2球面波谷风教育

1、1.3 球面波球面波波面为波面为球面球面的波被称为的波被称为球面波球面波。 简谐平面波是描述光波的基本模型。虽然任意简谐平面波是描述光波的基本模型。虽然任意复杂波可以用简谐平面波的叠加来描述，但有些复杂波可以用简谐平面波的叠加来描述，但有些两种特殊波面（比如球面波）的光波可用更简洁两种特殊波面（比如球面波）的光波可用更简洁的数学式来描述。的数学式来描述。理想理想点光源点光源发出的波为球面波。发出的波为球面波。一个在真空或一个在真空或各向同性各向同性介质中的介质中的理想点光源，它向外发射的光波理想点光源，它向外发射的光波是球面光波，等相位面是以点光是球面光波，等相位面是以点光源为中心、随着距离的

2、增大而逐源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同心球面。渐扩展的同心球面。1课资教育1.3.1 球坐标系中的波动微分方程球坐标系中的波动微分方程球面波具有球对称性，在球坐标系中，球面波的波球面波具有球对称性，在球坐标系中，球面波的波函数只与函数只与 r 有关，与有关，与和和无关。所以：无关。所以：2222),(1),(ttretre222),(1),(rtrrertre在球坐标系中，有：在球坐标系中，有：代入上式，有：代入上式，有：22222),(1),(ttrrertrre2课资教育其通解：其通解：)(1)(1),(21trbrtrbrtre向原点会聚向原点会聚从原点发散从原点发散规定速度规定

3、速度v的正负表示波的传播方向，球面波的波的正负表示波的传播方向，球面波的波函数可进一步简化为函数可进一步简化为：)(1),(trbrtre1.3.2. 简谐球面波简谐球面波当波函数为当波函数为正弦或余弦正弦或余弦形式时，对应的球面波称形式时，对应的球面波称为为简谐球面波简谐球面波。3课资教育简谐球面波的简谐球面波的波函数：波函数：101( , )cos ()e r tak rtr简谐球面波的简谐球面波的复指数描述：复指数描述：101( , )exp ()e r tai krtr简谐球面波的简谐球面波的复振幅：复振幅：101( , )exp ()e r tai krr4课资教育1.3.3简谐球面

4、波参量的特点简谐球面波参量的特点101( , )cos ()e r tak rtr（1）振幅）振幅简谐球面波振幅的这个特点是简谐球面波振幅的这个特点是能量守恒定律能量守恒定律所要求的。所要求的。（2）相位）相位简谐球面波的相位是：简谐球面波的相位是：0tkr5课资教育说明说明v是沿球面径向的位相传播速率。是沿球面径向的位相传播速率。当等相位面自球心向外传播时当等相位面自球心向外传播时v0,称为称为发散球面波发散球面波，当等相面向球心会聚时当等相面向球心会聚时v0，称为，称为会聚球面波会聚球面波。k仍为波数：仍为波数：2k代表发散和会聚球面波。代表发散和会聚球面波。由于球面波振幅随由于球面波振幅

5、随r增大而减小，故严格说来：增大而减小，故严格说来：球面波波函数不成现严格的空间周期性。球面波波函数不成现严格的空间周期性。6课资教育1.3.4 在光学中，通常要求解光波在某个平面上的复振幅分布。在光学中，通常要求解光波在某个平面上的复振幅分布。),(000zyxsxyzo0r)0 ,(yxp202020)()(zyyxxr7课资教育),(000zyxsxyzo0r)0 ,(yxp10( )exp ()ae ri krr将将r代入上式，并设光源的初相为代入上式，并设光源的初相为0，210222 1 200022 1 200( )exp ()()()() ae rikxxxxyyzyyz这个表达

6、式含有根式，相当复杂，不便于分析，考虑到这个表达式含有根式，相当复杂，不便于分析，考虑到光学研究的实际情况，常常对上式做适当简化。光学研究的实际情况，常常对上式做适当简化。8课资教育1.3.5简谐球面波的共轭光波简谐球面波的共轭光波 ),(000zyxsxzo与平面波的共轭光波类似，与平面波的共轭光波类似，对位于点对位于点s的点光源发出的点光源发出的球面波。的球面波。它在它在z=0平面上的复振幅平面上的复振幅分布：分布：1( )expae rikrr其中：其中：222 1 2000()()rxxyyz其共轭：其共轭：1( )expae rikrr9课资教育即：即：210222 1 200022

7、 1 200( )exp()()()() ae rikxxxxyyzyyz这显然是一束会聚的球面波，这显然是一束会聚的球面波，会聚中心为：会聚中心为：000000(,),(,)xy zxyz前者表示沿原路返回的球前者表示沿原路返回的球面波，后者会聚中心面波，后者会聚中心s与与原光源原光源s对对z=0平面镜像对平面镜像对称。称。),(000zyxsxzo000(,)s xyz10课资教育1.5 电磁场的边界条件电磁场的边界条件将麦克斯韦方程组应用于两种介质的界面，可以得将麦克斯韦方程组应用于两种介质的界面，可以得到电磁场的边值关系：到电磁场的边值关系：在界面两侧，电场强度的切向分量连续：在界面两

