研究生课件应用数学基础4.线性赋范空间

1、1第一章第一章 集合上的数学结构集合上的数学结构（抽象空间）（抽象空间）4.4.线性赋范空间线性赋范空间一、线性赋范空间概念与性质一、线性赋范空间概念与性质二、有限维线性赋范空间二、有限维线性赋范空间有限维线性赋范空间的基本性质有限维线性赋范空间的基本性质: :有限维线性赋范空间都是完备的有限维线性赋范空间都是完备的2u一、线性赋范空间的概念和性质一、线性赋范空间的概念和性质定义定义4.1 4.1 设设v v是数域是数域f f上的线性空间上的线性空间. . 如果如果 x x v,v,对应一个非负实数对应一个非负实数, 即即v vr r是一泛函是一泛函, ,满足满足: : (1)(1) x x

2、v,x0;x=0v,x0;x=0 x=x= . . (2)(2) k k f,xf,x v,kx=|k|x.v,kx=|k|x. (3)(3) x,yx,y v,x+yx+y,v,x+yx+y, 则称则称x(xx(x v)v)为为x x的范数的范数,v,v成为成为f f上的线性上的线性 赋范空间赋范空间. .3设设v v是线性赋范空间。定义映射：是线性赋范空间。定义映射： ：v v v vr r， (x,y)=x(x,y)=xy(x,yv)y(x,yv)容易验证：容易验证： 是是v v上的度量，从而上的度量，从而vv， 是度量是度量空间，因而，空间，因而，v v是（度量）拓扑空间。于是，是（度

3、量）拓扑空间。于是，v v上有开集上有开集 、闭集、极限点、导集、闭包、闭集、极限点、导集、闭包、收敛、连续、完备、紧致、列紧等概念。收敛、连续、完备、紧致、列紧等概念。完备的线性赋范空间称为完备的线性赋范空间称为banachbanach空间。空间。线性赋范空间线性赋范空间v v中序列中序列xxn n 称为范数收敛于称为范数收敛于x x v,v,如果如果. 0limxxnn4由于线性赋范空间由于线性赋范空间v v是线性空间，有加法和数乘是线性空间，有加法和数乘运算，故可讨论序列运算，故可讨论序列xxn n 的级数及其收敛的概念。的级数及其收敛的概念。称级数称级数xxxxnnn211收敛于收敛于

4、s s v,v,如果如果. 0limssnn这里这里nkknxs1.,11收敛如果称为绝对收敛的级数nnnnxx定理定理4.1 4.1 线性赋范空间线性赋范空间v v是完备的是完备的 v v中每个绝对收敛的级数都收敛中每个绝对收敛的级数都收敛. .5证明证明: : ) )设设v v完备完备. .级数级数)1 ,.(:,11nvxxxnnnnn收敛要证绝对收敛 实际上实际上, , s sn ns sm m=x=xm+1m+1+ +x+xn nxxm+1m+1+x+xn n(nm),(nm),于是于是ssn n 是是v v中中cauchycauchy列列, ,所以所以.1收敛nnx) )任取任取v

5、 v中中cauchycauchy列列xxn n,则可找到自然数则可找到自然数n n1 1nn2 2 , ,使使 )., 2 , 1(21knnkxxkk因此因此.11xxnnkkk61.)(1kxxnnkk收敛由假设得到.,limvxnxkk由此易知从而从而,x,xn n 收敛收敛. .例例4.1 x=(x4.1 x=(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n) )t t r rn n, ,定义范数定义范数 ).1 (|11|ppnkpkpxx则则r rn n是线性赋范空间是线性赋范空间, ,而且是而且是banachbanach空间空间. . x x ca,b,ca,b,定义范数定义范数. |

