初中数学竞赛专项训练三角形边角关系

1、学习必备欢迎下载初中数学竞赛专项训练（命题及三角形边角不等关系）一、选择题：1、如图 8-1，已知 AB 10， P 是线段 AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和 PB 为边作两个等边三角形 APC 和 BPD ，则线段 CD 的长度的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 5(5 1)2、如图 8-2，四边形 ABCD中 A 60°， B D 90°， AD 8，AB 7，则 BCCD等于（）A.63B. 53C.4 3D. 333、如图 8-3，在梯形 ABCD 中， AD BC，AD 3，BC 9，AB 6，CD 4，若 EF BC ，且梯形 AEFD与梯

2、形 EBCF 的周长相等，则EF 的长为（）A. 45B. 33C. 39D. 157C5D52DDACEF60°ABCPBAB图 8-2图 8-3图 8-14、已知 ABC 的三个内角为 A、 B、 C 且 A+B ， C+A ， C+B ，则 、 、 中，锐角的个数最多为（）A. 1B. 2C. 3D. 05、如图8-4，矩形 ABCD的长 AD 9cm，宽 AB 3cm，将其折叠，使点D 与点 B 重合，那么折叠后 DE的长和折痕 EF 的长分别为（）EADADA. 4cm10cmB. 5cm10cmCBCBFC. 4cm 23cmD. 5cm2 3cmC图 8-46、一个三角

3、形的三边长分别为a， a， b，另一个三角形的三边长分别为a， b，b，其中 a>b，若两个三角形的最小内角相等，则a 的值等于（）bA.31B.51C.3252222D.27、在凸10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A. 0B. 1C. 3D. 58、若函数 y kx( k1的图象相交于A ，C 两点， AB 垂直 x 轴于 B， 则 ABC 的面积为0) 与函数 yx（）A. 1B. 2C. kD. k 2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则 d 与 a b 的大小关系是2学习必备欢迎下载2、如图 8-5， AA 、 BB 分别是

4、 EAB 、 DBC 的平分线，若AA BB AB ，则 BAC 的度数为ACBA·AD16BD米EPBA C图 8-5图 8-6甲C 乙20 米BD 图 8-73、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（ 5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长4、如图 8-6， P 是矩形 ABCD 内一点，若PA 3， PB 4， PC 5，则 PD5、如图 8-7，甲楼楼高16 米，乙 楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12 时太阳光线与水平面的夹角为 30°，此时求如果两楼相距20 米，那么甲楼的

5、影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。A6、如图 8-8，在 ABC 中， ABC 60°，点 P 是 ABC 内的一点，使得APB BPC CPA，且 PA 8， PC 6，则 PB三、解答题BPC图 8-81 （ AB+AC ）1、如图 8-9， AD 是 ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD 2ABCD图 8-92、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？学习必备欢迎下载3、如图 8-10，在 Rt ABC 中， ACB 90°， CD 是角平分线， DE BC 交 AC 于点 E， DF AC

6、交 BC 于点 F。求证：四边形CEDF 是正方形。CD2 2AE · BFCEFABD图 8-104、从 1、 2、 3、 4、 2004 中任选 k 个数，使所选的k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k 的最小值是多少？学习必备欢迎下载参考答案一、选择题1、如图过C 作 CEAD 于 E，过 D 作 DFPB 于 F，过 D 作 DGCE 于 G。1显然 DG EFAB 5， CD DG，当 P 为 AB 中点时，有CD DG 5，2A所以 CD 长度的最小值是5。2、如图延长AB 、 DC 相交于 E，在 Rt ADE

7、中，可求得AE 16， DE 83 ，于是 BE AE AB 9，在 Rt BEC 中，可求得BC 33 ， CE 63 ，于是 CD DE CE23BC CD53 。3、由已知AD+AE+EF+FD EF+EB+BC+CF AD+AE+FD EB+BC+CF 1 ( ADABBCCD)112CDGEPFBDC60°ABEADEGF EF BC ， EF AD ，AEDFEBFCBCH设 AEDFk ， AEkAB6k ，DFkk CD4kEBFCk1k11k 1AD+AE+FD 3+6k4k13k3 13k311解得 k 4k 1k 1k1k1作 AHCD，AH 交 BC 于 H，

8、交 EF于 G，则 GF HC AD 3， BH BCCH 9-3 6 EGAE4， EG4BH24EF EG GF24339BHAB555554、假设 、 、 三个角都是锐角， 即 90°， 90°， 90°，也就是 A+B 90°， B+C 90°，C+A 90°。 2（ A+B+C ） 270°，A B C 135°与 A B C 180° 矛盾。故 、 、 不可能都是锐角，假设 、 、 中有两个 锐角，不妨设 、 是锐角，那么有 A B 90°，C A 90°， A (A B

