2013年高中数学解题思路大全：均值不等式求最值策略.

1、均值不等式求最值策略陈本平 陈同量 米新生应用平均值不等式求最值时，要把握平均值不等式成立的三个条件 忽略了任何一个条件，就会导致 解题失败，若出现问题，又怎样另辟 求最值呢？本文提出一些思路。5x :4所以4x -5：0故5-4x 0所以4y二4x _14x 54=4 -(5 -4x)5 4x一4-2(5-4x)544x=02.拆添配凑，变动为定，使之适合“二定”条件，过第二关利用均值不等式求最值，变形构造出“定值”是难点，其方法如下:(1) 变形法例2.求函数2的最小值。x+2“一 厂y -一2(x R)lx2+1解：因为x三R所以x21 -10“一正二定三相等”蹊径，寻求新方法来1.调整

2、符号,化负为正，使之适合“一正”条件，过第一关例1.已知x匚，求函数5 443时，x =4ymax= 02y = (x1)1x21,x211一x21_2二2x21当且仅当即X=时，ymin=2min(2)配凑法例3.已知x 3，求函数8的最小值。y = 2x -x3解:因为x 3则有2x - 6、0,0 x -3所以y=2x82x686x3x 3当且仅当x3) x83 2(x 3)，即X=5时，y.=14-33.分离常数(1)拆项法例4.当时,x2-3x 1的最小值。x 1解:因为x -1所以所以2_ (x 1) -5(x 1)5x0 v人土甲乙A8 t7+ J- X）t7f乙+P =（X小）

3、（X乙）辻皿曲+ /： A 0XjX一YMW$IWB（乙）（辛虽）L# x擋吿今乙=XBA乙乙 乙間笛咖J Tdg，川+x）x 1+ + x =gx+异x- 卜乙=x /9- - U+x）：s“ x9- （1+ x）=9所以11y =(a )(b)a b1ba二ababab1-(ab )2ab=(.ab)2Vab-3255.“三关”难过，前进受阻，应另辟蹊径(1)利用代数、三角换元例9.若a，b为正实数，且ab=1，求11的最小值。y=(1+_)(1 + )a b解：因为a，b 0，且a b =1所以可设-2 2a =sin-：,b = cos5(0, 一)则11y = (12)(12)sin

4、 a cos a2 2 2 2sin - cos、丄sin - cos =(1岂一)(1竺長j)sin acosa22=(2 cot：)(2 tan :)2 2=4 2(tan二“ cot：) 1-54 tan2：cot2：= 9当且仅当tan2： cot?：，即2二时取等号，这时tan口= 1, o = a = b4a+b=1，所以y.=9in=(4 - ab-3. ab)1，满足2(2)引入参数，巧渡难关A2：x + 2y聖所以Pmin=16(3)利用函数单调性例11.求2的最小值。x +5 / -2(x R)Jx2+44一2易知1f()：在扎w2, +辺)上单调递增，所以乙=2时,fmin()二例10.已知x，9+y，求P=X+y的最小值。=1解：设 0,由已知有(x_1) =0所以二x y：(x-1)欲取等号，当且仅当9时，=16，此