第五章万有引力

1、高考考纲考纲解读1.万有引力定律及其应用.()1.要求:掌握万有引力定律表达式的适用条件.2.考查:(1)万有引力大小的计算.(2)万有引力定律的应用.2.环绕速度.()1.要求:(1)知道第一宇宙速度(环绕速度)及第二宇宙速度、第三宇宙速度的大小.(2)理解并会计算环绕速度.(3)了解经典力学的局限性.2.考查:环绕速度与发射速度的区别和联系,主要是结合具体情境(如地球或其他星体表面)考查第一宇宙速度的求解.3.第二宇宙速度和第三宇宙速度.()4.经典时空观和相对论时空观.()(对应学生用书第5660页) 中心天体质量和密度的计算、重力加速度与向心加速度考向扫描1由F=Gm1m2r2求万有引

2、力,解释自然现象2据GMmR2=mg求星球表面重力加速度,由gr=an=GMr2和GM=gR2求r处的重力加速度、该处卫星的向心加速度3据M=42r3GT2,M=gR2G,=3r3GT2R3,=3g4RG求解中心天体的质量和密度备考点拨1.考题一般结合绕行天体的参量、中心天体表面重力加速度、“近地卫星模型”来定性分析或定量计算2.近年高考中还出现利用两天体系统对比来定性或定量分析中心天体的参量特征.复习时要把天体运动的“星核模型”理解透彻1.(2012年全国新课标卷,21,6分)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面

3、处的重力加速度大小之比为()A.1-dRB.1+dRC.(R-dR)2D.(RR-d)2解析:设地球的密度为,地球的质量为M,根据万有引力定律可知,地球表面的重力加速度g=GMR2.地球质量可表示为M=43R3,因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,所以矿井底部可等效为地面,矿井以下剩余地球的质量为M'=43(R-d)3,解得M'=(R-dR)3M,则矿井底部处的重力加速度g=GM(R-d)R3,则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为1-dR,选项A正确;B、C、D错误.答案:A. 本题考查万有引力定律的应用,解题的关键有两点:一是要掌握重力加速度公式g=GM

4、R2的意义;二是要明确题干中“引力为零”的含义.2.(2012年福建理综,16,6分)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v,假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G,则这颗行星的质量为()A.mv2GNB.mv4GNC.Nv2GmD.Nv4Gm解析:本题考查中心天体质量计算.设行星质量为M,卫星质量为m1,行星的半径为R,在行星表面,万有引力等于重力:GMmR2=N万有引力提供向心力,GMm1R2=m1v2R由联立消去R得行星质量M=mv4GN,故B正确,A、C、D错误.答案:B.3.(2011年福建理

5、综,13,6分)“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星.若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T,已知引力常量为G,半径为R的球体体积公式V=43R3,则可估算月球的()A.密度B.质量C.半径D.自转周期解析:设月球质量M,“嫦娥二号”质量m、近月球表面的轨道半径为r,根据万有引力提供向心力得GMmr2=m42T2r,又因为r约等于月球半径,得密度=MV=3GT2,因为只已知周期T,所以A正确,B、C、D错误.答案:A.4.(2011年浙江理综,19,6分)为了探测X星球,载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心,半径为r1的圆轨道上运动,周期为T1

6、,总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船,变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动,此时登陆舱的质量为m2,则()A.X星球的质量为M=42r13GT12B.X星球表面的重力加速度为gX=42r1T12C.登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为v1v2=m1r2m2r1D.登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2=T1r23r13解析:对载着登陆舱的探测飞船,由牛顿第二定律得:GMm1r12=m1r142T12,所以该星球的质量M=42r13GT12,所以A正确;由于不知星球半径,所以星球表面重力加速度无法求出,所以B错误;万有引力提供向心力,得线速度v=GMr,所以v1v2=r2r

7、1,所以C错误;对登陆舱,由牛顿第二定律得:GMm2r22=m2r242T22,所以T2=42r23GM,代入M得T2=T1r23r13,所以D正确.答案:AD.5.(2011年江苏卷,7,4分)一行星绕恒星做圆周运动.由天文观测可得,其运行周期为T,速度为v.引力常量为G,则()A.恒星的质量为v3T2GB.行星的质量为42v3GT2C.行星运动的轨道半径为vT2D.行星运动的加速度为2vT解析:由GMmr2=mv2r得:M=rv2G=v3T2G,A正确;行星质量现有数据不能计算,B错误;行星运动轨道半径r=v=vT2,C正确;行星运动加速度a=r2=2vT,D正确.答案:ACD.6.(20