8、侧，电场强度的切向分量连续：在界面两侧，磁感应强度的法向分量连续。在界面两侧，磁感应强度的法向分量连续。在界面两侧，电位移矢量的法向分量连续。在界面两侧，电位移矢量的法向分量连续。在界面两侧，磁场强度的切向分量连续。在界面两侧，磁场强度的切向分量连续。12121212()0()0()0()0nnnn ddbbeehh11课资教育1.6 光波在两种各向同性的均匀媒质界面光波在两种各向同性的均匀媒质界面上的反射和折射上的反射和折射 光波由一种媒质投射到与另一种媒质光波由一种媒质投射到与另一种媒质的交界面时，将发生反射和折射（透射）的交界面时，将发生反射和折射（透射）现象。根据麦克斯韦方程组和现象。

9、根据麦克斯韦方程组和边界条件边界条件讨论光在介质界面的上的反射和折射。讨论光在介质界面的上的反射和折射。反射波、透射波与入射波反射波、透射波与入射波传播方向传播方向之间之间的关系由反射定律和折射定律描述，而的关系由反射定律和折射定律描述，而反射波、透射波与入射波之间的反射波、透射波与入射波之间的振幅和振幅和相位关系相位关系由菲涅耳由菲涅耳(fresnel)公式描述。公式描述。12课资教育1.6.1 折射和反射定律折射和反射定律光由一种介质入射到另一种介质，在界面上将产生反射和折射。光由一种介质入射到另一种介质，在界面上将产生反射和折射。现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为无穷大的平现假

10、设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为无穷大的平面，面， 入射、入射、 反射和折射光均为平面光波，其电场表示式为反射和折射光均为平面光波，其电场表示式为 ：()lli k rtlleae l=i, r, t 式中，脚标式中，脚标i, r, t分别代表入射光、反射光和折射光；分别代表入射光、反射光和折射光；r是是界面上界面上任意点的矢径任意点的矢径，在如，在如图图所示的坐标情况下，有所示的坐标情况下，有: j yi xr13课资教育平面光波在界面上的反射和折射平面光波在界面上的反射和折射14课资教育界面两侧，总电场：界面两侧，总电场：rieee1tee2考虑到电场在界面两侧的边界条件：考虑到电

11、场在界面两侧的边界条件：12n en e exp ()exp ()exp ()riirrrtttnai k rtai k rtn ai k rt 上式对于任意时间都成立，必须有：上式对于任意时间都成立，必须有：tri这说明：这说明： 入射光、反射光和折射光具有相同的频率；入射光、反射光和折射光具有相同的频率；15课资教育上式对于任意位置都成立，必须有：上式对于任意位置都成立，必须有：rkrkrktri0)(rkkir0)(rkkit这说明：入射光、反射光和折射光均在入射面内，三个波这说明：入射光、反射光和折射光均在入射面内，三个波矢关系如矢关系如图图所示。所示。 16课资教育三波矢关系三波矢关

12、系 17课资教育 进一步，根据上图所示的几何关系，可得到进一步，根据上图所示的几何关系，可得到 ：ttiirriikkkksinsinsinsin又因为又因为k=n/c，可将上二式改写为，可将上二式改写为ttiirriinnnnsinsinsinsin这就是介质界面上的这就是介质界面上的反射定律和折射定律反射定律和折射定律， 折射定律又称为斯折射定律又称为斯涅耳涅耳(snell)定律。定律。 18课资教育1.6.2 菲涅耳公式菲涅耳公式光的折射和反射定律只是解决了光在两光的折射和反射定律只是解决了光在两种介质分界面处的传播方向问题。不能种介质分界面处的传播方向问题。不能解决光在界面处的能量分配

13、（振幅）和解决光在界面处的能量分配（振幅）和相位变化。下面我们还是利用电磁场的相位变化。下面我们还是利用电磁场的边界条件进一步解决振幅和相位问题。边界条件进一步解决振幅和相位问题。也就是导出也就是导出菲涅耳公式菲涅耳公式。我们只讨论电。我们只讨论电场的菲涅耳公式。场的菲涅耳公式。19课资教育1. s分量和分量和p分量分量 通常把垂直于入射面振动的分量叫做通常把垂直于入射面振动的分量叫做s分量分量，把平行于，把平行于入射面振动的分量称做入射面振动的分量称做p分量分量。为讨论方便起见，规定。为讨论方便起见，规定s分分量和量和p分量的正方向如图所示。分量的正方向如图所示。1n2noikirkrtkt

