(完整版)北师大数学七年级下册第四章三角形及其性质(基础)

1、三角形及其性质(基础)知识讲解【学习目标】1 .理解三角形及与三角形有关的概念，掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法.2 .理解三角形内角和定理的证明方法；3 .掌握并会把三角形按边和角分类4 .掌握并会应用三角形三边之间的关系.5 .理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法.【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.要点诠释：(1)三角形的基本元素：三角形的边：即组成三角形的线段；三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.(2)三角形的定义中的三个要求：“不在同一条

2、直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3)三角形的表示：三角形用符号表示，顶点为 A、B、C的三角形记作“ ABC”, 读作“三角形 ABC”，注意单独的没有意义； ABC的三边可以用大写字母 AB、BC、 AC来表示，也可以用小写字母 a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、 c表不.要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180 .要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；求一个三角形中各角之间的关系.要点三、三角形的分类1.按角分类：直角三

3、角形三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形要点诠释：锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形2.按边分类:不等边三角形三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形要点诠释：不等边三角形：三边都不相等的三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角；等边三角形：三边都相等的三角形.要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边 .推论：三角形任意两边之差小于第三边 .要点诠释：(1)理论依据：两点之间线段最短 .(2)三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形

4、，若两条较短的线段长之和大于最长 线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当已知三角形两边长, 可求第三边长的取值范围.(3)证明线段之间的不等关系.要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段 名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线义字 语百从三角形的一个顶点向它的 对边所在的直线作垂线，顶 点和垂足之间的线段.三角形中，连接一个顶 点和它对边中点的线 段.三角形一个内角的平分线 与它的对边

5、相交，这个角 的顶点与交点之间的线 段.图形 语百2AAA|DDD作图 语百过点A作AD，BC于点D .取BC边的中点D,连接AD .作/ BAC的平分线AD , 交BC于点D .标小 图形AD1 DD符号 语百1. . AD是 ABC的高.2. AD是 ABC中BC边上 的高.3. AD XBC 于点 D .1 . AD是 ABC的中线.2 . AD 是4ABC 中 BC 边上的中线.1. AD是4ABC的角平分 线.2. AD 平分/ BAC ,交 BC 于点D.4. / ADC =90 , / ADB = 90 .(或 / ADC = / ADB =90 )3 . BD = DC = 1

6、 BC24 .点D是BC边的中点.3. /1 = /2 = / BAC .2推理 语百因为AD是4ABC的高，所 以 AD，BC.(或 / ADB = / ADC =90 )因为AD是4ABC的中线，所以BD = DC =1-BC.2因为AD平分/ BAC ,所 以 / 1 = / 2= 1 Z BAC .2用途 举例1 .线段垂直.2 .角度相等.1 .线段相等.2 .面积相等.角度相等.注思 事项1 .与边的垂线小同.2 .不一定在三角形内.一与角的平分线/、同.重要 特征三角形的三条高（或它们的 延长线）交一点.一个三角形有三条中 线，它们交十三角形内 一点.一个一角形后一条角平分 线，

7、它们交十三角形内一 点.【典型例题】类型一、三角形的内角和1.证明:三角形的内角和为180【答案与解析】解：已知：如图，已知 ABG求证：/ A+/B+/ 0= 180证法1:如图1所示，延长BC至ij E,作CD / AB .因为AB / CD （已作），所以/ 1=/A （两 直线平行，内错角相等），/B=/2 （两直线平行，同位角相等）.又 / ACB+ / 1 + /2=180 （平角定义），所以/ ACB+ /A+ /B=180 （等量代换）.证法2:如图2所示，在 BC边上任取一点 D ,作DE / AB ,交AC于E, DF / AC ,交AB 于点F.因为DF / AC （已作

8、），所以/ 1 = /C （两直线平行，同位角相等）Z 2=Z DEC （两直线平行，内错角相等）因为DE /AB （已作）.所以/ 3=/B, / DEC= Z A （两直线平行，同位角相等）所以/ A=/2 （等量代换）.又/ 1 + /2+/3=180 （平角定义），所以/ A+ /B+/C=180 （等量代换）. 2.在4ABC 中，已知/ A+Z B = 80 , / C=2/B,试求/ A, / B 和/ C 的度数.【思路点拨】 题中给出两个条件：/ A+ZB=80 , /C = 2/B,再根据三角形的内角和等 于180 ,即/ A+ / B+ZC=180就可以求出/ A, /

9、B和/ C的度数.【答案与解析】解：由/ A+Z B=80 及/ A+/ B+/C=180 ,知/ 0= 100 .又: /C = 2/B,ZB = 50 .ZA = 80 -/B=80 -50 =30 .【总结升华】 解答本题的关键是利用隐含条件/A+/B+/0=180。.本题可以设/ B = x,则/A = 80 -x, /C=2x建立方程求解.举一反三：【变式】 已知，如图，在 ABC中，/ C=/ AB0=2/ A, BD是AC边上的高，求/ DBC的度数.BC【答案】解：已知 ABC 中，/ C=/ ABC=ZA设/ A=x贝U / C=/ ABC=2xx+2x+2x=180解得：x