8、11年四川理综,17,6分)据报道,天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”,名为“55 Cancri e”,该行星绕母星(中心天体)运动的周期约为地球绕太阳运行周期的1480,母星的体积约为太阳的60倍.假设母星与太阳密度相同,“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动,则“55 Cancri e”与地球的()A.轨道半径之比约为360480B.轨道半径之比约为3604802C.向心加速度之比约为360×4802D.向心加速度之比约为360×480解析:设行星的轨道半径为r1,周期为T1,向心加速度为a1,其中心天体体积为V1.地球的轨道半径为r2,周期为

9、T2,向心加速度为a2,太阳的体积为V2.母星与太阳的密度都为,由牛顿第二定律,对行星:GV1mr12=mr142T12对地球GV2mr22=mr242T22又因为向心加速度a=r42T2由以上三式,解得:r1r2=3V1T12V2T22=3604802,a1a2=r1T22r2T12=360×4804所以B正确,A、C、D错误.答案:B.7.(2011年广东理综,20,6分)已知地球质量为M,半径为R,自转周期为T,地球同步卫星质量为m,引力常量为G.有关同步卫星,下列表述正确的是()A.卫星距地面的高度为3GMT242B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度C.卫星运行时受到的向心力大

10、小为GMmR2D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析:由GMm(R+h)2=m(R+h)(2T)2得卫星距地面的高度h=3GMT242-R,故A错误;由GMmr2=mv2r得v=GMr,第一宇宙速度v1=GMR,同步卫星的速度v卫=GMR+h,故v卫<v1,B正确;万有引力提供向心力Fn=GMm(R+h)2,C错误;a卫=Fnm=GM(R+h)2,地球表面的重力加速度g=GMR2,a卫<g,D正确.答案:BD. 本题综合考查天体运动问题,定性分析,难度较低.处理天体运动问题的两大思路:一是万有引力提供做圆周运动的向心力;二是忽略自转时,重力等于万有引力.8.(2010

11、年上海卷,15,3分)月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a,设月球表面的重力加速度大小为g1,在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2,则()A.g1=aB.g2=aC.g1+g2=a D.g2-g1=a解析:设月球绕地球做匀速圆周运动的半径为r,则GMmr2=ma,又GMmr2=mg2,故a=g2,所以B正确.答案:B.9.(2010年安徽理综,17,6分)为了对火星及其周围的空间环境进行探测,我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”.假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时,周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体,且忽

12、略火星的自转影响,万有引力常量为G.仅利用以上数据,可以计算出()A.火星的密度和火星表面的重力加速度B.火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C.火星的半径和“萤火一号”的质量D.火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力解析:设火星半径为R,由牛顿第二定律及圆周运动的公式可得GMm(R+h1)2=m42T12(R+h1),GMm(R+h2)2=m42T22(R+h2),由以上两式联立可得火星半径R以及火星质量M,但不能求解探测器质量m,故B、C、D错误;由=MV及V=43R3可求得火星的密度;由g=GMR2可求得火星表面的重力加速度,故A正确.答案:A. 本题主要考查万有引力定律及匀速圆

13、周运动的综合应用,属于中档题,解题的关键是根据“萤火一号”的两个轨道高度和周期可求得火星的半径,但不能求得“萤火一号”的质量.10.(2011年海南卷,12,4分)2011年4月10日,我国成功发射第8颗北斗导航卫星.建成以后北斗导航系统将包含多颗地球同步卫星,这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖.GPS由运行周期为12小时的卫星群组成.设北斗导航系统的同步卫星和GPS导航卫星的轨道半径分别为R1和R2,向心加速度分别为a1和a2,则R1R2=,a1a2=.(可用根式表示) 解析:由GMmR2=mR(2T)2得:R13T12=R23T22,则R1R2=3T12T22=3242122

14、=341;由a=R2=R(2T)2得:a1a2=R1T12·T22R2=34·(1224)2=344.答案:34134411.(2012年全国大纲卷,25,19分)一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k.设地球的半径为R.假定地球的密度均匀.已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零,求矿井的深度d.解析:在地面处,单摆所受万有引力近似等于其重力,即GMmR2=mg,单摆在地面处的摆动周期T=2lg设地球密度为,地球的体积V=43R3,M=V, 综合以上四式得:T=3lGR同理可知,矿井内单摆的周期T'=3lG(R-d)而单摆在地面处的摆动周期与矿