14、isersetseiperpetpe20课资教育2. 反射系数和透射系数反射系数和透射系数假设介质中的电场矢量为假设介质中的电场矢量为:exp ()llleai krtl=i, r, t 其其s分量和分量和p分量表示式为分量表示式为: exp ()lmlmleai krtm=s,p 则定义则定义s分量、分量、p分量的分量的反射系数、透射系数反射系数、透射系数分别为分别为 :rmtmmmimimaartaa21课资教育3. 菲涅耳公式的推导菲涅耳公式的推导假设假设界面上的入射光、反射光和折射光界面上的入射光、反射光和折射光同相位同相位，根据电磁场，根据电磁场的边界条件及的边界条件及s分量、分量、

15、 p分量的正方向规定，可得：分量的正方向规定，可得：(1)isrstsaaatptrpripihhhcoscoscos000考虑到平面电磁波电场和磁场之间的关系（数值及方向）：考虑到平面电磁波电场和磁场之间的关系（数值及方向）：ecnbh001上式变为：上式变为：12(coscos )cos(2)isirsrtstn aan a22课资教育联立（联立（1）、（）、（2）两式，可得）两式，可得s分量的反射系数：分量的反射系数：1212coscoscoscosrsitsisitannrann)sin()sin(tititititantantantan和透射系数：和透射系数：1122coscosco

16、stsisisitantann)sin(sincos2titi23课资教育同理可得同理可得p分量的反射系数：分量的反射系数：2112coscoscoscosrpitpipitannrannsin2sin2sin2sin2itit tan()tan()itit 和透射系数：和透射系数：1212coscoscostpipipitantann)sin()sin(sincos2tititi24课资教育1.6.3 菲涅耳公式的讨论菲涅耳公式的讨论（1）n1n2的情形：的情形：即：由光密介质射入光疏介质。即：由光密介质射入光疏介质。此时，折射角大于入射角，我们把折射角为直角时所对此时，折射角大于入射角，我

17、们把折射角为直角时所对应的应的入射角入射角称为称为全反射临界角全反射临界角。12sinnnc当入射角小于临界角时。当入射角小于临界角时。分析方法和前面相同，我们将菲涅耳公式绘图分析。分析方法和前面相同，我们将菲涅耳公式绘图分析。35课资教育)(0istsrprptptstsrprb反射、透射系数和入射角的关系反射、透射系数和入射角的关系c36课资教育通过分析不难发现：通过分析不难发现：由光密介质射入光疏介质没有半波损失。由光密介质射入光疏介质没有半波损失。布儒斯特定律形式不变。布儒斯特定律形式不变。菲涅耳系数可以大于一，但并不意味着能量不守恒。菲涅耳系数可以大于一，但并不意味着能量不守恒。当入

18、射角大于临界角时。当入射角大于临界角时。由折射定律：由折射定律：itnnsinsin21此时，此时，12sinsinnnci1sintt为复数。为复数。37课资教育此时菲涅耳系数为复数：此时菲涅耳系数为复数：1212cosexp()cosisssininrrinin2121cosexp()cosipppininrrinin i为实数，在形式上有：为实数，在形式上有：itnnsinsin212/12)sin1(costt1/22212sin1inini 38课资教育1.7 全反射全反射1.7.1 全反射时反射波的相位变化全反射时反射波的相位变化将折射角由实数域扩展到复数域后，全反射时的菲涅耳将折

19、射角由实数域扩展到复数域后，全反射时的菲涅耳系数一般也是复数，其辐角就是相应的相位变化：系数一般也是复数，其辐角就是相应的相位变化：212 arctancossinn 122 arctancospinn利用利用s分量和分量和p分量的相位突变的差异性，可以利用线分量的相位突变的差异性，可以利用线偏振光来产生圆偏振光或者椭圆偏振光。偏振光来产生圆偏振光或者椭圆偏振光。39课资教育1.7.2 隐失波隐失波全反射时，反射率为全反射时，反射率为100，透射光强为，透射光强为0，第二种媒质中似，第二种媒质中似乎不应该有光场。乎不应该有光场。更深入地研究表明：更深入地研究表明：在全反射时，光波场将透入到第二种介在全反射时，光波场将透入到第二种介质很薄的一层内（约为光波波长），并沿着界面传播一段距质很薄的一层内（约为光波波长），并沿着界面传播一段距离，再返回第一种介质。这种波叫做隐失波或者倏逝波。离，再返回第一种介质。这种波叫做隐失波或者倏逝波。可能有些同学也注意到了，在全反射时，可能有些同学也注意到了，在全反射时，透射系数透射系数并不为零。并不为零。设透射波的波函数为（设透射波的波函数为（坐标系坐标系）：）：exp ()ttteai krtkzjyixrkkikktz