高中数学第二章空间向量与立体几何2空间向量的运算三学案北师大版选修21

1、2 空间向量的运算（三）学习目标1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.知识点一空间向量数量积的概念思考1如图所示，在空间四边形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45°，oab60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法. 思考2在等边abc中，与的夹角是多少？梳理(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫作a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)

2、83;b_交换律a·b_分配律a·(bc)_知识点二空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则ab_若a与b同向，则a·b_；若反向，则a·b_.特别地，a·a_或|a|若为a，b的夹角，则cos _|a·b|a|·|b|类型一空间向量数量积的运算命题角度1空间向量数量积的基本运算例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.p2·q2(p·q)2；|pq|·|pq|p2q2|；若a与(a·b)·c(a·c)·b均不

3、为0，则它们垂直.(2)设a，b120°，|a|3，|b|4，求：a·b；(3a2b)·(a2b).反思与感悟(1)如果已知a，b的模及a与b的夹角，则可直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a|a|2及数量积公式进行计算.跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a3b|等于()a. b. c. d.4命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知在长方体abcd1c1d1中，abaa12，ad4，e为侧面ab1的中心，f为

4、a1d1的中点.试计算：(1)·；(2)·；(3)·.反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2已知正四面体oabc的棱长为1，求：(1)( )·()；(2)|.类型二利用数量积求夹角或模命题角度1利用数量积求夹角例3已知bb1平面abc，且abc是b90°的等腰直角三角形，abb1a1、bb1c1c的对角线都分别相互垂直且相等，若aba，求异面直线ba1与ac所成的角.反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法 跟踪训练3已知po、pa分别是平面的垂线、斜线，ao是p

5、a在平面内的投影，l，且loa.求证：lpa.命题角度2利用数量积求模(或距离)例4如图所示，在平行六面体abcdb1c1d1中，ab1，ad2，aa13，bad90°，baa1daa160°，求ac1的长. 反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可.跟踪训练4如图，已知线段ab平面，bc，cdbc，df平面，且dcf30°，d与a在的同侧，若abbccd2，求a，d两点间的距离. 类型三利用

6、空间向量的数量积解决垂直问题例5如图，在空间四边形oabc中，oboc，abac，求证：oabc. 反思与感悟(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练5已知向量a，b满足：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_.1.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于()a.14 b.c.4 d.22.在长方体abcda1b1c1d1中，下列向量的数量积一定不为0的是(

7、)a.· b.·c.· d.·3.在正方体abcda1b1c1d1中，有下列命题：()232；·()0；与的夹角为60°.其中真命题的个数为()a.1 b.2c.3 d.04.已知a，b为两个非零空间向量，若|a|2，|b|，a·b，则a，b_.5.已知正四面体abcd的棱长为2，e，f分别为bc，ad的中点，则ef的长为_.1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b|a|b|cosa，b，并结合运算律进行计算.(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积

8、公式进行运算.2.在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入a·b|a|b|cosa，b求解.提醒：完成作业第二章§2(三)答案精析§2空间向量的运算(三)问题导学知识点一思考1，···|cos，|·cos，8×4×cos 135°8×6×cos 120°2416.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹

9、角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.思考2120°.梳理(2)(a·b)b·aa·ba·c知识点二a·b0|a|·|b|a|·|b|a|2题型探究例1(1)解此命题不正确.p2·q2|p|2·|q|2，而(p·q)2(|p|·|q|·cosp，q)2|p|2·|q|2·cos2p，q，当且仅当pq时，p2·q2(p·q)2.此命题不正确.|p2q2|(pq)·(pq)|pq|·|pq|·|co

10、spq，pq|，当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|·|pq|.此命题正确.a·(a·b)·c(a·c)·ba·(a·b)·ca·(a·c)·b(a·b)(a·c)(a·b)(a·c)0，且a与(a·b)·c(a·c)·b均为非零向量，a与(a·b)·c(a·c)·b垂直.(2)解a·b|a|b|cosa，b，a·b3×

11、;4×cos 120°6.(3a2b)·(a2b)3|a|24a·b4|b|23|a|24|a|b|cos 120°4|b|2，(3a2b)·(a2b)3×94×3×4×()4×1627246461.跟踪训练1c例2解如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，a·bb·cc·a0.(1)·b·(ca)b|b|24216.(2)··(ac)|c|2|a|222220.(3)··(abc)

12、3;|a|2|b|22.跟踪训练2解(1)()·()()·()()·( 2)121×1×cos 60°2×1×1×cos 60°1×1×cos 60°122×1×1×cos 60°1.(2)| .例3解如图所示，·()·()····.abbc，bb1ab，bb1bc，·0，·0，·0且·a2.·a2.又·|&

13、#183;|cos，cos，.又，0°，180°，120°，又异面直线所成的角是锐角或直角，异面直线ba1与ac所成的角为60°.跟踪训练3证明如图，取直线l的方向向量a，同时取向量，.因为loa，所以a·0.因为po，且l，所以lpo，因此a·0.又因为a·a·()a·a·0， 所以lpa.例4解因为，所以2()22222(···).因为bad90°，baa1daa160°，所以，90°，60°，所以21492(1×3×cos 60°2×3×cos 60°)23.因为2|2，所以|223，|，即ac1.跟踪训练4解，|2()2|2|2|22·2·2·122(2·2·cos 90°2&#