15、井底部摆动周期之比TT'=k,解得:d=R(1-k2)答案:d=R(1-k2) 本题考查万有引力定律的应用及单摆的周期公式,意在考查对基本物理规律的分析计算能力.绕行天体的线速度、角速度、周期与半径的关系考向扫描1由r3T2=k求绕同一中心天体的行星(或卫星)的周期和圆轨道的半径2由v=GMr、=GMr3、T=2r3GM定性分析和定量求解卫星的v、T3由v1=GMR=gR分析第一宇宙速度及其影响因素4由同步卫星的特点及参数求解中心天体的自转周期及其他的参数5由F=Gm1m2l2及an=42T2r,an=v2r求解双星的周期和线速度大小备考点拨1.考题一般结合同步卫星、“双星模型”、“星

16、核模型”等来考查卫星线速度、角速度、周期与轨道半径的关系,有定性分析,也有定量计算2.近年高考还经常利用“无线电信号传播”、“北斗导航卫星”等实用性很强的情境来定量计算卫星各参量的关系.复习时应把决定各参量大小的具体表达式的正确书写作为突破问题的关键1.(2012年安徽理综,14,6分)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前,“天宫一号”的运行轨道高度为350 km,“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周,则()A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大解

17、析:据题意两者均由万有引力提供向心力,且r1>r2.由GMmr2=mv2r得A错;由GMmr2=m42T2r得B正确;由=2T得C错;由GMmr2=ma得D错.答案:B.2.(2012年四川理综,15,6分)今年4月30日,西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星,其轨道半径为2.8×107 m.它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107 m)相比()A.向心力较小B.动能较大C.发射速度都是第一宇宙速度D.角速度较小解析:向心力Fn=F万=GMmr2,故轨道半径越大,向心力越小,故A选项错误;由F万=Fn即:GMmr2=mv2r=mr2知半径越大,线速度、角

18、速度越小,而Ek=12mv2,故B选项正确,D选项错误;第一宇宙速度是最大运行速度,最小发射速度,故C选项错误.答案:B.3.(2012年山东理综,15,5分)2011年11月3日,“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接.任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道,等待与“神舟九号”交会对接.变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道,对应的轨道半径分别为R1、R2,线速度大小分别为v1、v2.则v1v2等于()A.R13R23B.R2R1C.R22R12D.R2R1解析:由于天宫一号飞行器绕地球做匀速圆周运动,万有引力充当向心力,即满足:GMmR2=mv2

19、R,可得v=GMR,因此变轨前后的线速度大小之比:v1v2=R2R1,B正确.答案:B.4.(2012年广东理综,21,6分)如图所示,飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动,不考虑质量变化,相对于在轨道1上,飞船在轨道2上的()A.动能大 B.向心加速度大C.运行周期长D.角速度小解析:万有引力提供向心力,由GMmr2=mv2r得12mv2=GMm2r,r增大,动能减小,A错误;GMmr2=man,可得向心加速度an=GMr2,r增大,an减小,B错误;GMmr2=m42T2r,可得周期T=42r3GM,r增大,T增大,C正确;GMmr2=m2r,得角速度=GMr3,r增

20、大,减小,D正确.答案:CD.5.(2012年重庆理综,18,6分)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统,质量比约为71.同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动.由此可知,冥王星绕O点运动的()A.轨道半径约为卡戎的17B.角速度大小约为卡戎的17C.线速度大小约为卡戎的7倍D.向心力大小约为卡戎的7倍解析:双星系统两星角速度相同,由万有引力提供向心力,知Gm1m2r2=m1r12=m2r22,所以轨道半径之比r1r2=m2m1=17,故A选项正确,B、D选项错误.由v=r·,知线速度之比v1v2=17,故C选项错误.答案:A.6.(2012年浙江理综,15,5分)如图所示,在火

21、星与木星轨道之间有一小行星带.假设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是()A.太阳对各小行星的引力相同B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值解析:设太阳质量为M,由F=GMmr2知,各小行星质量m和公转轨道半径r不一定相同,则太阳对各小行星的引力不一定相同,A错误;由GMmr2=m42T2r得T=42r3GM,r大,则公转周期T大,地球的公转周期为1年,各小行星的公转周期大于1年,B错误;万有引力提供向心力,GMmr2=man,向心加

22、速度an=GMr2,内侧小行星的r小,a大,C正确;由GMmr2=mv2r得v=GMr,地球的轨道半径比小行星小,则地球的线速度比小行星的线速度大,D错误.答案:C.7.(2011年北京理综,15,6分)由于通讯和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星,这些卫星的()A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同C.轨道平面可以不同D.速率可以不同解析:由GMmr2=m(2T)2r知m可约去,A正确;由于T=24 h,由上式可知r=3GMT242为一确定值,B错误;同步卫星与地球保持相对静止,与地球自转方向相同,且圆周运动的圆心与地球球心重合,故只能位于赤道正上方的平面内,C错误;由GMmr

