数独九宫格各种链的关系

1、第一种情况：a=b-c=d由a的真假情况可以做出以下bcd关系的枚举。再次请大家注意本文开头所提到的强弱关系本质1.强关系是说a与b两个事件，假如a不成立，则b一定成立。2.弱关系是说a与b两个事件，假如a成立，则b一定不成立。xy-wing了，下面是一个xy-wing的例子：通常解释xy-wing原理的时候会用如果r4c2=1则r5c1=4；如果r4c2=9则r4c8=4，所以不论r4c2是1还是9，r5c1与r4c8中至少有一个是4，从而得到r5c1与r4c8的等位群格位交集部分（图中蓝色格）不含4。这样是不是有点猜测的味道呢？很多人都说高级技巧是把猜的东西合理化，其实不然。用强弱强链的观

2、点可以这样看r5c1(4)=r5c1(1)-r4c2(1)=r4c2(9)-r4c8(9)=r4c8(4)，也是得到r5c1与r4c8中至少有一个是4。与xy-wing较相近的要数xy-chain。xy-wing由三格组成，分别为xy格，xz格，yz格。xy-chain不止三格，需要把一些格合并当作xy-wing组成格之一来看。单数链以强、弱方式构成环，称为 x-cycle，无法构成环，则称为 x-chain。x-cycle 的弱环节除节点外，单元内其它格位的相同候选数均可删除。x-chain 在开口处之两节点共同作用格的相同候选数均可删除。本质上 x-cycle 只是 x-chain 的特例

3、，因此统称为单链。单链若由两条强链与一条弱链构成，就是习称的双强链，有摩天楼、双线风筝、鱼三种连结方式。单链若由两条强链与两条弱链构成环，就是习称的 x-wing。xy-wing的结构可以分为两种：1. xy格与xz格 或者 xy格与yz格 同宫。2. xy格、xz格、yz格在三个不同宫。 xy-chian首尾若能连接起来就成为了xy-cycle（multi x-wing）r4c1(7)=r5c4(7)-r5c2(7)=r1c2, r2c2(7) 断开任意一条弱链（绿色表示）即成为xy-chain的结构。得到r1c2, r2c2与r4c1至少有一个为7。 例如断开上端r8c57的弱链后，可以得

4、到r8c5(7)与r8c7(7)所以可以删除r1c2, r2c2与r4c1等位群格位的交 至少有一个成立，即可删除这两格等位群格位交集的7，集r1c3的候选数7。 其他三种断开弱链能够做何删减，大家可以自己尝试推导。guardians（守护者）的技巧，也有地方称之为broken wings或者turbot-fish。其描述的是某一个候选数x的情况，当有偶数条强链，且两个端点处于同一unit时，这时可以删除两个端点上的候选数x，如果该unit出这两端点格外只有一格含有候选数x，则该格一定就是x。下图：从蓝色格出发到达红色格，根据它们之间的逻辑关系，可以得到红色格有相同的真假值。红色格若为假，没问

5、题两个都可删除，红色格若为真，则违反数独原则也应当删除。结论：红色格应予删除 用链的观点来看：r3c8(9)=r3c8(2)-r6c8(2)=r6c6(2)-r9c6(2)=r9c6(9)，因此可以删除r9c8的候选数9。亦可这样理解，如果r3c8不为9，r3c8为2，则r6c8不为2，r6c6为2，r9c6不为2，即r9c6为9；反过来，如果r9c6不为9，则r9c6为2，r6c6不为2，r6c8为2，r3c8不为2，即r3c8为9；可见r3c8与r9c6至少有一个为9，因此可以删除r9c8的候选数9。双强链的按其强链所在区域及组成可分为三种。1. 摩天楼（skyscraper）2. 鱼（f

6、ish） 3. 双线风筝（two strings kite）摩天楼以下是双线风筝（two strings kite）、鱼（fish）的结构及其删减情形。1. 上左图，两条强链一条在行另一条在列，红色顶端之共同作用格（红色x）就是不能有构成强链数字之处，这个结构称为双线风筝。2. 上右图，两条强链一条在宫另一条在列，红色顶端之共同作用格（红色x）就是不能有构成强链数字之处，这个结构称为鱼。 （c2、c5各有一个xy数对，因此r5的两格也为xy数对）当r2c2是x时，可以得到r5c2为y，继而r5c5为x，r3c5为y；反之，当r2c2是y时，可以得到r5c2为x，继而r5c5为y，r3c5为x。

7、也就是说r2c2与r3c5也为xy数对，因此可以删除其等位群格位的交集中候选数xy。双强链的基座（base）必须在同一单元，且链顶（top）必须有相同作用格才有删减效果。有时两条强链虽有相同的基座，但链顶没有共同作用格，如此将达不到删减的效果。因此就有所谓的进阶型的双强链。由于 a=b=c=d 三条强链会造成 a 与 d 有相反的真假值，因此可以当一条强链使用。观察一、三条形成的双强链不会太复杂，因此以下我们就以这样的构形提出实例加以说明。在数独的解题技法称这种解法为 x-chain。如右图附一道题的七种解法。解法1解法 #2 解法 #3 解法 #4 解法 #5 解法 #6 解法 #7 单数链

