万有引力与航天导学案教师版

1、第 4 课时 万有引力与航天考纲解读 1. 掌握万有引力定律的内容、公式及其应用2. 理解环绕速度的含义并会求解3.3. 了解第二和第三宇宙速度 知识梳理一. 开普勒行星运动定律所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆， 太阳对任意一个行星来说， 它与太阳的连线在相等的所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期1. 开普勒第一定律 （轨道定律 ） 处在所有椭圆的一个焦点上 .2. 开普勒第二定律 （ 面积定律 ） 时间内扫过相等的面积 .3. 开普勒第三定律 （周期定律 ）的二次方的比值都相等 .a 3/T 2k.二、万有引力定律及其应用1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线

2、上，引 力的大小与物体的质量 m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成 反比Gm1m2 112 22表达式： F r12 2，G为引力常量： G6.67×1011 N·m2/kg 2.3适用条件（1）公式适用于质点间的相互作用 当两物体间的距离远远大于物体本身的大 小时，物体可视为质点（2）质量分布均匀的球体可视为质点， r 是两球心间的距离三宇宙速度1第一宇宙速度又叫环绕速度推导过程为：由 mg2 mv1 RGMmR2 得gR7.9 km/s.2第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度3第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是

3、人造地球卫星的最小发射速 度特别提醒 1. 两种周期自转周期和公转周期的不同2两种速度环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速 度3两个半径天体半径 R和卫星轨道半径 r 的不同3第二宇宙速度 (脱离速度 )：v211.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小 发射速度4第三宇宙速度 (逃逸速度 )：v316.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小 发射速度热点聚焦考点一 天体质量和密度的计算1解决天体 (卫星 )运动问题的基本思路(1) 天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即Mmv224 2rMmGR2mg( g表Gr2ma向mr2mrm T2(2) 在中心天体表面或

4、附近运动时，万有引力近似等于重力，即示天体表面的重力加速度 ) 深化拓展 (1) 在研究卫星的问题中， 若已知中心天体表面的重力加速度 g 时， 常运用 GMgR2 作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来由于这种代 换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式(2) 利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：Mm GM在行星表面重力加速度： GR2mg，所以 g R2 .Mm GM 在离地面高为 h 的轨道处重力加速度： G Rh 2 mgh，所以 gh R h 2.2天体质量和密度的计算(1) 利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R.MmgR2由于 GR2 mg，故天体质量 M

5、 G ，M M 3g 天体密度V34R34GR.234 r(2) 通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T和轨道半径 r.Mm 4 2由万有引力等于向心力，即 Gr 2mT2 r ，得出中心天体质量 M GT2 ；若已知天体半径 R，则天体的平均密度3r3MM V4 3 GT2R3 ； 43R3若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天3体半径 R，则天体密度 GT2. 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度考点二 卫星运行参量的比较与运算1卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，2Mmv2G 2 ma向 m m2rm42rT22卫星的各

6、物理量随轨道半径变化的规律考点三 . 卫星变轨问题的分析当卫星由于某种原因速度突然改变时 ( 开启或关闭发动机或空气阻力作用 ) ，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：2(1) 当卫星的速度突然增加时，卫星Mm v2G 2<m ，即万有引力不足以提供向心力， rr将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳 定运行时由 v r 可知其运行速度比原轨道时减小Mm v2(2) 当卫星的速度突然减小时， Gr 2>mr ，即万有引力大于所需要的向心力， 卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道 稳定运行时由 v Gr M可知其运行速度

7、比原轨道时增大 卫星的发射和回收就是利用这一原理(1) 卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大(2) 卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小(3) 圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相 同.考点四 . 双星系统模型问题的分析与计算1双星系统模型的特点：(1) 两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动， 故两星的角速度、周期相等(2) 两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力， 所以它们的向心力大小相等；(3) 两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即 r 1r 2L. 2双星系统模型的三大规律：(1) 双星系统的周期、角速度相同(