23、2=mv2r可求得v大小恒定,D错误.答案:A. 卫星问题是典型考点,处理此类问题思路有两条:万有引力提供向心力;黄金代换式gR2=GM.8.(2011年山东理综,17,4分)甲、乙为两颗地球卫星,其中甲为地球同步卫星,乙的运行高度低于甲的运行高度,两卫星轨道均可视为圆轨道.以下判断正确的是()A.甲的周期大于乙的周期B.乙的速度大于第一宇宙速度C.甲的加速度小于乙的加速度D.甲在运行时能经过北极的正上方解析:乙的运行高度低于甲的运行高度,两者轨道均可视为圆形,则轨道半径r甲>r乙;据天体运动规律得GMmr2=m42T2r知T=2r3GM,所以T甲>T乙,故A正确;据GMmr2=m

24、v2r知v=GMr.第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度,因乙的轨道半径大于或等于地球半径,所以乙的速度小于或等于第一宇宙速度,故B错误;据GMmr2=ma知a=GMr2,所以a甲<a乙,故C正确;甲为同步卫星,轨道平面跟赤道共面,不可能通过北极正上方,故D错误.答案:AC. 本题综合考查了卫星做圆周运动的规律.卫星越高,运行越慢,加速度越小.第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度,最小的发射速度.同步卫星定周期,定轨道,定高度,定环绕方向,定运行速率.9.(2011年重庆理综,21,6分)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆.每过N年,该行星会运行到日地连线的延长线上,如图所示.该行星与地球的

25、公转半径之比为()A.(N+1N)23B.(NN-1)23C.(N+1N)32D.(NN-1)32解析:据开普勒第三定律,R3T2=k,该行星和地球绕太阳运行时k相同,即R行3R地3=T行2T地2,又由于每过N年日、地、行星再次共线,则T行T地=NN-1,所以公转半径之比R行R地=(NN-1)2/3.答案:B.10.(2011年新课标全国卷,19,6分)卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送.如果你与同学在地面上用卫星电话通话,则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据:月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 km,运行周期约为27天,地球半径约为6 400

26、 km,无线电信号的传播速度为3×108 m/s)()A.0.1 sB.0.25 sC.0.5 sD.1 s解析:对月球,由牛顿第二定律GMm月r月2=m月r月42T月2同理对同步卫星,得:GMm卫(R+h)2=m卫(R+h)42T卫2无线电信号的传播时间t=2hc联立以上三式可得:t0.24 s,所以B正确.答案:B.11.(2011年天津理综,8,6分)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行,其运动视为匀速圆周运动.已知月球质量为M,月球半径为R,月球表面重力加速度为g,引力常量为G,不考虑月球自转的影响,则航天器的()A.线速度v=GMR B.角速度=gRC.运行周期T

27、=2RgD.向心加速度a=GmR2解析:据牛顿第二定律GMmR2=mv2R,知v=GMR,故A正确;据=vR知=GMR3.又g=GMR2,所以=gR,故B错误;据GMmR2=42mRT2,知T=2R3GM,又g=GMR2,所以T=2Rg,故C正确;据GMmR2=ma知a=GMR2,故D错误.答案:AC.12.(2010年福建理综,14,6分)火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目.假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1,神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2,火星质量与地球质量之比为p,火星半径与地球半径之比为q,则T1与T2之比为(

28、)A.pq3B.1pq3C.pq3D.q3p解析:由万有引力提供向心力,GMmR2=m(2T)2R,解得T=42R3GM,故T1T2=q3p,所以D正确.答案:D.13.(2010年北京理综,16,6分)一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上.已知万有引力常量为G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为()A.(43G)12 B.(34G)12C.(G)12 D.(3G)12解析:在天体表面,GMmR2=m42T2R,=MV,V=43R3由以上三式可得T=3G,D正确.答案:D.14.(2010年大纲全国卷,25,18分)如图,质量分别为m和M的两个星球A和B在引力

29、作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线,A和B分别在O的两侧.引力常数为G.(1)求两星球做圆周运动的周期;(2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比.(结果保留3位小数)解析:(1)设A、B的轨道半径分别为r、R,由题意知,它们的角速度相同由向心力公式得M2R=m

