机械工程控制基础 第二章 20100425

1、材料学院机械工程控制基础机械工程控制基础主讲教师：叶春生Tel中科技大学材料学院华中科技大学材料学院机械工程控制基础机械工程控制基础 第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第三章第三章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 第四章第四章 频域分析法频域分析法 第五章第五章 控制系统的稳定性控制系统的稳定性 第六章第六章 控制系统的校正控制系统的校正华中科技大学材料学院第二章系统的数学模型第二章系统的数学模型 2.12.1系统的微分方程系统的微分方程 2.22.2相似原理相似原理 2.32.3传递函

2、数传递函数 2.42.4系统的传递函数方框图及其简化系统的传递函数方框图及其简化 2.52.5反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数 华中科技大学材料学院一阶线性微分方程回顾一阶线性微分方程回顾一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程 ;华中科技大学材料学院对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(解非齐次方程)()(ddxQyxPxy

3、用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得华中科技大学材料学院在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0例例. 有一电路如图所示, ,sintEEm电动势为电阻 R 和电. )(tiLERK解解: 列方程 .已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始条

4、件: 00ti由回路电压定律:其中电源求电流感 L 都是常量,华中科技大学材料学院LERK解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(由初始条件: 00ti得222LRLECm)(ti dtLRetLEmsintLRmeCtLtRLRE)cossin(222tetLRddC利用一阶线性方程解的公式可得华中科技大学材料学院tLRmeLRLEti222)()cossin(222tLtRLREmtLRmeLRLEti222)()sin(222tLREm暂态电流稳态电流则令,arctanRLLERK因此所求电流函数为解的意义: 华中科技大学材料学院拉普拉斯变

5、换 拉普拉斯变换法是一种解线性微分方程的简便运算线性微分方程的简便运算方法方法由于拉普拉斯变换的运用，我们能使许多普通函数，如正弦函数、阻尼正弦函数和指数函数转换成复变数的代数函数微积分的运算能内在复平面内的代数运算来代替 于是，线性微分方程能转换成复变数的代数方程微分方程的解可用拉普拉斯变换表，或部分分式展开式求出 拉普拉斯变换法的一个优点是可以用显示系统特性优点是可以用显示系统特性的图解方法来计算，而无需实际去解系统的微分力的图解方法来计算，而无需实际去解系统的微分力程程它的另一个优点是当我们解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量和稳态分量华中科技大学材料学院拉普拉斯变换的定义 本节介绍拉普

6、拉斯变换的定义，对拉普拉斯变换存在的条件作简略的讨论，并举例说明几种常用函数的拉普拉斯变换的推导拉普拉斯变换的定义如下:00)( )()()(dtetftfdtesFtfLstst f(t)=时间t的函数，而且当t0时，f(t)=0；s= 复变数；L= 运算符号，放在某量之前，表示该量用拉普拉斯积分 进行变换 ;s= 复变数 0dtest华中科技大学材料学院两个基本函数单位脉冲函数单位脉冲函数 0)(0tt0tt )(0tt0tt 1)(0ttL 单位阶跃函数单位阶跃函数 0, 00, 1)(ttatu华中科技大学材料学院拉普拉斯变换的特性(1) 线性性)()(sAFtAfL)()()()(2

7、121sFsFtftfLl衰减定理)()()(0)(asFdtetftfeLtasat华中科技大学材料学院拉普拉斯变换的特性(2) 延时定理l时间尺度定理)()()(sFeatuatfLas0, 00, 1)(ttatu)()()()(0asaFatdeatafatfLatas华中科技大学材料学院拉普拉斯变换的特性(3) 延时定理l时间尺度定理)()()(sFeatuatfLas0, 00, 1)(ttatu)()()()(0asaFatdeatafatfLatas华中科技大学材料学院15拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质（1）线性)(1tfkinii)(.1tfLTkniidttdf)(微

8、分( )(0 )sF sf积分tdf)(sfssF)0()(时移)()(00ttuttf)(0sFestatetf)()(asF频移华中科技大学材料学院16拉氏变换的基本性质（2）尺度变换)(atfasFa10lim( )(0 )lim( )stf tfsF s终值定理0lim( )( )lim( )tsf tfsF s 卷积定理)(*)(21tftf12( )( )FsFs12( )( )f tf t)(*)(2121sFsFj初值定理华中科技大学材料学院初值定理初值定理0( )( ),lim( ), (0 )lim( )lim( )sstf tF ssF sff tsF s设且存在 则终值

9、定理终值定理的终值的终值则则存在存在且且设设)(,)(lim),()(tftfsFtfLt )(lim)(lim)(0ssFtffst 华中科技大学材料学院18常用的拉氏变换公式S1tatu)(as 1nt1!nsn)(t1)(0tt 0ste( )u t华中科技大学材料学院拉普拉斯反变换的定义 由复变数表达式推导成为时间表达式的数学运算叫做反变换拉普拉斯反变换的符号是L-1,其数学表达式为 )0)()(21)()(1tasFdsesFjsFLtfjcjcst华中科技大学材料学院求解拉普拉斯反变换的部分分式法 如果niisFsF11)()(l则 )()(111niisFLsFLl通常,在控制系