8、解法的三要素就是：1. 有强关系的两端点。2. 两端点有共同作用格。3. 共同作用格有删减效果。右图是这是摩天楼的扩充型的思考方法，黄色为底（起点），红色为顶（终点）。当黄色为真，则往绿色方向推进，当黄色为假则往红色方向推进。无论黄色为真或假，经推导的结果，红色的两个端点一定有一点为真，因此它们是强关系。强关系的共同作用格可以将候选数 2 删除，如图上网点标示之格位。左图的另外一种推法：这是摩天楼的扩充型，黄色为底（起点），红色为顶（终点）。当黄色为真，则往绿色方向推进，当黄色为假则往红色方向推进。无论黄色为真或假，经推导的结果，红色的两个端点一定有一点为真，因此它们是强关系。强关系的共同作用

9、格可以将候选数 2 删除，如图上网点标示之格位。 点算图示格的候选数，可以发现形成xy-cycle，可以删的数比 jcvb 提到xy-chain略多一些。右图：主要利用了r2c5的8的删减，可以得到第五列的摒除解r7c5=8。欠一数对almost locked pair数对、三链数、四链数被统称为locked candidates，如果还差一点的也就是almost locked candidates。我们取其中的数对部分，也就是almost locked pair来讲解。首先讲一下结构与结论：（“/”掉格表示不含候选数xy）看r1，数字“xy”中的一个在r1c4，另一个在r1c123，也就是说

10、r1c123含有“xy”中的一个数，第一宫的数字“xy”中的另一个在r2c1，所以可以得到第一宫的其他格不含有候选数xy，因为r1c123, r2c1 为 xy数对。反之亦然。r8的“78”在r8c679三格，因为r9c8的候选数为78，所以r8c79只能有“78”中的一个，所以r8的“78”另一个在r8c6，所以r8c6的候选数为78。数字1对第八宫摒除，得到r8c5=1。微变一下结构：（“/”部分表示不含候选数xyz）r1c45的部分其中一个会是z，一个是xy之一，因此r1c123含有xy中的另一个，r1c123, r1c45为xy数对（r1c123, r1c4, r1c5为xyz三链数）

11、，所以r1c123, r2c1为xy数对，所以可以删除第一宫其他格的候选数xy。r4c1的候选数为68，第四宫68中的另一个在r5c12之中；r5c12含有68中的一个，与r5c7的68形成68数对，可以删除r5c9的候选数6。数字78对c7摒除可以得到r89c7的78数对；中图：数字8对第六宫摒除，得到第六宫的8在c8；右图：数字78对r8摒除，得到r8c67为78数对。左图：r4c1的候选数为68，第四宫68中的另一个在r5c12之中；r5c12含有68中的一个，与r5c7的68形成68数对，可以删除r5c9的候选数6。右图：看r6c3的候选数为17，第四宫17中的另一个在r5c23中，r

12、5的其他格只有r5c9含候选17，所以可以确定r5c9的候选数为17，即删除6。（图中标示候选数表示该格仅含这些候选数）看到这个结构，大家脑子里会有冒出什么结论呢？想不到也没关系，可以跟着我们的思路来。先看r1c5的候选数为wx，所以r1c23中要不不含wx，要不只能有wx之一；再看r2c1候选数为yz，同样的r1c23中要不不含yz，要不只含其中一个；但r1c23没有其他候选数，按照上述分析，其组成即为有wx中的一个和yz中的一个。也就是说我们可以将r1c23,r1c5看作wx数对，r1c23,r2c1看作yz数对，继而这两个“数对”所影响范围的对应数字即可删减。这题有比较明显的单链，但用“

13、欠一数对”试试要怎么观察呢？因为橙色的23，蓝色至多含有23中的一个，又因为绿色的16，蓝色至多含有16中的一个，蓝色仅含候选数1236，故蓝色组成为16中的一个和23中的一个，r1c23,r1c5组成23数对，r1c23,r2c2组成16数对。故可以删除第一行其他格的候选数23，第一宫其他格的候选数16。y-wing（可能与xy-wing混淆），有的地方称为w-wing（可能与wxyz-wing混淆），本帖采用y-wing的名称。"数对"为蓝色格所示23，加之第四行数字3，构成y-wing，可以删除r5c7与r6c6的候选数2。m-wing的结构：大家可以对比一下上两图，

14、区别在于r5c2的候选数情况，但是他们的推导过程是相同的。橙格仅含候选数ab，即只有2种情况：1. 为b；2. 为a，则绿格不为a->蓝格为a（即蓝格不为b）->紫格为b。以链的观点：r2c7(b)=r2c7(a)-r2c2(a)=r5c2(a)-r5c2(b)=r5c5(b)，即r2c7=r5c5为b的强链。那么为什么他们会有相同的结论呢？因为无论是用什么观点来分析这个结果，用到的都是r5c2是a则不是b，是b则不是a的弱关系观点，而是否存在其他候选数并不影响弱关系的成立。所以，m-wing的链关系可以总结为右上图。其中x为任何数。 涂色四格构成m-wing的结构，可以删除r6c2的候选数9；可以按照以下思路推导：r6c5有两种情况：1. 为9；2. 为3-&g