高考数学第四编平面向量

1、第四编 平面向量§4.1 平面向量的概念及线性运算一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1(2010·苏州模拟)如图所示，在平行四边形abcd中，下列结论中正确的是_=0解析 显然正确；由平行四边形法则知正确；故不正确；中0答案2.（2010·徐州模拟）设四边形abcd中，有且则这个四边形是 .解析 由知四边形abcd是梯形，又所以四边形abcd是等腰梯形.答案 等腰梯形3.（2008·全国理）在abc中，c，b，若点d满足2，则_(用b，c表示)解析如图所示，在abc中，=.又c(bc)bc.答案bc4.（2010·泰州模拟）如图

2、所示，平面内的两条相交直线op1和op2将该平面分割成四个部分、（不包括边界）.若且点p落在第部分，则实数a，b满足a_0，b_0(用“>”，“<”或“”填空)解析 由于点p落在第部分，且则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a>0，b<0.答案><5.（2009·江苏南京二模）设xy，且a、b、c三点共线(该直线不过端点o)，则xy_.解析a、b、c三点共线，存在一个实数，=，即()(1).又xxy，xy(1)1.答案16.（2009·广东茂名一模）在abc中，已知d是ab边上的一点，若则_.解析 由图知且20.×2得3

3、2，.答案7(2009·浙江改编)设向量a，b满足：|a|3，|b|4，a·b0，以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为_解析由|a|=3，|b|=4及a·b=0知ab，故a，b，a-b构成直角三角形，且|a-b|=5.又其内切圆半径为如图所示将内切圆向上或向下平移可知该圆与该直角三角形最多有4个交点答案48(2009·北京改编)设d是正p1p2p3及其内部的点构成的集合，点p0是p1p2p3的中心若集合sp|pd，|pp0|ppi|，i1,2,3，则集合s表示的平面区域是_解析如图所示，ab、cd、ef分别为p0p

4、1、p0p2、p0p3的垂直平分线，且ab、cd、ef分别交p1p2、p2p3、p3p1于点a、c、d、e、f、b.若|pp0|=|pp1|，则点p在线段ab上，若|pp0|pp1|，则点p在梯形abp3p2中同理，若|pp0|pp2|，则点p在梯形cdp3p1中若|pp0|pp3|，则点p在梯形efp1p2中综上可知，若|pp0|ppi|，i=1,2,3，则点p在六边形abfedc中答案六边形区域9.（2009·山东改编）设p是abc所在平面内的一点，+2，则_.解析 因为2，所以点p为线段ac的中点，即0.答案0二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.（14分）（2010&#

5、183;南京调研）在oab中，延长ba到c，使在ob上取点d，使.dc与oa交于e，设a，b，用a，b表示向量，.解 因为a是bc的中点，所以()，即22ab；2abb2ab.11.（16分）（2010·江苏苏州调研）已知：任意四边形abcd中，e、f分别是ad、bc的中点，求证：证明方法一如图，e、f分别是ad、bc的中点，0，0，又0，= 同理=+由得，2=+()()=+.方法二 连结则12.（16分）（2009·上海宝山模拟）已知点g为abc的重心，过点g作直线与ab、ac两边分别交于m、n两点，且求的值解根据题意g为三角形的重心，()，=()x由于与共线，根据共线向

6、量基本定理知，存在实数，使得即 即，因此即xy3xy0两边同除以xy整理得3.§4.2 平面向量的坐标运算一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1(2009·天津汉沽一中模拟)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab_.解析ab(1,1)(1，1)(1,2)答案(1,2)2(2010·湖南衡阳四校联考)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则_.解析manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)由于manb与a2b共线，则有，n2m12m8n，.答案3(2009·宁

7、夏、海南改编)已知a(3,2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为_解析a(3,2)，b(1,0)，ab(31,2)，a2b(3,2)2(1,0)(1,2)由(ab)(a2b)知4310.答案4(2009·湖北理改编)已知pa|a(1,0)m(0,1)，mr，qb|b(1,1)n(1,1)，nr是两个向量集合，则pq_.解析pa|a(1,0)m(0,1)，mra|a(1，m)，qb|b(1n,1n)，nr，由得ab(1,1)，pq(1,1)答案(1,1)5(2009·山东潍坊一模)已知向量a，b(x,1)，其中x>0，若(a2b)(2ab)，则x的值为_