10、=36/ C=2x=72在 BDC中，BD是AC边上的高，/ BDC=90DBC=180 90 -72 =18类型二、三角形的分类3.一个三角形的三个内角分别是75、30、75 ,这个三角形是（）A锐角三角形 B 等腰三角形 C 等腰锐角三角形【答案】C举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A锐角 B 直角C钝角D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是 180。以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120。，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的三边关系【思路点拨】 三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意

11、两边之差小于第三边.注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也 可能是负数，一般取“差”的绝对值.【答案】D【解析】要构成一个三角形.必须满足任意两边之和大于第三边.在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边.A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边.故不能组成三角形.D选项中，2cm+3cm 4cm.故能够组成三角形.【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：判断出较长的一边；看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能构成三角形，不大于则不能构成三角形.举一反三：【变式】判（2015?泉州）已知4ABC中，AB=6 , BC=4 ,那

12、么边AC的长可能是下列哪个值（）A. 11 B. 5C. 2D. 1【答案】B.解：根据三角形的三边关系，6 - 4VAC6+4,即 2VAC 10,符合条件的只有5,故选：B.Oh,皑皿曰 5.若三角形的两边长分别是 2和7,则第三边长c的取值范围是 .【答案】5 c 9【解析】 三角形的两边长分别是 2和7,则第三边长c的取值范围是1 2-7 c2+7,即5c9.【总结升华】三角形的两边a、b,那么第三边c的取值范围是|上b|cS2B. SkS2C. S1=S2D.以上三种情况都有可能9.若 ABC的/ A = 60 ,且/ B: / C=2: 1,那么/ B的度数为（）A. 40 B,

13、80 C, 60 D. 120二、填空题10 . （2015?东莞）如图， 4ABC三边的中线 AD、BE、CF的公共点为 G,若Saabc=12, 则图中阴影部分的面积是 .11 .如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm,第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为 cm .12 .已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm,则这个三角形的周长为 .1 ,13 .如图，AD是 ABC的角平分线，则/ =/= /; BE ABC21的中线，则 = -; CF是 ABC 的图，则/ =/14 .如图，AD、AE分别是 ABC的高和中线，已知 AD=5cm, CE=6cm,则 ABE和4 ABC的

14、面积分别为.15 .在 ABC 中，（1）若/ A: / B: /C = 1: 2: 3,则/ A =, / B =, / C = ,此三角形为 三角形；（2）若/A大于/ B+/C,则此三角形为 三角形.三、解答题16 .判断下列所给的三条线段是否能围成三角形？(1) 5cm, 5cm, a cm(0vav10);(2)a+1, a+2, a+3;(3)三条线段之比为 2: 3: 5.17 .如图，在 ABC 中，/ BAD = Z CAD , AE=CE, AG BC, AD 与 BE 相交于点 F, 试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是

15、哪些三角形的高？18 . (2016春？江苏月考)如图，AD是4ABC的高，BE是4ABC的内角平分线，BE、 AD相交于点 F,已知/ BAD=40。，求/ BFD的度数.BD C19 .利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D;2 .【答案】C;【解析】三个三角形： ABC, AACD, AABD3 .【答案】A.4 .【答案】B;【解析】根据三角形的三边关系进行判定.5 .【答案】D;【解析】由三角形三边关系定理可知.只有 C选项中3+4 5 .故选C (2)画图分析， 不难判断出选 C. (3)因为第三边满

16、足：|另两边之差|第三边另两边之和，故 16-12V ABV 16+12 即 4VAB 12=6 ,2 2SacGESaaCF6=2 , SabGF=7；Sa BCF=t- 6=2 ,3 3331- S 阴影=SzCGE+SzBGF=4 .故答案为4.11 .【答案】5 cm或7 cm；12 .【答案】15cm或18cm；【解析】按腰的不同取值分类讨论.13 .【答案】BAD CAD BAC ; AE CE AC ; AFC BFC 14 .【答案】15cm2, 30cm2;【解析】 ABC的面积是 ABE面积的2倍.15 .【答案】(1) 30, 60, 90;直角(2)钝角三、解答题16 .【解析】解：(1)5+5= 10a(0vav 10),且5+a5,所以能围成三角形；(2)当-1vav 0时，因为a+1+a+2 = 2a+3va+3,所以此时不能围成三角形， 当a=0时， 因为a+1+a+2 = 2a+3= 3,而a+3= 3,所以a+1+a+2=a+3,所以此时不能围成三角形.当 a 0时，因为a+1+a+2 = 2a+3a+3.所以此时能围成三角形.(3)因为三条线段之比为 2:3:5,则可设三条线段的