10、统中)()()()()()()(2121nmpspspszszszssAsBsFl用部分分式化简为)()()()(2211nnpsapsapsasF华中科技大学材料学院用拉普拉斯变换法解线性微分方程 如果niisFsF11)()(l则 )()(111niisFLsFLl通常,在控制系统中)()()()()()()(2121nmpspspszszszssAsBsFl用部分分式化简为)()()()(2211nnpsapsapsasF华中科技大学材料学院2.0 引言 许多动态系统动态系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等，都可以用微分方程加以描述微分方程加以描述如果

11、对这些微分方程求解，就可以获得动态系统对输入量(或称作用函数)的响应系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得 数学模型数学模型 系统动态特性的数学表达式、叫做数学系统动态特性的数学表达式、叫做数学模型模型要分析动态系统，首先应推导它的数学模型我们必须牢牢记住，推导一个合理的数学模型，是整个分析过程中最至要的事情华中科技大学材料学院典型的典型的二阶系统数学模型二阶系统数学模型随动系统A Servo System（位置控制系统）如图所示。+图3-6 随动系统原理图输入电位计输出电位计rc发送反馈信号SMcia输入装置e1 KAKAe

12、LaR1R1R2i放大器 电动机齿轮传动负载误差测量装置Ra随动系统原理图华中科技大学材料学院该系统的该系统的任务任务：控制机械负载的位置控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。使其与参考位置相协调。工作原理：工作原理：用一对电位计作系统的误差用一对电位计作系统的误差测量装置测量装置，它们可以将输入和输出位置信，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。号，转换为与位置成正比的电信号。输入电位计电刷臂的角位置 ，由控制输入信号确定，角位置 就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置 ，由输出轴的位置确定。rrc华中科技大学材料学院(

13、3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：amiCM :mC电动机的转矩系数:ai为电枢电流对于电枢电路eKKdtdKiRdtdiLsAbaaaa:aaRL电动机电枢绕组的电感和电阻:bK电动机的反电势常数:电动机的轴的角位移。电动机的力矩平衡方程为：电动机的力矩平衡方程为：amiCMdtdfdtdJ22J:电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。f:电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。华中科技大学材料学院电动机产生的力矩电动机产生的力矩（电磁转距）为： )()(sICsMam对于电枢电路()( )( )( )aaaASbL sR IsK K

14、 E sK ss电动机的力矩平衡方程电动机的力矩平衡方程为：2() ( )( )JsfssM s )(1)(siscKsKACmi1KbSr(s)E(s)E1(s)Ia(s)M(s)(s)c(s)3-113-103-12KbS(s)图3-7 随动系统方块图随动系统方框图2.12.1系统的微分方程系统的微分方程 建立微分方程的一般方法华中科技大学材料学院系统微分方程式的建立的一般方法系统微分方程式的建立的一般方法1 1、基本步骤、基本步骤( (基于机理分析法基于机理分析法) )华中科技大学材料学院实例实例1 1：RLCRLC电路电路RCTRLTset21,:)(22221trudtduTdtud

15、TTccc)(22trudtduRCdtudLCcccuc(t)r(t)R Li1、明确系统的输入和输出、明确系统的输入和输出 输入输入r(t), 输出输出uc(t)2、列写原始的微分方程、列写原始的微分方程3、消除中间变量，并简化整理、消除中间变量，并简化整理华中科技大学材料学院弹簧-质量-阻尼系统)(tFKmf)(ty输入外力输出位移)(tF)(tykfFFtFdttydm)()(22dttdyfFf)()(tkyFk 阻尼系数，与运动方向相反f)(22tFkydtdyfdtydm实例实例2 2：机械运动系统：机械运动系统华中科技大学材料学院22112211,rrMMJ1J2mM,111,

16、 MZ22, MZ1f2f2CM基本关系式基本关系式22111212,MzzMzz2121zzrr实例实例3 3：齿轮系的运动方程：齿轮系的运动方程华中科技大学材料学院齿轮齿轮1和齿轮和齿轮2的运动方程的运动方程1（1）以齿轮）以齿轮1的角速度的角速度 为输出，外部为输出，外部 为输为输入入mM221221211111MMfdtdJMMfdtdJCm（1）（2）mMMzzfdtdJ2211111212121212MMzzfdtdzzJC华中科技大学材料学院CmMzzMfzzfdtdJzzJ21122211122211CmMMfdtdJ11CCMzzM12mMfdtdJ111122121JzzJ

17、J22121fzzff华中科技大学材料学院CmMMzzfzzfdtdJzzJ12212122212122（1）以齿轮）以齿轮2的角速度的角速度 为输出，外部为输出，外部 为输入为输入mM2华中科技大学材料学院电枢电压控制直流电动机电枢电压控制直流电动机电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程)()()()(tutEtiRdttdiLaaaaaaSM负载mJaEaRmauaLmfaiCM实例实例4 4：机电系统微分方程：机电系统微分方程华中科技大学材料学院 若以角速度若以角速度 为输出量、电枢电压为输出量、电枢电压 为输入量，为输入量， 消去中间变量，直流电动机的微分方程为消去中间变量，直流电动