6、 )(|maxtxbtax则则ca,bca,b是是banachbanach空间空间. .7x x l lp pa,b,a,b,定义范数定义范数).1 ()(|1|pdttxpbappx则则l lp pa,ba,b是是banachbanach空间空间. .x=(xx=(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n) )t t l lp p(1p(1p0.)0.显然显然,f(,f( 0 0)0.)0.只要证只要证 f(f( 0 0) ) 0.0.由于由于 0 0 s,s,故故 0 0不是零向量不是零向量. .从而从而, ,.100exknkk于是于是, f(, f( 0 0)=x)=x0 0 0 0。

7、 x x x,x,且且x x, ,则则x x的坐标的坐标 是是r rn n中非零向量。中非零向量。所以，所以，. 0|2112nkkrn,rxxn记rxn对应的坐标则是是s s上的向量。上的向量。14故故 f(f( )f()f( 0 0) )，即，即0)(0frxn记记)(10fb 则有则有.|2112xbnkk由此推出，有限维线性空间的任意两种范数由此推出，有限维线性空间的任意两种范数都是等价的。都是等价的。两个线性赋范空间两个线性赋范空间x x和和y y称为线性同胚的，如果称为线性同胚的，如果存在线性双射存在线性双射t t：xyxy，使，使t t和和t t-1-1都是连续的。都是连续的。1

8、5定理定理4.3 4.3 任何一个实数域任何一个实数域r r上的上的n n维线性赋范维线性赋范空间空间 x x都与都与n n维欧氏空间维欧氏空间r rn n线性同胚，即线性同胚，即 存在线性双射存在线性双射t t：x xr rn n, ,且且t t与与t t1 1连续。连续。 证明：设证明：设ee1 1,e,e2 2, ,e,en n 是是x x的一组基。的一组基。 x x x x有有eknkkx1其中其中 = =（ 1 1， 2 2， n n) )t t为为x x的坐标。的坐标。16定义映射定义映射t t：x xr rn n: : tx= tx=（ 1 1， 2 2， n n) )t tt

9、t显然是线性的。而且显然是线性的。而且t t1 1存在。实际上，存在。实际上，任给任给 = =（ 1 1， 2 2， n n) )t t r rn n, ,于是于是xyeknkk117由于向量坐标的唯一性，所以由于向量坐标的唯一性，所以 对应的对应的y y是唯是唯一的，而且一的，而且 =ty=ty，从而，从而，t t1 1存在。存在。 最后证明最后证明t t和和t t1 1的连续性。由上面的定理，的连续性。由上面的定理，存在正数存在正数a a和和b b，使，使yxbyxankkk2112|从而从而rrtytxnnyxbnkkk2112|18由此推出由此推出t t的连续性。又由于的连续性。又由于

10、yxtt11raannkkk1|12112由此推出由此推出t t1 1的连续性。的连续性。定理定理4.4 4.4 任意的有限维线性赋范空间必为任意的有限维线性赋范空间必为 banachbanach空间空间; ;无限维线性赋范空间的有限维子无限维线性赋范空间的有限维子 空间必为闭子空间空间必为闭子空间. . 证明证明: : 设设x x是是n n维线性赋范空间维线性赋范空间,e,e1 1,e,e2 2, ,e,en n 是是19x x的一组基的一组基. .又设又设xxn n 为为x x的任一的任一cauchycauchy列列. .由上面的定理由上面的定理, ,存在线性同胚存在线性同胚t:xt:xr

11、 rn n, ,使使 txtxn n=p=pn n r rn n, t, t1 1p pn n=x=xn n(n=1,2,(n=1,2,) )容易证明容易证明:p:pn n 是是r rn n中中cauchycauchy列列. .实际上实际上, ,由由t t连续连续, ,0,0,存在存在 0,0,当当xxyy 时有时有 txtxtytynm,nn时时, ,有有 xxn nx xm m 20于是于是 txtxn ntxtxm m , ,即即 ppn np pm m . .因此因此,p,pn n 是是r rn n中中cauchycauchy列列, ,由由r rn n的完备性的完备性, ,有有rpnnnplim再由再由t t1 1的连续性的连续性, ,.11limlimxxptptxnnnn从而从而x x完备完备.