8、解析a2b(82x，x2),2ab(16x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，显然2ab0，故有(82x，x2)(16x，x1)即，解得x4(x>0)答案46(2010·泰州模拟)已知向量a(2,4)，b(1,1)，若向量b(ab)，则实数的值是_解析ab(2,4)(1,1)(2，4)b(ab)，b·(ab)0，即(1,1)·(2，4)24620，3.答案37.（2008·辽宁文）已知四边形abcd的顶点a（0，2）、b（-1，-2）、c（3，1），且则顶点d的坐标为_解析a(0,2)，b(1，2)，c(3,1)，(3,1)(1，2)(4,3)设

9、d(x，y)，(x，y2)，2，(4,3)(2x,2y4)x2，y.答案8(2009·辽宁改编)在平面直角坐标系xoy中，四边形abcd的边abdc，adbc.已知a(2,0)，b(6,8)，c(8,6)，则d点的坐标为_解析 设d点的坐标为（x,y）,由题意知=，即(2，2)(x2，y)，所以x0，y2，d(0，2)答案(0，2)9(2009·浙江改编)已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c_.解析设c(x，y)，则ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)·(3，1)3xy0.解得x，

10、y.答案二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.（14分）（2009·江苏金陵中学三模）已知a（-2，4）、b（3，-1）、c（-3，-4）且3，2，求点m、n及的坐标.解a(2,4)、b(3，1)、c(3，4)， 设m（x，y），则有=（x+3，y+4），m点的坐标为(0,20)同理可求得n点坐标为(9,2)，因此=（9，-18），故所求点m、n的坐标分别为(0,20)、(9,2)，的坐标为(9，18)11.（16分）（2010·江苏丹阳高级中学一模）已知a（-2，4），b（3，-1），c（-3，-4）.设= a，= b，= c，且3 c,2b.(1)求3ab3c；(

11、2)求满足ambnc的实数m，n.解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得.12.（16分）（2010·山东济宁模拟）在abcd中，a（1，1），=（6，0），点m是线段ab的中点，线段cm与bd交于点p. (1)若(3,5)，求点c的坐标；(2)当|=|时，求点p的轨迹解(1)设点c的坐标为(x0，y0)，又(3,5)(6,0)(9,5)，即(x01，y01)(9,5)，x010，y06，即点c(10,6)(2)由三角形相似,不准得出设p(x，y)

12、，则(x1，y1)(6,0)(x7，y1)， abcd为菱形， acbd. 即（x-7，y-1）·（3x-9，3y-3）=0.即（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0，x2+y2-10x-2y+22=0（y1）.（x-5）2+（y-1）2=4（y1）.故点p的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点.§4.3 平面向量的数量积一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1(2010·常州模拟)向量a(cos 15°，sin 15°)，b(sin 15°，cos 15°)，则|ab|的

13、值是_解析由题设，|a|1，|b|1，a·bsin(15°15°).|ab|2a2b22a·b112×3.|ab|.答案2.（2009·浙江温州十校联考）在边长为1的正三角形abc中，设a，c，b，则a·bb·cc·a_.解析如图所示，a+c=b，a·b+b·c+c·a=b·(a+c)+a·c=b2+a·c=1+|a|·|c|cosa，c=1+cos 120°=答案3(2010·广东韶关一中模拟)若向量a，b满足|a

14、|1，|b|2，a与b的夹角为60°，则a·bb·b的值为_解析a·bb·b|a|·|b|·cos 60°|b|21×2×45.答案54(2009·重庆改编)已知|a|1，|b|6，a·(ba)2，则向量a与b的夹角是_解析a·(ba)a·ba22，a·b2a23cosa，b，a与b的夹角为.答案5(2009·福建福州期末)若a与bc都是非零向量，则“a·ba·c”是“a(bc)”的_条件解析若a(bc)，则a

15、83;(bc)0a·ba·c0a·ba·c.答案充要6.（2010·天津六校联考）点o是三角形abc所在平面内的一点，满足···，则点o是abc的_心解析 ··，得··0，即·()0，·0，.同理可得，.o是三角形三条高线的交点答案垂7.（2008·江西理，13）直角坐标平面内三点a（1，2）、b（3，-2）、c（9，7），若e、f为线段bc的三等分点，则 .解析 又答案228(2009·辽宁改编)平面向量a与b的夹角为60°

16、，a(2,0)，|b|1，则|a2b|_.解析a(2,0)，故|a|2，|a2b|.a·b|a|·|b|·cos 60°1，|a2b|2.答案29.（2009·陕西改编）在abc中，m是bc的中点，am=1，点p在am上且满足=22，则·(·()_.解析m是bc的中点，则 答案二、解答题(本大题共3小题，共46分)10(14分)(2010·山东临沂一模)向量a(cos 23°，cos 67°)，向量b(cos 68°，cos 22°)(1)求a·b；(2)若向量b与