8、2) 轨道半径之比与质量成反比(3) 双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有 关，而与双星个体的质量无关聚焦高考1.关于万有引力公式 FG r2 ，以下说法中正确的是 (C ) A公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B当两物体间的距离趋近于 0 时，万有引力趋近于无穷大 C两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D公式中引力常量 G 的值是牛顿规定的 2发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是( )A开普勒、卡文迪许B牛顿、伽利略C牛顿、卡文迪许D开普勒、伽利略3. 关于万有引力公式 FG r2 以下说法中正确的是 ( )A. 公式只适用于星球之间

9、的引力计算，不适用于质量较小的物体 B当两物体间的距离趋近于 0 时，万有引力趋近于无穷大 C两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D公式中引力常量 G 的值是牛顿规定的4. 在万有引力定律的公式中， r 是 ( ) A对星球之间而言，是指运行轨道的平均半径 B对地球表面的物体与地球而言，是指物体距离地面的高度 C对两个均匀球而言，是指两个球心间的距离 D 对人造地球卫星而言，是指卫星到地球表面的高度5一宇航员在某星球上以速度 v0 竖直上抛一物体，经 t 秒落回原处，已知该星球半径为 R，那么该星球的第一宇宙速度是v0tA. RB.2v0Rtv0RC.t答案 B解析 设该星球表面重力加速度为

10、 g，由竖直上抛知识知，t 2gv0，所以 g2v02由牛顿第二定律得： mgmvR，所以 v gR2v0Rt.6.(2012 福·建理综 ·16)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动， 为 v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为其线速度大小m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 N.已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为2 mv A. A.GN()mv4B.GNC. NGvm2Nv4D.NGvmG，则A恒星的质量为 2vTG2G2342v3行星的质量为 GT2C行星运动的轨道半径为vT22v行星运动的加速度为 2T7.（2011 ·江苏&

11、#183; 7）一行星绕恒星做圆周运动由天文观测可得，其运行周期为 T，速度为 v，引力常量为答案 ACD解析 由GrM2 mmrv2m4T22r得 M2vrv3TG 2 G A 对；无法计算行星的质量，GMmRh 2GM<RhvB（2011·8.（ 广东· 20） 已知地球质量为 M，半径为 R，自转周期为 T，地球同 步卫星质量为 m，引力常量为 G. 有关同步卫星，下列表述正确的是 （ ）A. 卫星距地面的高度为4GM2TB. 卫星的运行速度小于第一宇宙速度C 卫星运行时受到的向心力大小为 GMR2mD 卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析 天体运动

12、的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动， 即 F 引 Fv2 4 2mrGMmF 向 mr T2 . 当卫星在地表运行时， F 引 R2mg（此时 R为地球半径 ） ，设同步卫星离地面高度为 h，则 F引2 GMmmv2答案 BD42m Rh342 ，得 RhT2GM42，即 hF 向ma 向mg， 所以 C 错误，D 正确由 Rh 2Rh得，9如图 2 所示，将卫星发射至近地圆轨道 1，然后再次点火，将 卫星送入同步轨道 3. 轨道 1、2 相切于 Q,2、3 相切于 P点， 则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的 是 ( )A卫星在轨道

13、2 上经过 Q点时的速度小于它在轨道 2 上经过 图 2 P点时的速度B卫星在轨道 1上经过 Q点时的加速度等于它在轨道 2上经过 Q点时的加速 度C卫星在轨道 1 上的向心加速度小于它在轨道 3 上的向心加速度D卫星在轨道 3上的角速度小于在轨道 1 上的角速度 答案 BD解析 本题考查人造卫星的知识由开普勒第二定律可知，卫星在椭圆轨道 的近地点速度大， A 错；卫星在同一点受到的万有引力相同，加速度也相同，B对；由 aGrM2，r 越小， a越大， C错；由 GMr 2mm2r ，卫星在轨道 3 上的半径大，故角速度小， D 对v v vT错；r22，C对；a2r v2Tv，D对10(20