30、2r由几何关系R+r=L对A由向心力公式得GMmL2=m·42T2·rT=2由得T=2L3G(M+m).(2)由(1)知T1=2L3G(M+m)将月球看做绕地心做圆周运动,则由万有引力定律和牛顿第二定律得GMmL2=m(2T2)2L,解得T2=2L3GM,则(T2T1)2=M+mM=1.012.答案:(1)2L3G(M+m)(2)1.012卫星的椭圆轨道和变轨问题的分析考向扫描1由开普勒行星运动定律分析卫星在椭圆轨道上的运动速度、动能、势能变化的特点2据卫星近心运动、离心运动的条件分析卫星的变轨问题及能量的变化情况备考点拨1.考题一般结合变轨条件、椭圆与圆轨道交点的特征来考

31、查卫星的变轨和并轨对接问题2.近年来高考还经常联系引力做功、卫星机械能变化等来分析卫星各参量的变化规律,复习时注意把离心运动、近心运动产生条件作为突破问题的关键1.(2012年天津理综,3,6分)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动,动能减小为原来的14,不考虑卫星质量的变化,则变轨前后卫星的()A.向心加速度大小之比为41B.角速度大小之比为21C.周期之比为18D.轨道半径之比为12解析:根据GMmR2=mv2R和Ek=12mv2得,变轨后的轨道半径为原来的4倍,D项错误;由an=GMR2知a1a2=161,A项错误;由=GMR3知12=81,B项错误;由T

32、=42R3GM知T1T2=18,C项正确.答案:C. 在进行本类题目的计算和判断时,应特别注意:主体方程的等号左边为GMmR2,等号右边一定要注意,讨论哪个物理量,就要用哪个物理量所表达的向心力公式.2.(2012年北京理综,18,6分)关于环绕地球运动的卫星,下列说法正确的是()A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星,不可能具有相同的周期B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星,在轨道不同位置可能具有相同的速率C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星,它们的轨道半径有可能不同D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星,它们的轨道平面一定会重合解析:由R3T2=C知,当椭圆轨道的半长轴与圆轨道的半径相等时,二者周

33、期会相同,A项错误;在椭圆轨道上运行时,当卫星运行至关于长轴对称的两个位置时,速率相等,B项正确;所有地球同步卫星具有相同的轨道半径,C项错误;卫星的轨道平面一定要过地心,过地心和北京的轨道平面有无数个,因此,两颗卫星的轨道平面不一定会重合,D项错误.答案:B.3.(2011年大纲全国卷,19,6分)我国“嫦娥一号”探月卫星发射后,先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时);然后,经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”;最后奔向月球.如果按圆形轨道计算,并忽略卫星质量的变化,则在每次变轨完成后与变轨前相比()A.卫星动能增大,引力势能减小B.卫星动能增大,引力

34、势能增大C.卫星动能减小,引力势能减小D.卫星动能减小,引力势能增大解析:据万有引力提供卫星做圆周运动所需向心力,有:GMmr2=mv2r=mr42T2得:v=GMr,T=42r3GM,即轨道半径越大,线速度越小,周期越长,所以A、B错误;变轨后卫星到达更高轨道,万有引力做负功,引力势能增大,所以C错误,D正确.答案:D.4.(2010年山东理综,18,4分)1970年4月24日,我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功,开创了我国航天事业的新纪元.“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道,其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2 384 km,则()A.卫星在M点的势能

35、大于N点的势能B.卫星在M点的角速度大于N点的角速度C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度D.卫星在N点的速度大于7.9 km/s解析:卫星在椭圆轨道上运行时,机械能守恒,则卫星在近地点M运行速度大,动能大而势能小,在远地点N运行速度小,动能小,势能大,故A错误;卫星在M点运行速度大而轨道半径小,在N点运行速度小而轨道半径大,由=vr可知卫星在M点的角速度大于N点的角速度,B正确;由GMmr2=ma知aM>aN,故C正确;卫星在近地点的速度大于7.9 km/s时做离心运动,到远地点N时速度小于7.9 km/s才能做近心运动,再回到M点,所以D错误.答案:BC.5.(2010年天津理综,6

36、,6分)探测器绕月球做匀速圆周运动,变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动,则变轨后与变轨前相比()A.轨道半径变小B.向心加速度变小C.线速度变小D.角速度变小解析:由GMmr2=m42rT2得T=2r3GM,所以周期变小后,轨道半径变小,故A正确.由an=GMr2可知,an变大,故B错误,由v=GMr知v变大,故C错误;由=GMr3知变大,故D错误.答案:A. 解决此题的关键是依据F万=Fn得出T、an、v、与轨道半径的关系,从而确定选项的对错.6.(2010年江苏卷,6,4分)2009年5月,航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后,在A点从圆形轨道进入椭圆轨道,B为轨道上的一点,如

