轴对称变换的应用

1、哈尔滨市延寿县寿山中学哈尔滨市延寿县寿山中学 王成王成2011.11.1 如图，要在燃气管道 上修建一个泵站，分别向 ， 两城镇供气（即两城市之间没有管道）.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?实际问题数学化（1） 如图，已知点 、 在直线 的同侧.在 上找点 ，使最小.（2）对“线段和最小”的理解在直线 上任取两点 1、 2，通过度量，比较1+1与2+2的大小. ?l?a?b?p?2?p?1?l?a?b（3）对画图找点的引导辅助问题：如图，已知点 、 在直线 的异侧，在 上找点 ，使最小.解略.?a?l?b（4）求解问题1解：作点 关于直线 的对称点 1，连接1，1与直线 交于 ，点

2、即为所求.理由：如图，由轴对称性质= 1 ，所以+=+ 1 ，当 、 、 1三点共线时1最短，所以 点为所求.?b?1?a?l?p?b 如果 1是异于点 的一点，你能证明1+1 +吗？ 证明：连接 1 1. 由轴对称性质，1= 1 1，= 1 .所以 1+1=1+1 1， +=1 =1，在1 1中，1+ 1 11，即 1+1 +.?p?1?b?1?a?l?p?b如图，已知甲、乙、丙三做接力游戏，开始时,甲站在aob内的p点，乙站在oa边上，丙站在ob边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点p处。如果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。 b2 2

3、apopp1 1nm解：解：三人的速度一定且相同，要使比赛时三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需间最短，只需三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点知识，作点p关于关于oa、ob的对称点的对称点p1 、 p2 ，连接，连接p1p2，交，交oa于于m，交，交obn于，则点于，则点m和点和点n应分应分别是乙、丙的位置。这样连接别是乙、丙的位置。这样连接mp、np则三人则三人行的路程和为行的路程和为mn+mp+np = mn+m p1+ n p2 = p1p2 问题3 如图， 为马厩， 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到

4、河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线.应用所学的知识解决问题应用所学的知识解决问题 实际问题数学化如图，已知内有两定点 、 ，分别在和上各点 、 ，使+最小. ?n?m?o?a?b?c?d问题的求解解：作点 关于的对称点 1，作点 关于的对称点 1，连接 1 1， 1 1与、分别交于点 、 ，则此时+最小.?b?1?a?1?n?m?d?c?o?a?b 某开发区新建了两片住宅区某开发区新建了两片住宅区:a区、区、b区区（如图）（如图）.现在要从煤气主管道的一个地方建现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口立一个接口,同时向这两个小区供气同时向这两个小区供气.请问请问,这个

5、这个接口应建在哪接口应建在哪,才能使得所用管道最短才能使得所用管道最短?a小区小区b?小区小区煤气主管煤气主管道道请你出谋划策请你出谋划策lbapap作法:1.作点a关于直线l的对称点 a;已知:直线l和l的同侧两点a、b.2.连结ab,交l于点 p. 点p就是所求的点. 直线 l是点a、a的对称轴，点p、p在对称轴上，ap=ap,ap=ap. ap=ap,ap=ap. 在l 上任取另一点p, 连结ap、ap、bp、ap.证明:在在abpabp中，中，abap+bp, abap+bp, ap+bp ap+bp ap+bp,ap+bp,即即ap+bp ap+bp 最小最小. .求作:点p,使它在

6、直线l上,并使ap+bp最小.ap+bp=ap+bp=ab.ap+bp=ap+bp=ab. 如图如图, ,牧童在牧童在a a处放牛处放牛, ,其家在其家在b b处处,a,a、b b到河岸到河岸的距离分别为的距离分别为acac、bdbd，且，且ac=bdac=bd，若，若a a到河岸到河岸cdcd的中点的距离为的中点的距离为500m,500m,若牧童从若牧童从a a处将牛牵到河处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？最短？最短路程是多少？a ad dc cb bn nm maa1000m1000m迁移与应用迁移与应用变变: :如图如图, ,牧童在牧童在a a处放牛处放牛, ,其家在其家在b b处处,a,a、b b到河到河岸的距离分别为岸的距离分别为acac、bdbd，且，且acbdacbd，若牧童从，若牧童从a a处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？水，所走路程最短？a ad dc cb bm maa变变: :如如图图，已知，已知，aobaob内内有