9、C)<180 °，即 A+180 ° 180°， A 0°这也不可能，所以 、 、 中至多只有一个锐角，如 A 20°， B 30°， C 130°， 50°，选 A 。5、折叠后，DE BE ，设 DE x，则 AE 9 x，在 RtABC 中， AB 2 AE 2BE 2，即32(9x) 2x2 ，解得 x5，连结 BD 交 EF 于 O，则 EO FO， BODOBD92323 10DO 3102在 Rt DOE 中， EO DE 2DO 252( 310) 210 EF2210 。选 B。AQ6、设

10、ABC 中， AB AC a，BC b，如图 D 是 AB 上一点，有 AD b，因 a>b，DBC学习必备欢迎下载故 A 是 ABC 的最小角， 设 A Q，则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为Q，从而它与 ABC 全等，所以 DCb， ACD Q，因有公共底角 B，所以有等腰 ADC等腰 CBD ，从而得 BCBD ，即 ba b ，令 xa ，即得方程 x2x1 0 ，ABBCabba51解得 x2。选 B。b7、 C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不能超过3 个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3 个，实际上，容

11、易构造出内角中有三个锐角的凸10 边形。8、A 。设点 A 的坐标为 （ x，y ），则 xy111，故 ABO 的面积为xy22，又因为 ABO与 CBO 同底等高，因此ABC 的面积 2× ABO 的面积 1。二、填空题1、如图设四边形ABCD的一组对边 AB 和 CD 的中点分别为M、N，MN d，另一组对边是AD 和 BC，其长度分别为a、b，连结 BD ，设 P 是BD 的中点， 连结 MP 、PN，则 MP a ，NP b ，显然恒有 dAab ，当 AD BC，由平行线等分线段定理知222MM 、 N 、P 三点共线，此时有Ba b ，所以 d 与 a b 的大小关系是

12、 da b (或 a bdd ) 。22222、 12°。设 BAC的度数为 x， AB BB B BD 2x， CBD 4xABAA AA B AB A CBD 4x AAB 1 (180 1 (1802x)4x 4x 180 ，于 是可解出 x 12°。2DPNCx)3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有10 组，它们是（ 3，5，7）、（3，5，9）、（ 3，5，11）、（ 3，7，9）、（ 3，7，11）、（ 3， 9， 11）、（ 5，7，9）、（ 5， 7，11）、（ 5， 9，11）、（ 7， 9， 11）。由 3+5 9， 3+5 11，

13、3+7 11 可以判定（3， 5， 9）、（ 3， 5，11）、（ 3， 7， 11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7 个数组构成三角形E三边长。AD4、过 P 作 AB 的平行线分别交DA 、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分别交 AB 、aa HGPCD 于 G、H。bb设 AG DH a， BG CH b， AE BF c，DE CF d，B cFdC则 AP2a2c 2， CP2b2d 2，BP 2b2c 2，DP2d 2a 2于是 AP2CP 2BP 2DP 2，故 DP2AP 2CP 2BP 232524218 ，DP3 25、设冬天太阳最低时，甲楼最高处A 点的

14、影子落在乙楼的 C 处，那么图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设 CE AB 于点 E，那么在 AEC 中，AEC 90°， ACE 30°， EC 20 米。学习必备欢迎下载所以 AE EC tan ACE20tan30 203A11.6（米）。3CDEB AB-AE 16-11.6 4.4（米）16米 甲 E设点 A 的影子落到地面上某一点C，则在 ABC 中， ACB 30°，AB 16 米，所以 BCABcotACB163B27.7（ 米）。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7 米。6、提示：由题意 APB BPC CP

15、A120°，设 PBC ， ABC 60°则 ABP 60° ， BAP PBC ， ABP BPC， APBP ， BP2 AP· PCBPPCBPAPPC484 3B三、解答题1、证明：如图延长AD 至 E，使 AD DE，连结 BE 。 BD DC ， AD DE ， ADC EDB ACD EBD AC BE在 ABE 中， AE AB BE ，即 2AD AB ACAD 1 （AB AC ）22、答案提示：在 ABC 中，不妨设 ab c a+b>ca+b+c>2c即 p>2cc< p ，2另一方面 c a 且 cb2c

16、 a+b 3ca bcp cp。因此 pp3c32C 乙20DADCE3、证明：ACB 90°， DE BC， DF AC ， DE AC ，DE BC，从而 ECF DEC DFC 90°。 CD 是角平分线 DE DF ，即知四边形 CEDF 是正方形。在 Rt AED 和 Rt DFB 中， DE BC ADE B RtAED Rt DFB AEDE ，即 DE·DFAE·BF CD 2 DE 2 DF，DFBF CD 22DE2DF2DEDF2 AEBF4、解：这一问题等价于在1，2，3， 2004 中选 k 1 个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k