37、图所示.关于航天飞机的运动,下列说法中正确的有()A.在轨道上经过A的速度小于经过B的速度B.在轨道上经过A的动能小于在轨道上经过A的动能C.在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期D.在轨道上经过A的加速度小于在轨道上经过A的加速度解析:近地点速度大,A正确;速度变小时做向心运动,才能由轨道过渡到轨道,故B正确;由于轨道的半长轴小于轨道的半径,由开普勒第三定律可知C正确;由GMmr2=ma知,r相同,故a相同, 因此D错误.答案:ABC.(2011年安徽理综,22,14分)(1)开普勒行星运动第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即a3T2=

38、k,k是一个对所有行星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量k的表达式,已知万有引力常量为G,太阳的质量为M太.(2)开普勒定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立.经测定月地距离为3.84×108 m,月球绕地球运动的周期为2.36×106 s,试计算地球的质量M地.(G=6.67×10-11 N·m2/kg2,结果保留一位有效数字)解析:(1)行星绕太阳运转的向心力由太阳对行星的万有引力来提供:由牛顿第二定律得:GM太m行r2=m行42T2·r于是有:r3T2=GM太42即:

39、k=GM太42是与行星无关的常量.第(1)问共7分赋分细则:式答对得4分,式答对得2分,式答对得1分;只有式也得7分.(2)在地月系统中,设月球绕地球运动的轨道半径为R,周期为T,由式得:R3T2=GM地42解得:M地=6×1024 kg(M地=5×1024 kg也算对).第(2)问共7分赋分细则:1.式答对得2分,式答对得5分.2.缺少式,只有式中的结果也不得式的分.3.将式写成M地=42R3GT2得2分;将式直接写成M地=42R3GT2=6×1024 kg得7分. 通过高考阅卷统计分析,造成失分的原因如下:1.审题不仔细,不知道“结果保留一位有效数字”,错误得

40、出M地=6.0×1024 kg.2.计算能力不强,得出数的数量级不是1024.答案:见解析(对应学生用书第6065页)1.万有引力定律中的r趋向于零时,引力F是否趋向于无穷大?为什么?答案：不是.不能将公式F=Gm1m2r2中r作为纯数学问题处理而违背物理事实.当物体间的距离r趋近于零时,物体不可以看做质点,所以不能直接用该公式计算.2.对运行速度与发射速度的理解(1)如果人造卫星的发射速度v满足11.2 km/s<v<16.7 km/s,则卫星将做什么运动?(2)由v=Gmr可知,卫星的轨道半径越大(离地面越高),卫星的运行速度越小.但从宇宙速度可知,把地球卫星送入越高

41、的运行轨道,发射速度越大,这不相互矛盾吗?答案：(1)v2=11.2 km/s是第二宇宙速度,使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度.v3=16.7 km/s是第三宇宙速度,使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.所以介于11.2 km/s与16.7 km/s之间发射的卫星将围绕太阳运动,成为人造行星.(2)人造卫星在发射升高过程中,要克服地球引力做功,引力势能增大,动能减小,且发射到离地球越远的轨道上,需克服地球引力做的功越多,所以发射速度越大.v=Gmr是卫星在圆轨道上做匀速圆周运动的运行速度,随轨道半径的增大而减小.所以这两者并不矛盾.3.人造卫星中物体的超重和失重状态如何判断?答案：(1)

42、在发射人造卫星时,卫星尚未进入轨道的加速过程中,由于具有竖直向上的加速度(或加速度有竖直向上的分量),卫星内的物体处于超重状态,这种情况与加速上升电梯中物体的超重相同.(2)人造卫星进入轨道后,在正常运行过程中,卫星的加速度等于轨道处的重力加速度,卫星中的物体处于完全失重状态.凡是工作原理与重力有关的仪器(如天平、水银气压计等)在卫星中都不能正常使用,凡是与重力有关的实验,在卫星中都无法进行. 中心天体质量和密度的计算、重力加速度与向心加速度类型一:地球(星球)表面及其附近重力加速度的求解考查特点:根据中心天体的质量和半径求中心天体表面的重力加速度.规律方法:重力是由于地球的吸引而使物体受到的

43、力,但重力并非地球对物体的万有引力,它只是万有引力的一个分力,另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力,如图所示.实际上因自转而导致的重力和万有引力的差别很小,忽略这种差别时,物体的重力就等于万有引力,即地球表面:GMmR2=mg地球表面高h处:GMm(R+h)2=mgh式中M、R分别为地球的质量和半径,g、gh分别为地球表面和地球表面高h处的重力加速度,解得g=GMR2,gh=GM(R+h)2.【例1】 欧洲宇航局利用COROT天文望远镜发现了一颗名为COROT-exo-3b的星体,它不属于目前所知的任何一种星体.这种星体在外观上很像行星,其密度是太阳系最大行星木星的22倍,围绕着另一颗恒星