14、12 ·福建理综· 13) “嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导 星若测得“嫦娥二号”在月球 ( 可视为密度均匀的球体 ) 表面附近圆形轨道43 运行的周期为 T，已知引力常量为 G，半径为 R 的球体体积公式 V3R3，则 可估算月球的 ( )A密度B质量C半径D自转周期答案 AGMm 4 2 解析 对“嫦娥二号”由万有引力提供向心力可得：R2 m T2 R，故月球的42R3质量 M GT2 ，因“嫦娥二号”为近月卫星，故其轨道半径为月球的半径R，但由于月球半径未知， 故月球质量无法求出， 月球质量未知， 则月球的半径 R也则无法求出，故 B、C 项均错； 月球的密

15、度234R2M GT2 3 V4 3 GT2，故 A正确3R311.(2012 ·天津理综· 3)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动， 假如该卫星变1轨后仍做匀速圆周运动， 动能减小为原来的 4，不考虑卫星质量的变化，则变轨前、后卫星的 ( )A向心加速度大小之比为 41B角速度大小之比为 2 1C周期之比为 18轨道半径之比为 12答案解析12根据 Ek 2mv 得 v 2mEk，所以卫星变轨前、 后的速度之比为v1 2 v21.根据GMr2mmvr ，得卫星变轨前、2r 1 v2 1后的轨道半径之比为 r 1v2 21，选项 D错误；r 2 v1 4根据GMr2mma，

16、得卫星变轨前、后的向心加速度大小之比为2a1 r 2 16 2a2 r1 2 1，选项A错误；根据 GMr 2mm2r ，得卫星变轨前、后的角速度大小之比为123r23r12T2 1 882T181，选项B错误；根据 T2，得卫星变轨前、后的周期之比为 TT2B角速度大小约为卡戎的 17C线速度大小约为卡戎的 7 倍D向心力大小约为卡戎的 7 倍 答案 A选项 C 正确12. (2012 ·重庆·18)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约 为 71，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动由此可知，冥王星绕 O 点运动的 ( )1A 轨道半径约为卡戎的 17

17、解析 本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为 m1、r 1、 v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为 m2、r 2、v2，由双星问题的规律可 得，两星间的万有引力分别给两星提供做匀速圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故 B、D 均错；由 GmL1m2 2m12r1 m22r2（L 为两星间的距离 ），r1 m2 1r2m17，v1 r1 m2 1v2 r2 m1 7故A 对，42R3无法求出，故 B、C项均错；月球的密度 MVGT 34R3GT2，故 A 正确13我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站如图 3 所示，关闭发动机的航天飞机 A在月球引力作用 下沿椭

18、圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点 B 处与 空间站对接已知空间站绕月轨道半径为 r ，周期为 T， 引力常量为 G，月球的半径为 R. 下列判断正确的是 ( )A航天飞机到达 B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速图 3B图中的航天飞机正在加速飞向 B 处C月球的质量 M42r3GT2D月球的第一宇宙速度2rv答案 ABC解析 航天飞机到达 B 处时速度比较大， 如果不减速此时万有引力不足以提由万有引力提供空间站做圆周运动的向心力，则供向心力，这时航天飞机将做离心运动，故 A 正确；因为航天飞机越接近月 球，受到的万有引力越大， 加速度越大， 所以正在加速飞向 B处，故 B 正确； Mm 4 2rGr 2m T2 ，整理得 M42r 32r上的线速度， 而不是围绕4GT2r ，故 C正确；速度 v2Tr 是空间站在轨道月球表面运动的第一宇宙速度，故 D错误14已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，万有引力常量为 G，不考 虑地球自转的影响(1) 求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度 v1；(2) 若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为 T，求卫星运行半径 r ；(3) 由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出平均 密度表达式答案