki将Neumamn展开用于Monte-Carlo SFEM，提出了NSFEM法，使Monte-Carlo法与有限元很好地结合起来 第18页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立Neumam

11、n展开的引入实质上是为了解决刚度矩阵求逆的问题。假设刚度矩阵K在随机变量波动值的影响下可分解为 KKK对Monte-Carlo随机抽样，刚度矩阵只改变 K根据Neumamn展开 1K可写成 13211KPPPIKKK式中 I为单位矩阵 第19页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立KKP1由于 fKu1fKu1所以 uPuPuu2若令 uPu 1则有如下递推公式 , 2 , 11iKuuKii第20页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立由式(5-40)求出 u可用上式求出 , 2 , 1iuiNeumamn 展开法迭代终止条件可以由下式确定errikkkuu2021NSFEM法可以响

12、应二阶以上的高次项，且可以方便地调用确定性有限元程序。但是，该法只解决了刚度矩阵求逆的效率问题，不能解决载荷随机问题 第21页/共44页5.4概率有限元法的计算 Taylor和摄动展开概率有限元法 Taylor展开概率有限元法和摄动展开概率有限元法的求解过程很相似 所不同的是 iuiju含义不同 一起讨论 这两种方法都需要求解递归方程组，即需要反复解一系列线性方程组，但每次求解的线性方程组的系数矩阵相同，都是均值刚度矩阵 K所不同的仅仅是方程组右端的自由项 第22页/共44页5.4概率有限元法的计算根据这一特点，只需将系数矩阵作一次求逆，然而通过矩阵与矩阵和矩阵与向量之间的乘积，即可解这一系列

13、线性方程组。另外，也可以对系数矩阵进行一次三角分解，即 KLLTL为下三角矩阵，即L中的元素 ijl0ijlji 经三角分解后概率有限元法的递归方程可以统一写成 iifLy iiTyxL第23页/共44页5.3 概率有限元控制方程的建立由此可见，Taylor展开概率有限元法和摄动展开概率有限元法的计算机实现可以纳入现有的各种通用有限元程序中，只需增加求解“载荷列阵” if的子程序即可 需要说明的是，在形成线性方程组的自由项 if时，要用到刚度矩阵对随机变量的偏导数iKijK若把这些矩阵都贮存起来，则将占用计算机很大的存贮空间。为此需要时可采用损失部分计算效率来换取存贮空间。计算位移向量的一阶摄

14、动系数 ), 2 , 1(niui的流程图如图5-1所示 第24页/共44页5.4概率有限元法的计算否否否否i=1j=1e=1有限单元是否包含随机变量形成该单元的刚度矩阵的偏导数计算右端项:调用组集总刚子程序,将并入e=e+1eNEj=j+1jn回代求解i=i+1in返回), 2 , 1(nii是原随机场离散后的随机向量 是原随机变量的协方差矩阵的特征向量矩阵 用于重复计算iK 同样，可用类似的方法求iju 第25页/共44页5.4概率有限元法的计算基于确定性有限元程序的概率有限元法的实现 若已知载荷波动列阵 f和刚度波动阵 K把 uKf作为载荷项，可用确定性有限元法求解位移波动量 u再由式（

15、5-12）、（5-13）求出应力均值 和波动量 如果不考虑刚度矩阵的随机性，将刚度矩阵看成是确定的，即 KK 0K那么由式(5-6)变为fuK式(5-47)也完全可以通过确定性通用有限元程序解得 第26页/共44页5.5 齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算 对于齿根弯曲疲劳强度，功能函数为 BLxg)(x为基本随机变量P、转数n、疲劳极限L 可取，功率均值： )()(BLEgE方差：22)()()(BBLLgVgVgV)()(BLVV可靠性指数： )(/ )(gVgE可靠度： )(R第27页/共44页5.5 齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算)(LE)(LV已知，)(BE现应用摄动展开和Taylor展开概

16、率有限元法求解 )(BV摄动展开概率有限元法求解 这里只考虑载荷F的随机性，故K为确定的 ；结点载荷列阵f是随机扰动的 在齿根应力分析中，载荷为齿面正压力，即PAmzPffnncos1018. 325基本公式推导 第28页/共44页5.5 齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算将P和分别表示为确定部分和随机部分之和 )1 ( PP)1 (和相互独立，均可以模型化为零均值的连续平稳随机场，和离散 分别对Tn,121Tn,221将式(5-56)和(5-57)合在一起，得 Tn,2121nnn第29页/共44页5.5 齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算载荷列阵f和位移列阵u在的均值处按泰勒级数展开，并略去二阶以上项

17、，有 jnininjiijiiffff11121ninjjiijiniiuuuu11121代入式(5-1) ，整理可以得到 fuK11fuK22fuK第30页/共44页5.5 齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算其中， niiiuu11为一阶位移波动 niiiff11为一阶载荷波动 jninjiijuu112为二阶位移波动 ninjjiijff112为二阶载荷波动 第31页/共44页5.5 齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算位移的一阶和二阶统计量 一阶位移的均值：uuE)(1 一阶位移的协方差：ninjjijiTEuuuuCovC1121),( 二阶位移的均值：ninjjiijEuuuE11221)( 二阶

18、位移的协方差：ninjjijiTEuuuuCovC1122),(ninjnknlljkikjliTklijEEEEuu1111)(41第32页/共44页5.5 齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算摄动概率有限元法求)(BE)(BV 将齿面正压力PAfn在和均值处按泰勒级数展开至二阶和为零均值) ()()(PAPAPAfn21fff确定部分载荷PAf 一阶波动载荷)(1PAf 二阶波动载荷)(2PAf 第33页/共44页5.5 齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算就可求解u 一阶波动1u和二阶波动2u再由式（5-64）（5-67）计算其统计量 在单元应力与单元结点位移的关系式中 eeSuDBu21,uuu由再组

19、集成单元位移 由式（5-70）可以求出各结点B的确定量、一阶波动量B的一阶或二阶统计量 和二阶波动量，进而求出第34页/共44页5.5 齿轮轮齿弯曲强度的可靠度计算在计算可靠性指数时，选取齿根部应力均值和方差最大的点即最危险点进行计算，得出最小可靠性指数，即 maxmaxmin)()()()(BLBLVVEE才能保证设计的有效性。所以，只需要计算最危险点的方差，而不必计算协方差矩阵 Taylor展开概率有限元法的求解过程与上相同，不再赘述 第35页/共44页5.6 齿轮弯曲强度可靠性概率有限元计算计算程序系统 基于三维机械CAD系统MDT(Mechnical DeskTop)和通用有限元系统ANSYS，采用VB编程语言运用ActiveX自动化技术实现两者跨软件平台操作，用MDT参数化绘图技术建立齿轮轮齿实体