44、旋转,其质量非常大,约为木星质量的22倍,木星的有关数据见表格.试根据需要选取数据,计算该星体表面的重力加速度.已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,计算结果保留一位有效数字.木星公转信息轨道半径7.7833×108 km公转周期11年315天平均轨道速度13.1 km/s木星的相关数据赤道直径142 984 km表面积6.41×1010 km2质量1.899×1027 kg表面重力加速度23.12 m/s2自转周期9小时55.5分逃逸速度60.2 km/s思路分析:利用引力常量G可直接计算;也可利用COROT-exo-3b星

45、体和木星质量以及密度关系列式求解.解析:法一:COROT-exo-3b星体表面物体所受的万有引力等于物体的重力,即GMCmRC2=mgC式中MC、RC分别为COROT-exo-3b星体的质量和半径,gC为其表面的重力加速度.依题意,COROT-exo-3b星体和木星的密度关系为C=22m,即MC43RC3=22×Mm43Rm3,其中MC=22Mm从表格中数据可知木星的质量、半径分别为Mm=1.899×1027 kg,Rm=71 492 km联立解得gC=G22MmRm2代入数据得gC5×102 m/s2.法二:设COROT-exo-3b星体和木星表面的重力加速度分

46、别为gC、gm,由万有引力定律得GMCmRC2=mgC,GMmmRm2=mgm依题意,COROT-exo-3b星体和木星的密度关系为C=22m,即MC43RC3=22×Mm43Rm3,其中MC=22Mm由表格中数据可知gm=23.12 m/s2,联立以上几式解得gC=MCMm·Rm2RC2gm代入数据解得gC5×102 m/s2.答案:5×102 m/s2 g=GMR2和gh=GM(R+h)2是计算重力加速度的两个常用表达式,其中由g=GMR2推导出的表达式GM=gR2叫“黄金代换式”,应熟记.类型二:星球表面及其附近抛体运动的分析考查特点:已知平抛、竖

47、直上抛运动的规律,求中心天体及绕行天体的相关物理量.规律方法:1.其他星球表面及其附近的抛体运动,与地球上抛体运动具有相同的运动规律.2.这类题要从两方面思考:一方面根据万有引力定律在绕行天体、中心天体上的应用,求星球表面及其附近的重力加速度;另一方面根据抛体运动的运动学规律,求重力加速度.显然重力加速度是联系万有引力定律的应用与抛体运动规律的桥梁.【例2】 如图所示,宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球,测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q,斜面的倾角为,已知该星球半径为R,万有引力常量为G,求:(1)该星球表面的重力加速度;(2)该星球的密度;(3

48、)该星球的第一宇宙速度v;(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T.思路分析:解析:(1)由平抛运动的知识得tan =12gt2v0t,则g=2v0tant;(2)在星球表面有:GMmR2=mg,所以M=gR2G,又V=43R3,则星球的密度=MV=3v0tan2RtG;(3)由GMmR2=mv2R,可得v=GMR,又GM=gR2,所以v=2v0Rtant;(4)绕星球表面运行的卫星具有最小的周期,即:T=2Rv=2Rtv0tan.答案:(1)2v0tant(2)3v0tan2RtG(3)2v0Rtant(4)2Rtv0tan类型三:卫星的向心加速度和中心天体在卫星处的重力加速度之

49、间关系的应用考查特点:由卫星向心加速度和中心天体的重力加速度之间的关系求卫星的v、和T.规律方法:1.在卫星绕中心天体做匀速圆周运动的情形下,卫星的向心加速度是由万有引力产生的,也是中心天体在卫星处的重力加速度,即an=gr=GMr2.2.在关系式an=v2r中,半径r越大,环绕速度越小,认为an与r成反比是错误的,认为an与v2成正比也是错误的.3.利用重力加速度g可求解卫星的绕行速度、角速度、周期.由GMmR2=mg,GMm(R+h)2=mgh,得gh=(RR+h)2g,则向心加速度an=gh=(RR+h)2g,环绕速度v=gh(R+h)=R2gR+h,角速度=ghR+h=R2g(R+h)