18、机的微分方程为电磁转矩方程电磁转矩方程)(tiCMamm电动机轴上转矩平衡方程电动机轴上转矩平衡方程)()()(tMMtfdttdJCmmmmmmau)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLCaCaammemmammamamma华中科技大学材料学院)()()()()()(22tMCCfRRdttdMCCfRLtuCCfRCtdttdCCfRJRfLdttdCCfRJLCemmaaCemmaaaemmammmemmamamamemmama,)(,)()(,)(321aaLemmaaemmaaemmamemmamamRLTCCfRLKCCf

19、RRKCCfRCKCCfRJRT)()()()()()()(23122tMKdttdMKtuKtdttdTCCfRfRTdttdTTCCammmemmamaLmmL华中科技大学材料学院当电枢回路的电感可以忽略不计当电枢回路的电感可以忽略不计 若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化可忽略不计，则上式可进一步简化)()()()(21tMKtuKtdttdTCammm)()(,)(21emmaaemmamemmamamCCfRRKCCfRCKCCfRJRT)(1)(tuCtaem华中科技大学材料学院i1u2u1R2R1C2C1i

20、2i实例实例5 5：无源RC网络系统华中科技大学材料学院测温热电偶，求热偶温度变化微分方程。质量1m比热1pC介质到热偶热阻为 ，1R输入介质温度 ，i输出热电偶温度1 ipQdtdCm11111RQii热量ipdtdCmR11111温度指示仪热偶1i实例实例6 6：测温热电偶测温热电偶华中科技大学材料学院写成标准形式写成标准形式 将与输入量有关的各项写在方程的右边；将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。边各导数项均按降幂排列。1110111101( )( )( )( )( )( )( )(

21、)nnooonnonnmmrrrmmrmmd xtdxtdxtaaaa xtdtdtdtd xtdxtdxtbbbb xtd tdtdt当初始条件为零时，对方程两边取拉氏变换，有当初始条件为零时，对方程两边取拉氏变换，有 11101110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnonooommmrmrrra s XsasXsa sXsa Xsb s XsbsXsbsXsb Xs华中科技大学材料学院非线性微分方程的线性化华中科技大学材料学院非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 实际的物理元件都存在一定的非线性，例如实际的物理元件都存在一定的非线性，例如弹簧系数弹簧系数 是位移

22、的函数是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区电动本身的摩擦、死区小偏差线性化法小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数)(xfy 平衡状态平衡状态A为工作点为工作点yyyxxxxfy 0000, )(在平衡状态点运用台劳级数展开为)(xfy )(xK华中科技大学材料学院泰勒级数展开-非线性系统的线性近似方法 200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxfyl函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处展开处展开l忽略高次项忽略高次项)()()(000 xxxfxfxfy202200)()(! 21

23、)()()()(00 xxdxxfdxxdxxdfxfxfyxx)()()()(0000 xxdxxdfxfxfyyxxKy 具有两个自变量的非线性函数的线性化具有两个自变量的非线性函数的线性化)(),()(),(),(),(202),(221101),(12120102120102010 xxxxxfxxxxxfxxfxxfyxxxx2211xKxKy 增量线性方程增量线性方程华中科技大学材料学院 对于非线性系统或环节，假设系统工作对于非线性系统或环节，假设系统工作过程中，过程中，其变量的变化偏离稳态工作点增量其变量的变化偏离稳态工作点增量很小很小，各变量在工作点处具有一阶连续偏导，各变量在

24、工作点处具有一阶连续偏导数，于是可将非线性函数（数模）在工作点数，于是可将非线性函数（数模）在工作点的某一邻域展开成泰勒级数，的某一邻域展开成泰勒级数，忽略高次（二忽略高次（二次以上）项次以上）项，便可得到关于各变量近似线性，便可得到关于各变量近似线性关系，我们称这一过称为关系，我们称这一过称为非线性系统非线性系统(数模数模)的线性化的线性化。华中科技大学材料学院非线性实例-流体运动系统A截面积1Qh2Q（1）入水流量）入水流量 为输入，液位为输入，液位 为输出为输出（2）若假设液位不可压缩，根据质量守恒定律：）若假设液位不可压缩，根据质量守恒定律：1Qh21QQdtdhA其中其中 为出水流量为出水流量2Q华中科技大学材料学院（3）根据流量公式）根据流量公式 为出口节流阀流量系数，当为出口节流阀流量系数，当 变化不大时，变化不大时， 可视为只与阀门开度有关，若开度一定，可视为只与阀门开度有关，若开度一定， 为常数。为常数。（4）消去中间变量得：）消去中间变量得：hCQv2vChvCvC1QhCdtdhA