17、向量m共线，uam，求u的模的最小值解(1)a·bcos 23°·cos 68°cos 67°·cos 22°cos 23°·sin 22°sin 23°·cos 22°sin 45°.(2)由向量b与向量m共线，得mb (r)，uamab(cos 23°cos 68°，cos 67°cos 22°)(cos 23°sin 22°，sin 23°cos 22°)，|u|2(co

18、s 23°sin 22°)2(sin 23°cos 22°)2212，当时，|u|有最小值为.11(16分)(2010·浙江台州月考)已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(ab)c；(2)若|kabc|>1 (kr)，求k的取值范围(1)证明(ab)·ca·cb·c|a|·|c|·cos 120°|b|·|c|·cos 120°0，(ab)c.(2)解|kabc|>1|kabc|2>

19、;1，k2a2b2c22ka·b2ka·c2b·c>1.|a|b|c|1，且a、b、c相互之间的夹角均为120°，a2b2c21，a·bb·ca·c，k212k>1，即k22k>0，k>2或k<0.12(16分)(2009·广东广州二模)已知向量a，b，x.若函数f(x)a·b|ab|的最小值为，求实数的值解|a|1，|b|1，x，cos x0,1a·bcoscossinsincos 2x，|ab|2|cos x|2cos x.f(x)cos 2xcos x2cos

20、2xcos x1221，当<0时，取cos x0，此时f(x)取得最小值，并且f(x)min1，不合题意当04时，取cos x，此时f(x)取得最小值，并且f(x)min1，解得2.当>4时，取cos x1，此时f(x)取得最小值，并且f(x)min1，解得，不符合>4舍去，2.§4.4 平面向量的应用一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1.（2009·泰州实验一模）已知o是四边形abcd所在平面内任一点，且|，,则四边形abcd的形状是_解析 由条件知又ab綊cd，四边形为平行四边形答案平行四边形2(2010·日照模拟)给出下列命

21、题：向量a与b平行，则a与b的方向相反或者相同；abc中，必有四边形abcd是平行四边形的充要条件是若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a、b之一方向相同其中正确的命题为_解析中未注意零向量所以错误，在中ab有可能为零向量，只有正确答案3.（2010·徐州模拟）已知向量=（1，-3），=（2，-1），=（m+1，m-2），若点a、b、c能构成三角形，则实数m应满足的条件是 .解析若点a、b、c不能构成三角形，则只能共线(2，1)(1，3)(1,2)，(m1，m2)(1，3)(m，m1)假设a、b、c三点共线，则1×(m1)2m0，即m1.若a、b、c三点能构成三角形，则

22、m1.答案m14(2009·江苏南通模拟)已知向量m(a2，2)，n(2，b2)，mn (a>0，b>0)，则ab的最小值是_解析由已知mn可得(a2)(b2)40，即2(ab)ab0，4ab0，解得4或0(舍去)，ab16.ab的最小值为16.答案165(2010·无锡模拟)若向量a，b满足|a|，|b|1，a·(ab)1，则向量a，b的夹角的大小为_解析设a，b的夹角为.a·(ab)1，a2a·b1.又|a|，a2a·b1，a·b1.cos .又0，.答案6(2010·江苏栟茶中学模拟)已知向量a(

23、1，sin )，b(1，cos )，则|ab|的最大值为_解析ab(0，sin cos )，|ab|sin cos |.|ab|的最大值为.答案7.（2009·安徽理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点c在以o为圆心的圆弧 上变动，若xy，其中x，yr，则xy的最大值是_解析建立如图所示的坐标系，则a(1,0)，b(cos 120°，sin 120°)，即设aoc=,则(cos ，sin )xxy(x,0)(cos ，sin )xysin cos 2sin(30°)0°120°，30°

24、30°150°.xy有最大值2，当60°时取最大值答案28(2009·安徽文)在平行四边行abcd中，e和f分别是边cd和bc的中点，若设aoc=,其中、r，则_.解析 设那么ab，=ab，又ab，即，.答案9(2009·湖南文)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若则x_，y_.解析又又设则由题意知又bed=60°,显然与的夹角为45°.由得×1×cos 45°(x1)×12.x1. 同理,在两边与数量积可得y.答案1二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.（14分）（2009·沈阳二中二模）已知点a(2,3),b(5,4),c(7,10),若(r).试当为何值时,点