50、3,周期T=2R+hgh=2(R+h)3R2g.【例3】 我国通信卫星的研制始于70年代331卫星通信工程的实施,到1984年4月,我国第一颗同步通信卫星发射成功并投入使用,标志着我国通信卫星从研制阶段转入实用阶段.(1)若已知地球的平均半径为R0,自转周期为T0,地球表面的重力加速度为g,试求同步卫星的轨道半径R;(2)有一颗与上述同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星,自西向东绕地球运行,其运行半径为同步卫星轨道半径R的四分之一,试求该卫星的周期是多少?该卫星至少每隔多长时间才在同一城市的正上方出现一次?(计算结果只能用题中已知物理量的字母表示)思路分析:(1)(2)低轨道卫星和地球都转动,只

51、有低轨道卫星比地球多转动2时,该卫星才再一次出现在同一城市的正上方.解析:(1)设地球的质量为M,同步卫星的质量为m,运行周期为T,因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供,故GMmR2=m(2T)2R同步卫星T=T0而在地球表面m'g=GMm'R02.由解得:R=3gR02T0242.(2)由式可知T2R3,设低轨道卫星运行的周期为T',则T'2T2=(R/4)3R3,因而T'=T08,设卫星至少每隔t时间才在同一城市的正上方出现一次,根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系=t得:2T't=2+2T0t,解得:t=T07,即卫星至少每隔T07

52、时间才在同一城市的正上方出现一次.答案:(1)3gR02T0242(2)T08T07类型四:中心天体质量和密度的估算考查特点:已知中心天体的半径和表面重力加速度,或已知绕行天体的轨道半径、周期和该中心天体的半径R计算中心天体的质量和密度.规律方法:掌握以下求解方法:r、T法g、R法质量MGMmr2=m(2T)2r故M=42r3GT2r=R时,M=42R3GT2GMmR2=mg故M=gR2G密度=M43R3=3r3GT2R3r=R时,=3GT2=M43R3=3g4RG【例4】 中子星是恒星演化过程的一种可能结果,它的密度很大.现有一中子星,观测到它的自转周期为T=130 s.问该中子星的最小密度

53、应是多少才能维持该星的稳定,不致因自转而瓦解.(计算时星体可视为均匀球体,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2)思路分析:设想中子星赤道处有一小物块,只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体运转所需的向心力时,中子星才不会瓦解.解析:设中子星的密度为,质量为M,半径为R,自转角速度为,位于赤道处的小物块质量为m,则有GMmR2=m2R=2T=M43R3联立解得=3GT2代入数据解得1.27×1014 kg/m3.答案:1.27×1014 kg/m3 中子星半径一定时,对赤道处物体的引力最小对应中子星的密度最小,属“极限法”思想;天体问题的估

54、算中,常常存在一些隐含条件,应学会利用,如地球的公转周期为365天,自转周期为24小时,月球绕地球运转周期为27天等;利用环绕中心天体运转的卫星(或星体)参量求得的是中心天体的质量,而不是卫星(或星体)的质量.绕行天体的线速度、角速度、周期与半径的关系类型一:绕行天体的v、T的求解考查特点:根据半径r的大小,求解出v、和T的值.规律方法:1.卫星的轨道参量包括向心加速度an、环绕速度v、角速度及周期T等,它们与轨道半径r的关系如下表:GMmr2=man=mv2r=m2r=m(2T)2r向心加速度anan=GMr2,即an1r2线速度vv=GMr,即v1r角速度=GMr3,即1r3周期TT=42

55、r3GM,即Tr32.若不知中心天体质量可结合gR2=GM求解轨道参数.【例5】 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒,其绕土星的运动可视为圆周运动,其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA=8.0×104 km和rB=1.2×105 km,忽略所有岩石颗粒间的相互作用.(结果可用根式表示)(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比;(2)求岩石颗粒A和B的周期之比;(3)土星探测器上有一物体,在地球上重10 N,推算出它在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N.已知地球半径为6.4×103 km,请估算出土星质量是地球质量的多少倍?

56、思路分析:根据万有引力提供向心力,利用匀速圆周运动的知识列式可求解第(1)、(2)两问;根据万有引力与重力的关系可求得第(3)问.解析:(1)岩石颗粒绕土星做匀速圆周运动,由万有引力定律和牛顿第二定律得GMmr2=mv2r,故v=GMr岩石颗粒A和B的线速度之比为vAvB=GMrAGMrB=rBrA=32.(2)GMmr2=m(2T)2r,故T=42r3GM岩石颗粒A和B的周期之比为TATB=42rA3GM42rB3GM=rA3rB3=2233.(3)设地球和土星的质量分别为M地、M,地球和土星的半径分别为R地、R,物体的质量为m,由题意可得GM地mR地2=mg,GMmR2=F引联立并代入数据解得MM地=95即土星质量是地球质量的95倍.答案:(1)32(2)223