特征方程法求解递推关系中的数列通项(二)

1、特征方程法求解递推关系中的数列通项（二）三、（分式递推式）定理3:如果数列an满足下列条件：已知 a1的值且对于n. N，都有an 1 二raPa n q （其中p、q、r、h均为常数，且 hhph qr ,r式0,ai式_一 ）,那么，可作特 rpx q征方程xrx + h当特征方程有两个相同的根（称作特征根）(1)时,若a1=，,则 an =', n N ;若a11",n N ,其中 bn bnai -（n 1）:,n三N 特另U地，当存p r扎在n。-N,使 bn0=0时，无穷数列an不存在(2)当特征方程有两个相异的根（称作特征根）时，则,nN,Cn1其中n丄,nN,

2、(其中 a ).a +4例3、已知数列an满足性质：对于nNa n ,且a 3,求a.的通项公式.2an +3x + 42解依定理作特征方程 x,变形得2 x ，2x-4=0,其根为 1 = 1, ' 2 - -2.故特征2x +3方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有Cna 1 一 1 p 一 1 -( -)p 人2 r31(0)2, n N.122= ( -5)n(_丄)55Cn - 1-2-(5521 na(-一)-1 55n -1-1n(一 5)-413a 25例5已知数列an满足：对于n N ,都有a. !n .an +3(1 )若 a5,求 a.；(2) 若 a

3、, =3,求 an;(3) 若 a = 6,求 a.；(4) 当a,取哪些值时，无穷数列an不存在？13 x _ 25解：作特征方程 x = 一 .变形得 X2 -10 x 25 =0,x +3特征方程有两个相同的特征根 =5.依定理2的第(1)部分解答.(1) t at = 5,. at -，.对于 n N ,都有 a. - - 5; t a1 =3,. a1 u1rbn(n -1)-a<| _，p - r 1 1(n 1)3 -513 -1 51 n 1_ +2 8 '令bn =0，得n = 5 .故数列 an从第5项开始都不存在,当 n w 4, n N 时，an =丄 =

4、 5n _仃bna1令bn二丄 ，-bn15 =n -115,n N.n - 7、显然当a1-3时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,ai =5 时数列an是存在的，当=0,则 n - -7 y n. .对于 n N, bn = 0.1r1 n -1人c /曰5n 一13bn(n _1),n N.令 5=0,则得 a，n Na、_kp 打 a -58n 一1且 n > 2.r5n 13二当a、(其中n N且N >2)时，数列 an从第n项开始便不存在.n _15 n 13于是知：当a!在集合 <或一：n N ,且n >2上取值时，无穷数列a.都

5、不存 n _1在.练习题：求下列数列的通项公式：1、在数列 an中，a1 =1,a2 =7, an =2an3an±(n _ 3),求 a。(key :n 1n 2、a2 3 - (-1)-)2、在数列an中,at =1,a2 =5,且an - 5 a n_ 4 an _2，求 an。(key: a !(4n -1)3在数列an中,a 1 = 3, a 2 =7, a n= 3an_j -2an_2(n-3),求 annW、o(key: a n = 2- -1 )列an中，31二3, a 21-an3求 an。( key :7an4在数列an中，a! =3, a25,an -231(

6、4an an )3，求a2(key: a. =1)3n -1在数列an中,a<,= a, a2=b, an -2=pan 1 qa n，且 p q=1 .求 an . (key: q = 1n _1aq b -( b - a)( - q) 时，an =a - (n -1)(b -a) ； q =1 时，an1 + q7、在数列an中，a1 = a,a2 = a - b, pa n 2 -( p ' q)an 1 ' qa 0 ( p, q 是非 0 常数).n A亠pq求 an . (key: a. =a1 -()b ( p = q ); a. = a1(n - 1)b

7、) ( p 二 q )p q p8 、 在 数 列 an 中 ，a1 , a2 给 定 ， a n = ba n丄 ca n. 求:n-1n-1n_2n-2an .(key: a. =- 一，C( -) q (、：=)；若：=:,上式不能应用，P-aP -a此时，a n = (n1) a2n -2-(n - 2)a1、f附定理3的证明定理3（分式递推问题）：如果数列an满足下列条件：已知a,的值且对于n N，都有an 1 二ra n那么，可作特pa n q （其中p、q、r、h均为常数，且ph = qr , r hpx q征方程Xrx + h当特征方程有两个相同的根(1)（称作特征根）时,a1

8、an, n 三 N ,其 中bna11r(n -1), n-咒P -r 二N .特别地，当存在nobn-N ,使bn0 =0时，无穷数列 an不存在(2)当特征方程有两个相异的根（称作特征根）时，则a中Cna1N,(其中 a 2 )证明:先证明定理的第（1）部分. 20qra nan ( p - r) qra n h(dn )(pr)qhr(dn ) h2dn(P r) r"(h p) -q=0.rd n/ 是特征方程的根，将该式代入式得d n ,dn( p - r)rd n h r将x = P代入特征方程可整理得ph =qr,这与已知条件ph = qr矛盾.故特征方程的r根，-,于

9、是 p _ r - 0.当d!川,=；.时，由式得 bn =0, n 三 N,故 an = dn 二，N.当d1=0即由、两式可得 dn=0, nN.此时可对式作如下变化:rd ndn 1dn(p - r)由是方程xp-q的两个相同的根可以求得2rrx亠hh+gh 亠，.r2r1将此式代入式得 一,n 三 N.2r1r+d n 1 dn令bndn,n - N .则 bn = bn,n N.故数列bn是以p 7rrr一为公差的等差数列.N.r- bn=b1 (n -1), n -p -7S其中b1 二d1 a1当存在n。 N ,使bn0bn0不存在的.再证明定理的第（2）部分如下:一. 1 一.

10、a n = d n ，= '，, n - N .bn1=0时，an0 = dn0无意义.故此时，无穷数列 an是特征方程有两个相异的根 2，其中必有一个特征根不等于a1 ,不妨令 2 = a1.于是可作变换 cn = ,nN.故Cnan 1-'1，将 an1ran hCn1由第Cn1pan q代入再整理得an(p)q.h, n Nan( P ，2) q ，2h(1)部分的证明过程知 X二匕不是特征方程的根,r_=0, p _ .2r =0.所以由式可得:an JP - '2an,n Nq - 2 h-P 一 2特征方程xpx q有两个相异根，1rx - h12=方程2 rxx(h异根、 2，而方程x =xh与方程rxx(h p)=0又是同解方程p - xrq 7i h将上两式代入式得Cn丄ci,n=0,即 a1-时，数列cn是等比数列，公比为P二厘此时对于n N都有- 2 rP n 丄，a1人1Cn 二 5(-)=(